兩類隨機非線性動力系統(tǒng)和經(jīng)濟應用的研究.pdf

1、隨機非線性動力系統(tǒng)的隨機響應、隨機穩(wěn)定性、隨機分布、隨機混沌、首次穿越及其最優(yōu)控制問題，無論是理論上還是應用上都是值得研究和非常重要的問題。近些年，對于這些問題的研究，在理論上已取得一些初步的研究成果，但是對于一些較為復雜的典型動力學系統(tǒng)在不同隨機激勵下的動力學行為的研究仍處于起步階段。另外，利用隨機非線性動力學方程來研究經(jīng)濟、金融領域的問題還很不成熟。鑒于此，本文將主要研究兩類典型的非線性動力系統(tǒng)-Mathieu-Duffing振子和

2、Rayleigh振子在隨機噪聲的激勵下的動力學行為及其一類系統(tǒng)在物價模型中的應用。 第一部分較為系統(tǒng)的研究了隨機Mathieu-Duffing系統(tǒng)的動力學行為。利用多尺度法研究了Gaussian白噪聲激勵下該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)、零解和非零解的穩(wěn)定性，研究結果表明：在參數(shù)主共振Q=2ω<,0>附近鄰域，最大Lyapunov指數(shù)λ在調諧參數(shù)σ=0時取得最大值，而隨著σ的絕對值的增大，最大Lyapunov指數(shù)λ將趨于零。這

3、說明，零解的穩(wěn)定性隨著調諧參數(shù)σ的絕對值的增大而趨于穩(wěn)定；而對于系統(tǒng)的非零穩(wěn)態(tài)響應，研究結果表明：非零解穩(wěn)定的充要條件是-3βaa<,0>COSη<,0>/2ω<,0>>0。 第二部分研究了有界噪聲參激下帶有Van der Pol阻尼項的Mathieu-Duffing系統(tǒng)的混沌運動。首先，利用隨機Melnikov方法推導了隨機Van der PolMathieu-Duffing方程的隨機Melnikov過程，由廣義過程在均方意義

4、上出現(xiàn)簡單零點給出了可能出現(xiàn)混沌運動的臨界激勵幅值，從而預測該系統(tǒng)可能存在混沌運動的參數(shù)域。然后，用數(shù)值方法計算該系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)、Poincaré截面、時間歷程圖和相軌圖，并用最大Lyapunov指數(shù)和Poincaré截面驗證解析結果及研究有界噪聲的強度對該系統(tǒng)產生隨機混沌的臨界幅值的影響。結果表明：在ω<,0>：Ω<,1>:Ω<,2>=1:2:2和ω<,0>：Ω<,1>：Ω<,2>=1:1:2兩種情形下，隨著噪聲強度的

5、增大，隨機系統(tǒng)的混沌吸引子不斷擴散，隨機激勵的強度δ越大混沌吸引子的區(qū)域越大。說明混沌響應加強，即隨機噪聲會誘導混沌的產生。 第三部分主要對確定性物價模型引入了噪聲，建立了非線性隨機動力學模型一隨機Rayleigh方程，在此基礎上利用動力學方法對該模型進行了系統(tǒng)研究。首先，對于非線性隨機物價模型進行了最優(yōu)化控制，通過對系統(tǒng)采用合理的控制策略，使得物價系統(tǒng)能在盡可能長的時間周期內處于平穩(wěn)狀態(tài)，避免出現(xiàn)通貨膨脹或通貨緊縮，這對于國家

6、的經(jīng)濟良性發(fā)展也具有重要的意義。接著，對物價模型——Rayleigh方程在不同噪聲激勵下的穩(wěn)態(tài)響應、首次穿越和隨機Hopf分問題進行了進一步的討論。具體的講，研究了Rayleigh方程在Gaussian白噪聲外激下的平穩(wěn)響應首次穿越，利用隨機平均法得出系統(tǒng)的隨機平均It6微分方程，對平均方程建立條件可靠性函數(shù)的后向Kolmogorov方程及首次穿越時間條件矩的Pontragin方程，通過這兩個方程研究該系統(tǒng)的非線性阻尼項、隨機激勵項對系