關于自由不連續(xù)問題的正則性和存在性.pdf

1、本論文主要有三方面內容：一是討論SBV框架下的自由不連續(xù)問題的部分正則性；二是討論SBD框架下的自由不連續(xù)問題的存在性；三是討論SBH框架下的自由不連續(xù)問題的存在性． 第一章簡要概述了自由不連續(xù)問題研究的背景、進展以及本文所研究的問題、運用的方法和獲得的若干結果。 第二章引入本文所需要的基本知識、符號和相關的引理． 第三章首先討論了Mumford-Shah 泛函極小的一個正則性質。運用Excision方法得到了M

2、umford-Shah 泛函極小的一個Lipschlitz 性質．其次討論了自由不連續(xù)問題的極小函數(shù)的奇異集的奇異部分的Hausdorff維數(shù)估計，給出了Mumford-Shah泛函中的不連續(xù)集的奇異部分∑(u)的幾個表示。去掉了梯度的高級可積性的假設，即|▽u|∈L<'p><,loc> (Ω)，證明了H-dim(∑)≤N-2，給出了De Giorgi 猜想的一個部分回答． 第四章討論了SBH(Ω)空間中自由不連續(xù)問題極小的存在

3、性．首先給出了SBH(Ω)空間的一個緊性定理，然后利用這個定理討論了兩個不同泛函的變分問題。 第五章討論BD函數(shù)空間積分泛函的下半連續(xù)問題和松弛結果。首先考慮LD空間滿足線性增長的積分泛函的下半連續(xù)性；其次在SBD函數(shù)空間討論了被積函數(shù)為Carathéodory函數(shù)時的積分泛函在滿足對稱擬凸條件時的下半連續(xù)性，主要利用SBD函數(shù)空間的緊性定理和blow-up方法以及Morrey定理等給出了積分泛函關于L<'1>-強收斂的下半連續(xù)

4、性；然后利用BD函數(shù)的一維截斷方法和結構定理，討論了在BD全空間上的積分泛函的下半連續(xù)性．最后討論SBD(Ω)空間中密度函數(shù)與x和u以及εu都相關的積分泛函關于L<'1>-強收斂的松弛結果．利用被積函數(shù)，f(x，u(x)，εu(x))類似SBV情形下關于，f(x，u(x)，▽u(x))的一個條件、對稱擬凸性質、，Lusin 定理和全局方法(global method)等得到了積分泛函的松弛泛函的一個積分表示． 第六章給出了BD函

5、數(shù)的鏈式法則(chain rule)的幾個特殊結果。首先給出了在BD函數(shù)的均勻化理論中一個有用的結果；然后給出散度形式的一些鏈式結果。但對一般情形的鏈式法則還沒有結果． 第七章討論了SBD(Ω)空間的自由不連續(xù)問題極小的存在性。首先討論了一般形式的自由不連續(xù)問題：考慮了兩類不同泛函的變分問題。主要利用SBD函數(shù)空間的緊性定理， BD函數(shù)的Poincaré不等式等給出了變分問題的存在性．這里沒有考慮u的有界性限制。然后給出了SBD