不同限制條件下的檢值集合系.pdf

1、極值集合論是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,主要研究一定限制條件下(或者說(shuō)滿足一定性質(zhì))的集合系。它在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的其他分支如概率論、離散幾何等領(lǐng)域都有應(yīng)用。其最初的研究可以回溯到1928年發(fā)表出來(lái)的Sperner的一個(gè)定理。Sperner定理指出:對(duì)于n元集合上的子集而言,要求這些子集滿足兩兩互不包含的條件,如果想盡可能多地找出這樣的子集,那么最好的答案就是選出所有的大小為[n/2]的子集。之后不久,Erd(o)s,柯召,Rado三人給出了著

2、名的Erd(o)s-Ko-Rado定理,即對(duì)滿足其中任意兩個(gè)子集相交不為空的集合系給出了其上界,并且這個(gè)上界是可以達(dá)到的。這兩個(gè)定理是極值集合論中十分重要的兩個(gè)結(jié)果,許多研究人員不僅對(duì)它們以不同的方法加以證明,并且對(duì)其相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行深入研究。在上個(gè)世紀(jì)八、九十年代Sperner定理就發(fā)展成為了組合數(shù)學(xué)中的專(zhuān)門(mén)問(wèn)題--Sperner理論。而在Erd(o)s-Ko-Rado定理發(fā)表之后,人們對(duì)它所涉及的問(wèn)題進(jìn)行了兩個(gè)方向上的探究,一方面考慮集

3、合之間不同的相交條件,得出了很多著名的結(jié)論,如Delsarte定理,Ray Chaudhuri-Wilson定理,Frankl-Wilson定理,Alon-Babai-Suzuki定理,Snevily猜想:另一方面如果引入復(fù)形的概念,則原定理中的相交條件下的集合系是不包含1-復(fù)形的,進(jìn)而考慮更一般的情況,Chvátal給出了一個(gè)關(guān)于集合系中不含d-復(fù)形的猜想,習(xí)慣上稱(chēng)為Chvátal復(fù)形猜想。
　　 本研究在結(jié)構(gòu)上由兩部分組成。

4、第一部分是關(guān)于相交集合系以及交錯(cuò)相交系的研究,第二部分是關(guān)于Chvátal復(fù)形猜想的一些研究。第一章里,首先介紹本文中用到的一些基本定義和記號(hào),進(jìn)而給出極值集合論主要研究問(wèn)題的概述以及一些典型的結(jié)論,最后對(duì)本文的結(jié)構(gòu)安排和主要結(jié)論作以簡(jiǎn)要敘述。本文的第一部分由第二章和第三章組成。在第二章,我們研究限制模素?cái)?shù)情況下的集合系,即考慮的集合系中的元素大小及元素相交產(chǎn)生集合的大小均限制在模素?cái)?shù)條件下。我們給出兩個(gè)關(guān)于交錯(cuò)相交系的結(jié)果,其中一個(gè)可

5、以看做Franld在1984年的一個(gè)結(jié)論的延伸:另一個(gè)考慮集合系中的元的大小及元相交集合大小限制在一定的范圍,得到更緊一些的結(jié)論,并且如果稍微改變一下條件,由此可以推出Chen和Liu在2009年的一個(gè)結(jié)果。在此基礎(chǔ)上,我們給出了關(guān)于k個(gè)元相交條件下的集合系的上界。在第三章,我們研究限制模素?cái)?shù)冪情況下的集合系。我們引入分離多項(xiàng)式和(p-adic)賦值的概念,研究對(duì)象涉及交錯(cuò)相交系、一致相交系、限制集合差和集合對(duì)稱(chēng)差的集合系,分別給出它們