非線性動力系統(tǒng)的多極限環(huán)分叉及規(guī)范形的研究.pdf

1、近年來，國際范圍內對動力學、振動與控制的研究非?；钴S，非線性動力學和振動主動控制是當前公認的兩個研究熱點，而利用非線性動力學理論解決振動主動控制問題則是該研究領域的一枝奇葩。 本文旨在發(fā)展和完善最簡規(guī)范形的進一步化簡及多極限環(huán)分叉的理論和方法，研究了國際著名的非線性動力系統(tǒng)專家Baider和Sanders關于Bogdanov-Takens規(guī)范形的公開問題，并對最簡規(guī)范形的唯一性、十二次非線性系統(tǒng)的最簡規(guī)范形進行了研究；本文還研究

2、了著名的Hilbert第16問題的第二部分內容，研究了高次非線性動力系統(tǒng)多極限環(huán)的存在性以及極限環(huán)的個數(shù)及其相對位置關系；研究了規(guī)范形及多極限環(huán)分叉理論在機械系統(tǒng)方面的應用，給出了參數(shù)激勵和外激勵下一般類型的非線性機械系統(tǒng)及變剛度主動電磁軸承非線性系統(tǒng)的平均方程以及多極限環(huán)分叉和復眼構型，并給出精確的參數(shù)控制。 本文研究內容主要有以下幾方面：(1)綜述了近20年來國內外非線性動力學規(guī)范形理論及多極限環(huán)分叉的研究進展、研究現(xiàn)狀、取

3、得的成果及研究方法；說明了非線性動力學的研究中必須解決的幾個問題；探討了理論結果在機械工程問題中的應用；指出了存在的問題及發(fā)展趨勢。 (2)概述了規(guī)范形理論常用方法及最簡規(guī)范形的唯一性的研究。著重介紹了作者與王鐸教授等人合作在Bogdanov-Takens規(guī)范形的進一步化簡等問題的研究中取得的成果，在非代數(shù)數(shù)的條件下，解決了Baider和Sanders關于Bogdanov-Takens唯一規(guī)范形的一個公開問題。 (3)首

4、次得到十二次非線性動力系統(tǒng)最簡規(guī)范形的系數(shù)及一般形式。用李括號與帶參數(shù)的變換相結合的方法，得到了截取到12次項的Bogdanov-Takens最簡規(guī)范形的全部系數(shù)，并給出了多種可能情形下最簡規(guī)范形的一般形式。這一結果，包含了在所查閱文獻中全部相關的研究成果。特別值得說明的是，在計算機條件許可的情況下，這一方法可得到任意次最簡規(guī)范形的一般形式及其對應于原系統(tǒng)的全部系數(shù)。 (4)研究了一類具有Z2-等變對稱性質的5次擾動平面Hami

5、lton向量場，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在2組精確的參數(shù)控制條件下分別存在20和23個極限環(huán)，并給出它們之間相對位置的不同構型。 (5)研究了參數(shù)激勵下非線性系統(tǒng)平均方程的多極限環(huán)分叉，該系統(tǒng)可以表示船舶在橫浪或縱向波作用下的橫搖運動和柔性懸臂梁在軸向載荷作用下的振動問題。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在2組精確的參數(shù)控制條件下分別存在14和15個極限環(huán)，并給出它們之間相對位置的不同構型。本文還討論了系統(tǒng)在單擾動下的多極限環(huán)分叉，得到21和23個極限環(huán)及其分布構型。

6、 (6)研究了變剛度主動電磁軸承系統(tǒng)的非線性動力學模型，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在8組精確的參數(shù)控制條件下分別存在17個，19個，19個，20個，21個，21個，22個，23個極限環(huán)，并給出它們之間相對位置的不同構型。本文還進一步討論了系統(tǒng)在一般擾動情形下的多極限環(huán)分叉的情況，得到28個極限環(huán)及其分布構型。目前對Hilbert第16問題的第二部分內容，關于5次平面非線性動力系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)及其分布的研究成果中，最多發(fā)現(xiàn)存在25個極限環(huán)，本文首次得

7、到至少存在28個極限環(huán)的結論。 本文所給出的非線性動力系統(tǒng)最簡規(guī)范形的一般形式以及規(guī)范形系數(shù)的計算給工程界化簡規(guī)范形以及非線性動力系統(tǒng)分叉與混沌的研究帶來了極大的方便。由于非線性系統(tǒng)在不同的擾動條件下，可能會存在不同的定性結構，奇點的類型可能發(fā)生變化，奇點附近軌線的定性結構和拓撲結構也會受到影響，處理不當可能使非線性系統(tǒng)的動力學特性發(fā)生突變，甚至產(chǎn)生災難性的重大事故。因此需要利用非線性動力學理論對其動力學機理進行非線性研究和理論

8、分析，從而進行有效控制。這一研究結果對機械振動等相應的控制問題具有重要的理論指導意義。 本文所取得的創(chuàng)新成果主要有以下三方面：(1)首次得到十二次非線性動力系統(tǒng)最簡規(guī)范形的全部系數(shù)及一般形式。用李括號與帶參數(shù)的變換相結合的方法，首次得到截取到12次項的Bogdanov-Takens最簡規(guī)范形的全部系數(shù)，并給出了多種可能情形下最簡規(guī)范形的一般形式。這一結果，包含了所查閱文獻中所有相關的研究成果。特別值得說明的是，在計算機條件許可的

9、情況下，這一方法可得到任意次最簡規(guī)范形的一般形式及其對應于原系統(tǒng)的全部系數(shù)。 (2)首次將非線性系統(tǒng)的多極限環(huán)分叉理論應用于兩個具體的機械工程模型。研究了在參數(shù)激勵和外激勵下一般類型的非線性機械系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以表示船舶在橫浪或縱向波作用下的橫搖運動和柔性懸臂梁在軸向載荷作用下的振動問題；本文還研究了變剛度主動電磁軸承系統(tǒng)的非線性動力學模型。發(fā)現(xiàn)并給出了系統(tǒng)在不同參數(shù)控制條件下極限環(huán)個數(shù)及其分布構型。本文首次給出了系統(tǒng)在不同擾動條

10、件下多極限環(huán)分叉情況的對比。 (3)著名的Hilbert第16問題的第二部分是研究多項式向量場所能產(chǎn)生的極限環(huán)的最大個數(shù)及其分布構型，對于平面多項式系統(tǒng)，Hilbert第16問題的研究仍然是當今非線性動力學中最基本和最富于挑戰(zhàn)性的問題之一。迄今為止，關于5次平面非線性動力系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)及其分布的研究成果中，最多發(fā)現(xiàn)存在25個極限環(huán)。本文對五次平面非線性動力系統(tǒng)首次得到至少存在28個極限環(huán)的結論，并給出了其分布構型。 最后