幾類具時滯生物模型的穩(wěn)定性和分支分析.pdf

1、隨著生物數(shù)學的發(fā)展，時滯微分方程被廣泛地應用于生物模型中，人們用它來描述既依賴于當前狀態(tài)，又依賴于歷史狀態(tài)的動力系統(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期解的存在性日益成為具有重要意義的研究課題之一。其中，穩(wěn)定性體現(xiàn)了一種結構的平衡。周期解的存在反映了自然界的周期運動規(guī)律。分支問題是時滯微分方程研究領域中的另一個重要課題，其研究對象是結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。結構不穩(wěn)定是指當參數(shù)變化并經(jīng)過某些臨界值時，系統(tǒng)的某些結構屬性發(fā)生本質的變化。時滯微分方程的研究既要用到經(jīng)

2、典的動力系統(tǒng)理論，又涉及到拓撲、代數(shù)、泛函等相關知識，它有著重要的理論意義和實際意義。
　　本文綜合運用LaSalle不變性原理、Lyapunov穩(wěn)定性理論、中心流形定理、規(guī)范型以及數(shù)值模擬等理論和方法，對幾類具時滯生物模型進行了系統(tǒng)的研究，主要工作如下：
　　(一)研究了具時滯的宿主體內病毒模型的動力學行為。首先，討論了一類具有限時滯的宿主體內病毒模型的全局動力學行為。通過構造全局Lyapunov泛函并結合LaSalle不

3、變性原理，證明了該系統(tǒng)的全局動力學行為完全由基本再生數(shù)決定。其次，我們研究了一類具一般形式的細胞增長函數(shù)、感染發(fā)生率函數(shù)和無限分布時滯的宿主體內病毒模型的全局動力學行為，并給出了系統(tǒng)的全局動力學行為完全由基本再生數(shù)決定的充分條件。通過對該模型的分析，得到宿主體內病毒模型的Hopf分支的發(fā)生不是由細胞內的時滯引起的，而是由細胞增長函數(shù)的動力學性質導致的。這個結果是最新的。最后，我們進一步研究了Logistic增長率r和細胞內時滯τ對宿主體

4、內病毒模型的動力學行為的影響，選取r和τ作為分支參數(shù)，通過兩個參數(shù)的分支分析，得到了在二維參數(shù)平面上的全局Hopf分支的性質。此結果第一次揭示了在病毒感染過程中細胞增長函數(shù)的動力學性質的重要性，僅當系統(tǒng)具有恰當?shù)募毎鲩L函數(shù)時，細胞內時滯才能引起穩(wěn)定的周期震蕩現(xiàn)象。
　　(二)研究了一類具無限分布時滯和非線性傳染的多種群SEIR傳染病模型的全局動力學行為。通過構造全局Lyapunov泛函并結合圖論的方法，證明了該系統(tǒng)閾值定理成立，

5、即基本再生數(shù)R0的大小完全決定了系統(tǒng)的全局動力學性質。
　　(三)研究了宿主體內具有時滯的CTL免疫反應的T淋巴細胞白血病病毒感染模型的動力學行為。首先，證明了該模型的全局動力學行為完全由兩個閾值(病毒感染的基本再生數(shù)R0和CTL免疫反應的的基本再生數(shù)R1)決定。其次，給出了正平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支存在性條件，并分析了Hopf分支的性質。最后，討論了CTL免疫反應的滯后行為能夠導致系統(tǒng)產(chǎn)生多個穩(wěn)定的周期解共存的現(xiàn)象，這些周期