高階導子和約當高階導子的局部特征.pdf

1、目前,在算子代數上對導子與約當導子之間的關系的研究越來越受到人們的關注,成為當今算子代數的一個非?；钴S的研究領域之一。K.R.Davidson的專著《Nest Algebras》系統(tǒng)地總結了前20年的研究成果,提出了許多新的問題,極大地推動了套代數的研究,進而也推動了非自伴算子代數的研究。近幾年來,國內外很多學者在各種算子代數上討論了導子與約當導子之間的關系、導子與約當導子的局部特征等問題,其研究方法豐富多樣,并且已經取得一系列深刻的成

2、果,形成本研究領域的一個新亮點。
　　 例如:1957年,Herstein證明了從2-非撓的素環(huán)到其自身上的約當導子都是導子;2009年,R.Alizadeh證明了從全矩陣代數Mn(A)到Mn(M)的約當導子都是導子;1990年,D.R.Larson和A.R.Sourour研究了在Banach代數上局部導子和局部自同構的問題,并且證明了在B(X)上的每個局部導子都是內導子;1998年,張建華證明了在套代數上的每個約當導子都是導子

3、;2007年,朱軍證明了在算子代數中所有的可逆算子是全可導點;2008年,朱軍和熊昌萍證明了在上三角代數中,除了零點之外的其他點都是全可導點;在同一年里,朱軍和熊昌萍又證明了在復可分Hilbert空間上連續(xù)套代數中,所有到套中的閉子空間上的正交算子都是全可導點;2009年,朱軍證明了在矩陣代數上除了零點之外的其他點都是全可導點,等等。
　　 在對導子與約當導子的研究成果逐漸成熟與完善的同時,人們開始把眼光和精力投注于對高階導子和

4、廣義導子的研究。比如:2011年,曾紅艷和朱軍證明了:(1)如果D=(δi)I∈N是Banach代數上在可逆元X處的高階可導映射,那么D是約當高階導子;(2)在非平凡套代數上每個可逆算子都是高階全可導點。這是高階導子和約當高階導子的局部特征的第一個研究成果,本人從中深受啟發(fā),于是討論了在套代數上0點的高階可導映射,以及von Neumann代數的一些特殊點上的高階可導映射。
　　 本文共五章,第一章是緒論,簡單的介紹文中所涉及的

5、概念、記號、基本性質和定理。第二章是主要研究成果之一,在這一章里,假設A和B分別是含有單位元I1和I2的環(huán),M是(A,B)-雙模,那么T={(X W O Y)∶X∈A,Y∈B,W∈M}在通常的矩陣加法和乘法下構成三角代數。證明了如下結論:在三角代數T上的廣義約當高階導子是廣義高階導子。第三章主要證明了:在套代數中,當dn(I)=0時,0點是高階全可導點。第四章主要證明了如下幾個結論:在von Neumann代數中,(1)單位元I是高階全