高階導(dǎo)子和約當(dāng)高階導(dǎo)子的局部特征.pdf

1、目前,在算子代數(shù)上對(duì)導(dǎo)子與約當(dāng)導(dǎo)子之間的關(guān)系的研究越來(lái)越受到人們的關(guān)注,成為當(dāng)今算子代數(shù)的一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域之一。K.R.Davidson的專著《Nest Algebras》系統(tǒng)地總結(jié)了前20年的研究成果,提出了許多新的問題,極大地推動(dòng)了套代數(shù)的研究,進(jìn)而也推動(dòng)了非自伴算子代數(shù)的研究。近幾年來(lái),國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者在各種算子代數(shù)上討論了導(dǎo)子與約當(dāng)導(dǎo)子之間的關(guān)系、導(dǎo)子與約當(dāng)導(dǎo)子的局部特征等問題,其研究方法豐富多樣,并且已經(jīng)取得一系列深刻的成

2、果,形成本研究領(lǐng)域的一個(gè)新亮點(diǎn)。
　　 例如:1957年,Herstein證明了從2-非撓的素環(huán)到其自身上的約當(dāng)導(dǎo)子都是導(dǎo)子;2009年,R.Alizadeh證明了從全矩陣代數(shù)Mn(A)到Mn(M)的約當(dāng)導(dǎo)子都是導(dǎo)子;1990年,D.R.Larson和A.R.Sourour研究了在Banach代數(shù)上局部導(dǎo)子和局部自同構(gòu)的問題,并且證明了在B(X)上的每個(gè)局部導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子;1998年,張建華證明了在套代數(shù)上的每個(gè)約當(dāng)導(dǎo)子都是導(dǎo)子

3、;2007年,朱軍證明了在算子代數(shù)中所有的可逆算子是全可導(dǎo)點(diǎn);2008年,朱軍和熊昌萍證明了在上三角代數(shù)中,除了零點(diǎn)之外的其他點(diǎn)都是全可導(dǎo)點(diǎn);在同一年里,朱軍和熊昌萍又證明了在復(fù)可分Hilbert空間上連續(xù)套代數(shù)中,所有到套中的閉子空間上的正交算子都是全可導(dǎo)點(diǎn);2009年,朱軍證明了在矩陣代數(shù)上除了零點(diǎn)之外的其他點(diǎn)都是全可導(dǎo)點(diǎn),等等。
　　 在對(duì)導(dǎo)子與約當(dāng)導(dǎo)子的研究成果逐漸成熟與完善的同時(shí),人們開始把眼光和精力投注于對(duì)高階導(dǎo)子和

4、廣義導(dǎo)子的研究。比如:2011年,曾紅艷和朱軍證明了:(1)如果D=(δi)I∈N是Banach代數(shù)上在可逆元X處的高階可導(dǎo)映射,那么D是約當(dāng)高階導(dǎo)子;(2)在非平凡套代數(shù)上每個(gè)可逆算子都是高階全可導(dǎo)點(diǎn)。這是高階導(dǎo)子和約當(dāng)高階導(dǎo)子的局部特征的第一個(gè)研究成果,本人從中深受啟發(fā),于是討論了在套代數(shù)上0點(diǎn)的高階可導(dǎo)映射,以及von Neumann代數(shù)的一些特殊點(diǎn)上的高階可導(dǎo)映射。
　　 本文共五章,第一章是緒論,簡(jiǎn)單的介紹文中所涉及的

5、概念、記號(hào)、基本性質(zhì)和定理。第二章是主要研究成果之一,在這一章里,假設(shè)A和B分別是含有單位元I1和I2的環(huán),M是(A,B)-雙模,那么T={(X W O Y)∶X∈A,Y∈B,W∈M}在通常的矩陣加法和乘法下構(gòu)成三角代數(shù)。證明了如下結(jié)論:在三角代數(shù)T上的廣義約當(dāng)高階導(dǎo)子是廣義高階導(dǎo)子。第三章主要證明了:在套代數(shù)中,當(dāng)dn(I)=0時(shí),0點(diǎn)是高階全可導(dǎo)點(diǎn)。第四章主要證明了如下幾個(gè)結(jié)論:在von Neumann代數(shù)中,(1)單位元I是高階全