非線性動(dòng)力系統(tǒng)的多極限環(huán)分叉及規(guī)范形的研究.pdf

1、近年來(lái)，國(guó)際范圍內(nèi)對(duì)動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)與控制的研究非?；钴S，非線性動(dòng)力學(xué)和振動(dòng)主動(dòng)控制是當(dāng)前公認(rèn)的兩個(gè)研究熱點(diǎn)，而利用非線性動(dòng)力學(xué)理論解決振動(dòng)主動(dòng)控制問(wèn)題則是該研究領(lǐng)域的一枝奇葩。 本文旨在發(fā)展和完善最簡(jiǎn)規(guī)范形的進(jìn)一步化簡(jiǎn)及多極限環(huán)分叉的理論和方法，研究了國(guó)際著名的非線性動(dòng)力系統(tǒng)專家Baider和Sanders關(guān)于Bogdanov-Takens規(guī)范形的公開問(wèn)題，并對(duì)最簡(jiǎn)規(guī)范形的唯一性、十二次非線性系統(tǒng)的最簡(jiǎn)規(guī)范形進(jìn)行了研究；本文還研究

2、了著名的Hilbert第16問(wèn)題的第二部分內(nèi)容，研究了高次非線性動(dòng)力系統(tǒng)多極限環(huán)的存在性以及極限環(huán)的個(gè)數(shù)及其相對(duì)位置關(guān)系；研究了規(guī)范形及多極限環(huán)分叉理論在機(jī)械系統(tǒng)方面的應(yīng)用，給出了參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)下一般類型的非線性機(jī)械系統(tǒng)及變剛度主動(dòng)電磁軸承非線性系統(tǒng)的平均方程以及多極限環(huán)分叉和復(fù)眼構(gòu)型，并給出精確的參數(shù)控制。 本文研究?jī)?nèi)容主要有以下幾方面：(1)綜述了近20年來(lái)國(guó)內(nèi)外非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)范形理論及多極限環(huán)分叉的研究進(jìn)展、研究現(xiàn)狀、取

3、得的成果及研究方法；說(shuō)明了非線性動(dòng)力學(xué)的研究中必須解決的幾個(gè)問(wèn)題；探討了理論結(jié)果在機(jī)械工程問(wèn)題中的應(yīng)用；指出了存在的問(wèn)題及發(fā)展趨勢(shì)。 (2)概述了規(guī)范形理論常用方法及最簡(jiǎn)規(guī)范形的唯一性的研究。著重介紹了作者與王鐸教授等人合作在Bogdanov-Takens規(guī)范形的進(jìn)一步化簡(jiǎn)等問(wèn)題的研究中取得的成果，在非代數(shù)數(shù)的條件下，解決了Baider和Sanders關(guān)于Bogdanov-Takens唯一規(guī)范形的一個(gè)公開問(wèn)題。 (3)首

4、次得到十二次非線性動(dòng)力系統(tǒng)最簡(jiǎn)規(guī)范形的系數(shù)及一般形式。用李括號(hào)與帶參數(shù)的變換相結(jié)合的方法，得到了截取到12次項(xiàng)的Bogdanov-Takens最簡(jiǎn)規(guī)范形的全部系數(shù)，并給出了多種可能情形下最簡(jiǎn)規(guī)范形的一般形式。這一結(jié)果，包含了在所查閱文獻(xiàn)中全部相關(guān)的研究成果。特別值得說(shuō)明的是，在計(jì)算機(jī)條件許可的情況下，這一方法可得到任意次最簡(jiǎn)規(guī)范形的一般形式及其對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)的全部系數(shù)。 (4)研究了一類具有Z2-等變對(duì)稱性質(zhì)的5次擾動(dòng)平面Hami

5、lton向量場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在2組精確的參數(shù)控制條件下分別存在20和23個(gè)極限環(huán)，并給出它們之間相對(duì)位置的不同構(gòu)型。 (5)研究了參數(shù)激勵(lì)下非線性系統(tǒng)平均方程的多極限環(huán)分叉，該系統(tǒng)可以表示船舶在橫浪或縱向波作用下的橫搖運(yùn)動(dòng)和柔性懸臂梁在軸向載荷作用下的振動(dòng)問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在2組精確的參數(shù)控制條件下分別存在14和15個(gè)極限環(huán)，并給出它們之間相對(duì)位置的不同構(gòu)型。本文還討論了系統(tǒng)在單擾動(dòng)下的多極限環(huán)分叉，得到21和23個(gè)極限環(huán)及其分布構(gòu)型。

