LQ隨機(jī)控制理論在投資組合問題中的應(yīng)用.pdf

1、本文研究利用LQ隨機(jī)最優(yōu)控制理論來求解非完備市場(chǎng)下的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)投資組合問題。
　　 最優(yōu)投資組合問題是金融投資領(lǐng)域討論最為集中的話題,而Harry Markowitz的均值-方差模型可謂是最優(yōu)投資組合問題的開山鼻祖。對(duì)于連續(xù)時(shí)間均值-方差模型,Robert C Merton和Ralf Korn分別在他們的著作中提出各自的方法。RobertC Merton所提出的隨機(jī)控制方法是基于隨機(jī)控制理論的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果的,但在一般情況下很難得到

2、HJB方程的精確解,甚至類似問題的數(shù)值方法也相當(dāng)有限。而Ralf Korn基于完備市場(chǎng)假設(shè)提出了利用鞅理論和隨機(jī)積分來求解最優(yōu)投資組合問題的方法,但是其嚴(yán)格依賴市場(chǎng)模型的完備性,顯然不適用于非完備市場(chǎng)下的連續(xù)時(shí)間模型。有別于前人的成果,本文利用LQ隨機(jī)最優(yōu)控制理論來求解最優(yōu)投資組合問題。
　　 本文從經(jīng)典的均值-方差模型展開討論,將經(jīng)典模型表示成帶有等式約束的隨機(jī)最優(yōu)控制問題,進(jìn)而利用優(yōu)化理論中的Lagrange對(duì)偶方法引入無約

3、束最優(yōu)投資組合問題。利用變量代換方法,將無約束最優(yōu)投資組合問題轉(zhuǎn)化成LQ隨機(jī)最優(yōu)控制問題。通過引入Riccati矩陣微分方程和倒向微分方程,給出相應(yīng)的LQ隨機(jī)最優(yōu)控制問題的反饋控制的表達(dá)式,以確定最優(yōu)Lagrange對(duì)偶變量。再利用求解HJB方程粘性解的方法便可求得最優(yōu)投資組合問題的最優(yōu)投資策略。
　　 在對(duì)經(jīng)典均值-方差模型的研究基礎(chǔ)之上,本文將問題延伸到半方差模型上。相比經(jīng)典的均值-方差模型,半方差模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量方式更為合

4、理和有效。我們通過引入一個(gè)不等式狀態(tài)約束,將半方差模型表示成一個(gè)帶不等式約束的隨機(jī)最優(yōu)控制問題。類似于我們對(duì)經(jīng)典的均值-方差模型的處理方式,應(yīng)用Lagrange對(duì)偶方法,將帶有不等式約束的隨機(jī)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成LQ隨機(jī)最優(yōu)控制問題。借助于Riccati方程和倒向微分方程,以確定最優(yōu)Lagrange對(duì)偶變量,并通過粘性解的方法獲得原問題的最優(yōu)投資策略。
　　 本文最后介紹了利用粘性解求解隨機(jī)最優(yōu)控制問題的數(shù)值算法,結(jié)合此算法,利用