微分算子特征值的一種數(shù)值解法與對(duì)稱(chēng)算子自共軛擴(kuò)張的邊值空間理論.pdf

1、本文圍繞(微分)算子領(lǐng)域的特征值數(shù)值計(jì)算、對(duì)稱(chēng)算子自共軛擴(kuò)張及微分算子自共軛域描述三個(gè)方面進(jìn)行了研究。關(guān)于微分算子特征值的數(shù)值計(jì)算，無(wú)論在理論上，還是在實(shí)踐中，都有著重要的意義。事實(shí)上，能直接給出解析解的微分算子只有很少幾類(lèi)，但是對(duì)于數(shù)值方法，特別是隨著現(xiàn)代高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與更新，在定量解決各種工程技術(shù)問(wèn)題時(shí)顯出越來(lái)越大的威力。同時(shí)我們更應(yīng)該注意到，數(shù)值結(jié)果反過(guò)來(lái)可以進(jìn)一步啟發(fā)人們得出更加深刻的定性結(jié)果。數(shù)值分析在理論研究中起著越來(lái)越重

2、要的作用。在流體和磁流體等理論中提出的高階(非)自共軛問(wèn)題、多層介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)或擴(kuò)散問(wèn)題和邊條件中含有譜參數(shù)的問(wèn)題是微分算子譜理論中的幾個(gè)新的重要問(wèn)題，過(guò)去的數(shù)值方法多是針對(duì)二階自共軛問(wèn)題，近些年，Greenberg和Marletta提出了一種基于Atkinson-Prufer振動(dòng)理論的打靶法，但是這種方法在求解微分方程初值問(wèn)題時(shí)，采用的是分段常系數(shù)逼近的辦法，在處理高振動(dòng)系數(shù)問(wèn)題時(shí)有一定的缺陷。針對(duì)以上問(wèn)題，提出了一種全新的方法，提供

3、了處理這些問(wèn)題的一種統(tǒng)一的框架，通過(guò)特征方程ly(x，λ)=λy(x，λ)(其中，l表示n階常微分算式，λ是特征參數(shù).)一般解的一種關(guān)于特征參數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示，我們發(fā)現(xiàn)并證明了其系數(shù)滿足由微分方程構(gòu)成的一種遞推關(guān)系。根據(jù)Volterra積分算子的性質(zhì)，給出并證明了一種求解系數(shù)函數(shù)ai(x)的方法，由此構(gòu)造了求解特征方程冪級(jí)數(shù)形式解的方法。進(jìn)而證明了這種方法在數(shù)值上的穩(wěn)定性，并給出了這種冪級(jí)數(shù)解的截?cái)嗾`差估計(jì).由冪級(jí)數(shù)解，可計(jì)算出相應(yīng)的特征

4、行列式(其零點(diǎn)即特征值)，再應(yīng)用求根工具可求出特征值的數(shù)值解。給出了相應(yīng)的特征函數(shù)的計(jì)算方法.最后，通過(guò)具體的算例，驗(yàn)證和分析了我們的計(jì)算方法。本算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，思路清晰，適用性廣，不僅可以求解二階自共軛問(wèn)題，還可求解上述提到的高階(非)自共軛，不連續(xù)Sturm-Liouville問(wèn)題等這些新問(wèn)題。
　　 本文中借助所發(fā)展的一般的對(duì)稱(chēng)算子自共軛擴(kuò)張的邊值空間理論，重新給出常微分算子自共軛域的解析描述.具體地，對(duì)于正則的和奇異的常微

5、分算子以及不連續(xù)的Sturm-Liouville算子，運(yùn)用一種簡(jiǎn)單的邊界映射和Cm(m表示相應(yīng)算子的虧指數(shù))上的酉變換，我們“參數(shù)化”的給出了所有的自共軛擴(kuò)張。本研究分為八個(gè)部分：第一章緒論，介紹本文所研究問(wèn)題的背景及本文的主要結(jié)果；第二章簡(jiǎn)單介紹產(chǎn)生微分算子譜問(wèn)題的幾個(gè)實(shí)際背景；第三章介紹利用分離特征參數(shù)法求解特征方程含參數(shù)解的一般方法，以及相應(yīng)特征函數(shù)的計(jì)算方法；第四章和第五章分別討論自共軛和非自共軛問(wèn)題特征值的數(shù)值解法，及相應(yīng)的算