Hamilton ODEs的高效辛算法和Hamilton PDEs的多辛算法.pdf

1、這篇碩士論文集中了作者在攻讀碩士學(xué)位期間的主要研究成果.具體內(nèi)容是我們關(guān)于Hamiltonian ODEs的高效辛算法和Hamiltonian PEDs的多辛積分子的一些結(jié)果,以及它們?cè)趯?shí)際中的應(yīng)用.針對(duì)Hamiltonian ODEs的數(shù)值計(jì)算,中國(guó)已故科學(xué)家馮康和美國(guó)科學(xué)家Ruth于80年代創(chuàng)立了辛幾何算法.相關(guān)的理論分析和大量數(shù)值結(jié)果表明該方法對(duì)Hamilton ODEs的計(jì)算是適合和有效的,尤其是對(duì)它們進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤計(jì)算時(shí),優(yōu)勢(shì)更

2、為明顯.我們分析了辛算法在實(shí)際中的應(yīng)用.一般說來,生成函數(shù)法可能會(huì)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),這使得它在實(shí)際應(yīng)用中受到很大的限制.因此現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中,人們很大程度上依賴于RK(PRK)方法,生成函數(shù)法只是提供理論上的工具.我們知道,對(duì)于不可分Hamilton系統(tǒng)而言,辛RK(PRK)法必然為隱式的,而隱式RK方法在實(shí)際應(yīng)用中,運(yùn)算量都是非常驚人的,尤其是在高階的水平上,更是令人難以實(shí)現(xiàn).所以辛RK(PRK)方法的在實(shí)際的應(yīng)用,一直以來都局限在低階的

3、方法上,高階方法大都以理論結(jié)果給出.但是如果一個(gè)隱式RK(PRK)方法的系數(shù)矩陣僅有實(shí)特征值,一個(gè)基于Butcher和Bickart的技巧可以大大的減少其在實(shí)際應(yīng)用中的運(yùn)算量.基于上述原因,我們考慮了這種具有實(shí)特征值的高效辛RK法和辛PRK法.我們首先證明了一個(gè)s級(jí)的上述方法的階p≤s+1,尤其是一個(gè)s級(jí)的辛RK法,當(dāng)s是偶數(shù)時(shí),它不可能達(dá)到s+1階,而當(dāng)s是奇數(shù)時(shí),則沒有此階障礙的限制.同時(shí),我們也指出一個(gè)s級(jí)的辛PRK法它的階完全可

4、以達(dá)到s+1.接著,我們又證明了,在高階的水平上,無論是這種辛RK法還是辛PRK法,它們的運(yùn)算效率都不能和相應(yīng)階的辛組合方法相媲美.我們最近的研究工作又表明,組合方法又會(huì)帶來諸如穩(wěn)定性方面的問題.最后,我們推薦了一些低階的高效格式.建立在Bridges意義上的多辛Hamilton系統(tǒng)的多辛算法被證明深刻反映了系統(tǒng)的本質(zhì).在Reich研究工作的基礎(chǔ)上,我們把PRK方法應(yīng)用到這種多辛Hamiltonian PDEs上,給出了它是多辛的一些充