非線性動(dòng)力系統(tǒng)規(guī)范形理論及應(yīng)用問題研究.pdf

1、規(guī)范形理論是研究動(dòng)力系統(tǒng)、微分方程及非線性振動(dòng)等領(lǐng)域動(dòng)力學(xué)特征的強(qiáng)有力工具之一。規(guī)范形理論又稱正規(guī)形理論，它的基本思想，是在奇點(diǎn)(或不動(dòng)點(diǎn))附近經(jīng)過光滑變換把向量場(或微分同胚)化成盡可能簡單的形式，以便于研究。然而，計(jì)算給定系統(tǒng)的最簡規(guī)范形本身就是一項(xiàng)很復(fù)雜的工作，另外，有關(guān)Hopf分岔系統(tǒng)、退化Hopf分岔系統(tǒng)及其規(guī)范形理論在力學(xué)等實(shí)際系統(tǒng)的應(yīng)用研究也越來越受到廣大科學(xué)工作者的廣泛關(guān)注。本論文主要研究了規(guī)范形理論中最簡規(guī)范形的計(jì)算，

2、規(guī)范形理論在力學(xué)和生物學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用，非線性動(dòng)力系統(tǒng)中的Hopf分岔與混沌等動(dòng)力學(xué)特征。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：
　　 (1)在傳統(tǒng)規(guī)范形的基礎(chǔ)上，利用規(guī)范形理論和矩陣表示法的思想研究了Hopf分岔系統(tǒng)的最簡規(guī)范形，給出最簡規(guī)范形的計(jì)算公式，和所選取的非線性變換公式。研究了余維2及高余維退化Hopf分岔系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。提出由于條件的不同，系統(tǒng)具有兩種不同的最簡規(guī)范形形式，并給出計(jì)算公式。
　　 (2)利用動(dòng)力系統(tǒng)中的

3、規(guī)范形理論研究Neimark-Sacker系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。指出傳統(tǒng)的Neimark-Sacker系統(tǒng)的規(guī)范形可以繼續(xù)化簡，計(jì)算了余維2及高余維退化Neimark-Sacker系統(tǒng)的最簡規(guī)范形，得出了五個(gè)定理，說明退化Neimark-Sacker系統(tǒng)的最簡規(guī)范形的振幅方程最多含有兩個(gè)非線性項(xiàng)，具有兩種不同的形式，給出了公式的代數(shù)表達(dá)。本文提出的方法，為深入研究Hopf分岔系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為奠定了基礎(chǔ)。
　　 (3

4、)利用Hopf定理和規(guī)范形理論，討論了Furuta旋轉(zhuǎn)倒立擺非線性數(shù)學(xué)模型的Hopf分岔等動(dòng)力學(xué)特征。給出系統(tǒng)存在Hopf分岔的條件，討論了周期軌道的穩(wěn)定性，利用數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)的相軌跡圖。比較嚴(yán)格地證明了系統(tǒng)存在Smale馬蹄意義下的混沌現(xiàn)象，并給出發(fā)生Silnikov型Smale混沌的條件。為進(jìn)一步研究旋轉(zhuǎn)倒立擺的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制和仿真研究，提供了理論依據(jù)。
　　 (4)研究了一類新的連續(xù)

5、自治三維混沌系統(tǒng)，即Van del Pol Jerk系統(tǒng)。通過理論分析和數(shù)值模擬，研究了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。利用Silnikov定理，研究了系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象，通過Cardano公式和微分方程級數(shù)解理論，研究了系統(tǒng)的特征值和同宿軌道。比較嚴(yán)格地證明了系統(tǒng)存在Silnikov型Smale馬蹄混沌現(xiàn)象。并指出系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象的充分條件。利用數(shù)值模擬，驗(yàn)證了本文提出方法的正確性。
　　 (5)討論了一類具有二重飽和反應(yīng)速度的生化反應(yīng)動(dòng)