帶嚴格單調算子的微分方程的概周期型解.pdf

1、丹麥數學家H.Bohr于1925-1926年間建立了概周期函數理論。概周期函數是擁有某種結構性質的連續(xù)函數，是周期函數的一般化。經過許多數學工作者的努力，概周期函數理論得到了長足的發(fā)展。一方面是關于概周期型函數的擴充和性質的研究，另一方面是概周期型函數理論在相應學科中的應用，特別是方程概周期型解的存在性條件。
　　本文主要包括兩部分內容的研究：一部分是關于幾種一階概周期型微分方程解的存在唯一性的研究討論，另一部分是關于一類帶梯度算

2、子的二階概周期型微分方程解的存在唯一性的討論。
　　對于帶有嚴格單調算子的微分方程的概周期解的存在唯一性已經得到了一些數學工作者的研究，并且有了一些重要的結果。Sarason定義了緩慢振蕩函數，但至今沒有人將它應用到帶有嚴格單調算子的微分方程中。1941年，Fr′echet最先研究引入了漸近概周期函數。漸近概周期函數是概周期函數的一個推廣。但到目前為止，還無人對帶有嚴格單調算子的微分方程的漸近概周期解的存在唯一性進行研究。

3、　　帶有梯度算子的二階微分方程是一類特殊的非線性方程，這種方程在化工和電子等方面有重要的作用。九十年代初利用變分法人們解決了這種方程解的存在性問題。利用函數的凸性，方程的概周期解的存在性和唯一性問題也已經得到了解決，這以后人們深入地研究更廣泛的帶梯度算子的二階方程，在它的概周期解的存在性和唯一性方面得到了一些很好的結果。
　　近幾年中，越來越多的人致力于帶有半群無窮小生成元的微分方程的概周期解的研究，但對于其緩慢振蕩解的研究是很少

4、的。
　　本文主要解決了以下幾個問題：
　　1.本文考慮將緩慢振蕩函數和帶有嚴格單調算子的微分方程相結合，利用反證法給出了帶有嚴格單調算子的一階微分方程緩慢振蕩解存在和唯一的一個充分條件和一個必要條件，并且舉例說明了，這兩個條件都不可能成為充分必要條件。特別地對于此類方程的一類特殊情形，我們給出了緩慢振蕩解存在和唯一的充分必要條件。
　　2.本文利用漸近概周期函數的性質給出了帶有嚴格單調算子的一階微分方程漸近概周期解存

5、在和唯一的一個充分條件和一個必要條件，并且舉例說明了，這兩個條件都不可能成為充分必要條件。特別地對于此類方程的一類特殊情形，我們給出了漸近概周期解存在和唯一的充分必要條件。并且我們把一些結果推廣到了一類二階微分方程。
　　3.本文解決了帶梯度算子的二階方程漸近概周期解的存在和唯一性的問題。我們利用漸近概周期函數的性質可以得到這種方程的漸近概周期解在R+上的存在性。另一方面，我們可以把原方程轉化，利用迭代法和相關的線性常微分方程的漸