6、 (6)研究了變剛度主動(dòng)電磁軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在8組精確的參數(shù)控制條件下分別存在17個(gè)，19個(gè)，19個(gè)，20個(gè)，21個(gè)，21個(gè)，22個(gè)，23個(gè)極限環(huán)，并給出它們之間相對(duì)位置的不同構(gòu)型。本文還進(jìn)一步討論了系統(tǒng)在一般擾動(dòng)情形下的多極限環(huán)分叉的情況，得到28個(gè)極限環(huán)及其分布構(gòu)型。目前對(duì)Hilbert第16問(wèn)題的第二部分內(nèi)容，關(guān)于5次平面非線性動(dòng)力系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)及其分布的研究成果中，最多發(fā)現(xiàn)存在25個(gè)極限環(huán)，本文首次得

7、到至少存在28個(gè)極限環(huán)的結(jié)論。 本文所給出的非線性動(dòng)力系統(tǒng)最簡(jiǎn)規(guī)范形的一般形式以及規(guī)范形系數(shù)的計(jì)算給工程界化簡(jiǎn)規(guī)范形以及非線性動(dòng)力系統(tǒng)分叉與混沌的研究帶來(lái)了極大的方便。由于非線性系統(tǒng)在不同的擾動(dòng)條件下，可能會(huì)存在不同的定性結(jié)構(gòu)，奇點(diǎn)的類型可能發(fā)生變化，奇點(diǎn)附近軌線的定性結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也會(huì)受到影響，處理不當(dāng)可能使非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生突變，甚至產(chǎn)生災(zāi)難性的重大事故。因此需要利用非線性動(dòng)力學(xué)理論對(duì)其動(dòng)力學(xué)機(jī)理進(jìn)行非線性研究和理論

8、分析，從而進(jìn)行有效控制。這一研究結(jié)果對(duì)機(jī)械振動(dòng)等相應(yīng)的控制問(wèn)題具有重要的理論指導(dǎo)意義。 本文所取得的創(chuàng)新成果主要有以下三方面：(1)首次得到十二次非線性動(dòng)力系統(tǒng)最簡(jiǎn)規(guī)范形的全部系數(shù)及一般形式。用李括號(hào)與帶參數(shù)的變換相結(jié)合的方法，首次得到截取到12次項(xiàng)的Bogdanov-Takens最簡(jiǎn)規(guī)范形的全部系數(shù)，并給出了多種可能情形下最簡(jiǎn)規(guī)范形的一般形式。這一結(jié)果，包含了所查閱文獻(xiàn)中所有相關(guān)的研究成果。特別值得說(shuō)明的是，在計(jì)算機(jī)條件許可的

9、情況下，這一方法可得到任意次最簡(jiǎn)規(guī)范形的一般形式及其對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)的全部系數(shù)。 (2)首次將非線性系統(tǒng)的多極限環(huán)分叉理論應(yīng)用于兩個(gè)具體的機(jī)械工程模型。研究了在參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)下一般類型的非線性機(jī)械系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以表示船舶在橫浪或縱向波作用下的橫搖運(yùn)動(dòng)和柔性懸臂梁在軸向載荷作用下的振動(dòng)問(wèn)題；本文還研究了變剛度主動(dòng)電磁軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。發(fā)現(xiàn)并給出了系統(tǒng)在不同參數(shù)控制條件下極限環(huán)個(gè)數(shù)及其分布構(gòu)型。本文首次給出了系統(tǒng)在不同擾動(dòng)條

10、件下多極限環(huán)分叉情況的對(duì)比。 (3)著名的Hilbert第16問(wèn)題的第二部分是研究多項(xiàng)式向量場(chǎng)所能產(chǎn)生的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)及其分布構(gòu)型，對(duì)于平面多項(xiàng)式系統(tǒng)，Hilbert第16問(wèn)題的研究仍然是當(dāng)今非線性動(dòng)力學(xué)中最基本和最富于挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一。迄今為止，關(guān)于5次平面非線性動(dòng)力系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)及其分布的研究成果中，最多發(fā)現(xiàn)存在25個(gè)極限環(huán)。本文對(duì)五次平面非線性動(dòng)力系統(tǒng)首次得到至少存在28個(gè)極限環(huán)的結(jié)論，并給出了其分布構(gòu)型。 最后