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文檔簡介
1、本文主要研究了一些非線性演化方程和方程組的辛和多辛算法.用辛和多辛算法研究了對稱正則長波(簡稱SRLW)方程和Klein-Gordon-SchrSdinger (簡稱KGS)方程組的孤立波隨時間的演化情況,及其有關(guān)的守恒律. 孤立波及其理論是現(xiàn)代非線性科學(xué)研究的重要組成部分,它所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型往往是線性或者非線性的偏微分方程或者方程組,它遍布現(xiàn)代科學(xué)研究的各個領(lǐng)域和角落,在流體力學(xué),原子分子物理,等離子體物理,光纖通訊,化學(xué)化
2、工,生物醫(yī)藥等諸多科學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.近幾十年來,孤立波方程定解問題的精確求解及其理論研究一直是科學(xué)研究的一個熱門課題,取得了豐碩的研究成果.求解孤立波方程精確解的方法除了傳統(tǒng)的反散射方法、Hirota雙線性方法、Backlüind變換方法外,近年來又涌現(xiàn)了很多新方法,如齊次平衡法、雙曲正切法,級數(shù)展開法等.雖然已經(jīng)有了這么多求解孤立波方程精確解的方法,但是由于事物的復(fù)雜性,大多數(shù)定解問題還是不能精確求解的,只能通過數(shù)值方法近似求解,特
3、別是對于非線性的情形. 一切耗散效應(yīng)可以忽略不計的物理過程都可表示成能夠保持辛幾何結(jié)構(gòu)不變的哈密爾頓系統(tǒng)的形式,它在自然界中具有普適性,也就是說大多數(shù)孤子方程都可以表示成哈密爾頓形式.現(xiàn)代數(shù)值計算的基本原則是盡可能保持原問題的本質(zhì)特征.因此,研究保持哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何結(jié)構(gòu)特征的數(shù)值方法是必然的.為了適應(yīng)這一需要,我國計算數(shù)學(xué)的奠基人馮康院士首次在1984年系統(tǒng)地提出了能夠保持哈密爾頓系統(tǒng)辛結(jié)構(gòu)不變的辛幾何算法。隨后,辛算法成為
4、國內(nèi)外計算科學(xué)討論的一個熱門課題,在這一領(lǐng)域涌現(xiàn)了一大批的研究成果.自從馮康院士提出辛算法以后,這一算法有了兩次大的飛躍和發(fā)展,一次是從有限維向無限維的推廣,一次是向多辛算法的深入發(fā)展.二十世紀(jì)九十年代后期,Marsden等從變分原理的角度提出了多辛積分的概念,而Bridges,Reichs從辛幾何的角度提出了多辛算法,近年來這一算法得到了迅猛的發(fā)展,它已經(jīng)成功地用來解決了很多現(xiàn)實問題,模擬了各種物理現(xiàn)象. 本文第一章對辛和多辛
5、算法的相關(guān)背景作了簡單介紹,對辛空間的基本知識作了簡要的回顧. 第二章簡單總結(jié)了構(gòu)造哈密爾頓系統(tǒng)辛算法的常用方法,主要有生成函數(shù)法,Runge-Kutta方法,塊Runge-Kutta,可分哈密爾頓系統(tǒng)的顯式方法和構(gòu)造高階精度格式的復(fù)合方法等.本章最后還介紹了把無限維哈密爾頓系統(tǒng)降低為有限維系統(tǒng)的Fourier擬譜方法. 第三章構(gòu)造了KGS方程組的一族辛格式,分析了此族格式的守恒律和收斂速度.證明了我們構(gòu)造的辛格式保持電
6、荷守恒,而且分析了它的能量誤差,證明了數(shù)值解的整體截斷誤差和解的收斂速度均為0(T<'2>+h<'2m>).?dāng)?shù)值實驗表明我們所構(gòu)造的辛格式具有長時間的數(shù)值模擬能力,我們的理論分析是正確的. 第四章簡單介紹了多辛哈密爾頓系統(tǒng)及其相關(guān)的守恒律.以KGS方程組為例介紹了一些構(gòu)造多辛算法的常用方法,主要有Fortrier擬譜方法,GaUSS-Legendre Runge-Kutta方法等.對KGS方程組研究了它的多辛格式的守恒律.通過分
7、析我們發(fā)現(xiàn)對KGS方程組而言,Preissman格式在加權(quán)意義下電荷守恒,而多辛Fourier擬譜方法具有經(jīng)典意義下的電荷守恒律,而能量表達(dá)式由于是三次多項式,Preissman格式和多辛Fourier擬譜格式均不具有能量守恒的特征,盡管如此,用多辛格式模擬所產(chǎn)生的誤差相對較?。覀冞€精確分析了能量和動量的殘量.?dāng)?shù)值例子表明我們所構(gòu)造的格式能夠模擬各種孤立波,得到了很多有趣的物理現(xiàn)象.同時也說明了我們的理論分析的正確性. 第五
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