非線性不適定問題的動力系統(tǒng)方法研究.pdf

1、動力系統(tǒng)方法，也可稱其為連續(xù)正則化方法，是求解非線性不適定問題的一個行之有效的方法。它克服了原有迭代法收斂定理中對算子較強的限制條件，證明了所研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。眾所周知，動力系統(tǒng)理論及其穩(wěn)定性一直都是引人關注的問題。而Lyapunov穩(wěn)定性理論作為分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要方法在本文中得到了進一步的研究、完善。本文將從以下幾個方面用動力系統(tǒng)方法的思想及Lyapunov穩(wěn)定性理論研究非線性不適定問題。
　　動力系統(tǒng)可分為離散動力系統(tǒng)和連續(xù)

2、動力系統(tǒng)兩種。本文先從離散的動力系統(tǒng)入手，基于連續(xù)的Landweber法，構造了一個求解非線性不適定問題的Runge–Kutta（簡稱R–K）型Landweber方法，并研究了該方法的收斂性，給出了存在擾動誤差情況下的收斂率。與Landweber迭代法的數(shù)值比較表明，R–K型方法的收斂速度更快、更穩(wěn)定。
　　當算子無界時，去掉算子的Fr′echet可微性及算子的一些非線性條件，本文引入了一個無導數(shù)的特殊結構，并提出了一個參數(shù)識別問

3、題。在較之以前更弱的限制條件下，基于正問題的可解性，從理論上證明了所提參數(shù)識別問題的收斂性及穩(wěn)定性。
　　針對非線性不適定算子方程的優(yōu)化問題，在原有的Lyapunov穩(wěn)定定理的基礎上，給出了一個新的Lyapunov穩(wěn)定性引理，并用此引理證明了該優(yōu)化問題的收斂性。這一新的Lyapunov穩(wěn)定性引理的限制條件要稍弱于Xu提出的穩(wěn)定性定理的條件。所以，本文中的穩(wěn)定性引理是原有穩(wěn)定性定理的拓展，是本文的一個創(chuàng)新之處。
　　由于經(jīng)典的

4、求解非線性不適定問題的迭代法都是局部收斂的，借鑒同倫方法的優(yōu)點，本文構造了一個魯棒的、大范圍收斂的同倫正則化方法用以識別參數(shù)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該正則化方法的收斂性。并通過分析具體的數(shù)值算例，更加肯定了當擾動誤差相同時，與Landweber迭代法相比，該同倫正則化方法更穩(wěn)定，收斂范圍更大。
　　基于Sobolev空間中偏微分方程的可解性及穩(wěn)定性，本文利用類似于動力系統(tǒng)的證明方法，提出了用水平集方法識別非線性拋物分