含時薛定諤方程的高階辛算法研究.pdf

1、納米技術(shù)的發(fā)展之迅速異乎尋常，將成為二十一世紀(jì)的關(guān)鍵技術(shù)。納米技術(shù)是電子器件小型化的必然趨勢，也是現(xiàn)代理論研究和工程實踐的前沿領(lǐng)域。納米器件本身尺寸極小，傳統(tǒng)半導(dǎo)體物理中的建模方法已經(jīng)失效，采取實驗手段直接測量器件的各種性能又比較困難。因此，研究精確和高效的數(shù)值方法是現(xiàn)代納米器件建模和優(yōu)化的重要課題。納米器件的建模是一個極其復(fù)雜的多物理問題，描述電子傳輸中的電子與電子相互作用、電子和聲子的散射、外界環(huán)境的影響（電極、電場、磁場）以及器件

2、的局域化結(jié)構(gòu)均需要采用不同方法。分析大部分納米器件特性的切入點是確定器件結(jié)構(gòu)電子的能量本征值和能量本征態(tài)，本征值和本征態(tài)的求解過程本質(zhì)上也是表征器件格林函數(shù)的過程。一旦得到格林函數(shù)，器件的電荷密度、電流大小、和伏安曲線便可求出。因此，納米器件本征值和本征態(tài)的快速和精確求解是一項極其重要的課題。
　　 含時薛定諤（Schr(o)dinger方程）可以用于求解納米器件的本征值和本征態(tài)。FDTD方法——時域有限差分法，以其簡單直觀的特

3、點，已成為求解含時薛定諤方程最常用的方法之一，它的優(yōu)點包括形式簡單、極易處理非均勻結(jié)構(gòu)、方便得到目標(biāo)的寬帶信息、具有天然的并行性等等，但其缺點是無法克服在長時間仿真中產(chǎn)生的色散誤差。
　　 大量的物理現(xiàn)象可通過時間演變辛變換的哈密爾頓（Hamilton）微分方程描述。辛算法通過使用不同的時間差分方法保持了哈密爾頓系統(tǒng)向空間全局辛結(jié)構(gòu)。大量實驗已證明辛算法在哈密爾頓系統(tǒng)數(shù)值計算中的優(yōu)勢，該優(yōu)勢在長時間仿真中最為顯著。辛算法已經(jīng)成功

4、用于求解薛定諤方程:對于含時薛定諤方程，一種方法是將其復(fù)波函數(shù)分成實數(shù)部分和虛數(shù)部分，另一種方法是將其哈密爾頓系統(tǒng)分成動能算子和勢能算子。而對于穩(wěn)態(tài)薛定諤方程，如果使用的是廣義坐標(biāo)（復(fù)波函數(shù)）和廣義速度（復(fù)波函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)），那么，也可以使用辛算法。此外，辛算法亦可用于求解非線性薛定諤方程。
　　 本文將辛算法和高階時域有限差分算法結(jié)合構(gòu)造SFDTD方法—高階辛?xí)r域有限差分法，應(yīng)用到量子力學(xué)的薛定諤方程的求解中，發(fā)展快速、高效、

5、和精確的數(shù)值方案，解決任意結(jié)構(gòu)納米器件的本征問題。時間方向上，采用高階辛積分，在長期仿真中保持薛定諤方程的辛結(jié)構(gòu);空間方向上，采用4階交錯差分，提高數(shù)值精度。
　　 針對“含時薛定諤方程的高階辛算法研究”這一課題，本文的創(chuàng)新工作主要包括以下幾個方面的內(nèi)容:
　　 (1)研究了薛定諤方程的辛性質(zhì)，探討了薛定諤方程、離散方式、網(wǎng)格、空間拓?fù)渲g的內(nèi)在聯(lián)系;
　　 (2)研究SFDTD方法用于薛定諤方程的數(shù)值模擬。采用

6、高階辛?xí)r域有限差分法對含時薛定諤方程進(jìn)行離散，對空間進(jìn)行4階交錯差分，時間上引入高階辛積分，給出了基本的迭代公式;分析算法的穩(wěn)定性、色散性，研究本征值和本征態(tài)的有效提取方法，研究邊界問題的處理方法。
　　 (3)將SFDTD方法用于納米器件能量本征值和能量本征態(tài)的分析與求解，研究算法的數(shù)值性態(tài)，發(fā)展相關(guān)的核心技術(shù)，對典型結(jié)構(gòu)和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的納米器件進(jìn)行數(shù)值模擬。
　　 (4)納米材料量子傳輸模型的優(yōu)化和設(shè)計。在構(gòu)造麥克斯韋方