非線性動力系統(tǒng)規(guī)范形理論及應用問題研究.pdf

1、規(guī)范形理論是研究動力系統(tǒng)、微分方程及非線性振動等領域動力學特征的強有力工具之一。規(guī)范形理論又稱正規(guī)形理論，它的基本思想，是在奇點(或不動點)附近經過光滑變換把向量場(或微分同胚)化成盡可能簡單的形式，以便于研究。然而，計算給定系統(tǒng)的最簡規(guī)范形本身就是一項很復雜的工作，另外，有關Hopf分岔系統(tǒng)、退化Hopf分岔系統(tǒng)及其規(guī)范形理論在力學等實際系統(tǒng)的應用研究也越來越受到廣大科學工作者的廣泛關注。本論文主要研究了規(guī)范形理論中最簡規(guī)范形的計算，

2、規(guī)范形理論在力學和生物學系統(tǒng)中的應用，非線性動力系統(tǒng)中的Hopf分岔與混沌等動力學特征。主要創(chuàng)新點有以下幾個方面：
　　 (1)在傳統(tǒng)規(guī)范形的基礎上，利用規(guī)范形理論和矩陣表示法的思想研究了Hopf分岔系統(tǒng)的最簡規(guī)范形，給出最簡規(guī)范形的計算公式，和所選取的非線性變換公式。研究了余維2及高余維退化Hopf分岔系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。提出由于條件的不同，系統(tǒng)具有兩種不同的最簡規(guī)范形形式，并給出計算公式。
　　 (2)利用動力系統(tǒng)中的

3、規(guī)范形理論研究Neimark-Sacker系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。指出傳統(tǒng)的Neimark-Sacker系統(tǒng)的規(guī)范形可以繼續(xù)化簡，計算了余維2及高余維退化Neimark-Sacker系統(tǒng)的最簡規(guī)范形，得出了五個定理，說明退化Neimark-Sacker系統(tǒng)的最簡規(guī)范形的振幅方程最多含有兩個非線性項，具有兩種不同的形式，給出了公式的代數(shù)表達。本文提出的方法，為深入研究Hopf分岔系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔等復雜動力學行為奠定了基礎。
　　 (3

4、)利用Hopf定理和規(guī)范形理論，討論了Furuta旋轉倒立擺非線性數(shù)學模型的Hopf分岔等動力學特征。給出系統(tǒng)存在Hopf分岔的條件，討論了周期軌道的穩(wěn)定性，利用數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)的相軌跡圖。比較嚴格地證明了系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下的混沌現(xiàn)象，并給出發(fā)生Silnikov型Smale混沌的條件。為進一步研究旋轉倒立擺的復雜動力學行為奠定了基礎，同時也為旋轉倒立擺的控制和仿真研究，提供了理論依據。
　　 (4)研究了一類新的連續(xù)

5、自治三維混沌系統(tǒng)，即Van del Pol Jerk系統(tǒng)。通過理論分析和數(shù)值模擬，研究了系統(tǒng)的基本動力學性質。利用Silnikov定理，研究了系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象，通過Cardano公式和微分方程級數(shù)解理論，研究了系統(tǒng)的特征值和同宿軌道。比較嚴格地證明了系統(tǒng)存在Silnikov型Smale馬蹄混沌現(xiàn)象。并指出系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象的充分條件。利用數(shù)值模擬，驗證了本文提出方法的正確性。
　　 (5)討論了一類具有二重飽和反應速度的生化反應動