三類微分方程的可積性判定.pdf

1、判定微分方程是否可積或者求其精確解是微分方程論最基本和最重要的問題之一.對于含參數(shù)的微分方程,求出使方程可積的參數(shù)關(guān)系以及使用何種方法來求出這些參數(shù)關(guān)系對于全面深入地認(rèn)識與研究微分方程具有重要的意義.該文用三種方法分別研究了三個含參數(shù)的微分方程的可積性條件:1.利用整除定理嚴(yán)格論證了Burgcrs-KdV方程u<,t>+uu<,x>-γu<,xx>+βu<,xxx>=0的行波解方程在參數(shù)滿足特殊關(guān)系時,才存在代數(shù)曲線解,并且僅在此參數(shù)關(guān)

2、系下方程是可積的.2.利用微分方程定性理論、李群理論及其相關(guān)結(jié)論嘗試從幾何的角度對Ricatti方程y′=1-y<'2>+κ(κ+1)/x<'2>只有在參數(shù)κ為整數(shù)時方程才可積的事實(shí)進(jìn)行解釋.3.利用單值群理論和SL(2,C)中具有兩個生成元的可解子群的結(jié)構(gòu)得出了超幾何方程z(1-z)ω"+[γ-(1+α+β)z]ω′-αβω=0 新的可積條件:在β-α=n+1/2,γ-α-β=l+1/2,γ為有理數(shù)且不為整數(shù)或β-α=n+1/2,γ=