隨機(jī)控制理論在金融和保險(xiǎn)中的應(yīng)用.pdf

1、本文將致力于下面三個(gè)方面.首先是建立與實(shí)際更貼近的模型和問(wèn)題。其次是不局限于HJB方程的方法，根據(jù)當(dāng)前的模型和問(wèn)題所特有的性質(zhì)靈活變通，充分發(fā)揮各種隨機(jī)控制理論方法的作用，努力尋找解決問(wèn)題的路徑。最后，為了使最終的結(jié)果對(duì)實(shí)踐能起到一個(gè)很好的指導(dǎo)作用，將盡可能的對(duì)最優(yōu)問(wèn)題給出明確解，使得所得最優(yōu)策略具有可操作性。下面將詳細(xì)介紹各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容。
　　 首先在第一章中給出了下面章節(jié)中將要涉及到的隨機(jī)最優(yōu)控制理論。
　　 在第二

2、章中，一系列的帶交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題被考慮。
　　 在2.1節(jié)研究了帶交易費(fèi)用和稅收的最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)和分紅問(wèn)題。首先證明了超額損失再保險(xiǎn)是比比例再保險(xiǎn)好的即所對(duì)應(yīng)的最大的期望折現(xiàn)分紅量要大.然后通過(guò)解擬變分不等式，給出了最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)和分紅策略的明確表達(dá)式.超額損失再保險(xiǎn)與比例再保險(xiǎn)相比不再有比例這么好的形式。[4]曾經(jīng)考慮過(guò)超額損失再保險(xiǎn)下的不帶交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問(wèn)題.我們與[4]的區(qū)別首先是對(duì)于擬變分不等式解的構(gòu)造

3、比[4]里面的HJB方程的解的構(gòu)造要困難。其次是在[4]里面對(duì)于HJB方程解的構(gòu)造依賴于一個(gè)輔助函數(shù)。我們這里對(duì)于擬變分不等式解的構(gòu)造，沒(méi)有引入輔助函數(shù)而且方法更簡(jiǎn)單。
　　 2.2節(jié)考慮了復(fù)合泊松模型下的帶交易費(fèi)用和稅收的最優(yōu)分紅問(wèn)題。復(fù)合泊松模型下的最優(yōu)分紅問(wèn)題一直以來(lái)都是一個(gè)難點(diǎn)。主要原因是在復(fù)合泊松情景下所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方程不再有邊界條件并且有可能不再有連續(xù)可微的解。在這一節(jié)中我們構(gòu)造出了當(dāng)索賠是指數(shù)情景下的擬變分不等式的解

4、進(jìn)而給出了最優(yōu)策略.而且也給出了分紅時(shí)間間隔的期望值。結(jié)果展現(xiàn)了當(dāng)分紅的稅率減少時(shí)，應(yīng)該相應(yīng)的增加分紅的次數(shù)同時(shí)減少每次分紅的量。
　　 在2.3節(jié)，假設(shè)公司的余額被一個(gè)廣義的擴(kuò)散過(guò)程所描述。公司的目標(biāo)是最大化期望折現(xiàn)分紅。每次分紅仍舊有交易費(fèi)用和稅收被要求。在[93]展現(xiàn)了在一些合理的假設(shè)下最優(yōu)策略是塊狀邊界策略，即有兩個(gè)邊界，當(dāng)盈余達(dá)到上邊界時(shí)，進(jìn)行分紅。盈余減少到下邊界。但是，從償付能力的角度來(lái)看，這些最優(yōu)邊界有可能由于過(guò)

5、低而是保險(xiǎn)公司所不能接受的。因此我們應(yīng)該找一個(gè)滿足償付能力限制的塊狀邊界策略。類似于在[92]所提出的對(duì)于償付能力的限制，分紅策略應(yīng)該滿足在該策略下所對(duì)應(yīng)的有限時(shí)間的破產(chǎn)概率不超過(guò)一個(gè)給定的值。
　　 在2.4節(jié)所考慮的公司的盈余過(guò)程是一類更廣義的擴(kuò)散過(guò)程。更廣義的意思是放寬了以前文獻(xiàn)中所作的限制性的假設(shè)。這里同樣利用的也是擬變分不等式，但是由于沒(méi)有了一些好的假設(shè)條件導(dǎo)致了擬變分不等式的解的性質(zhì)和形式與以前有很大的不同。這里我們

6、利用一種新的思想把擬變分不等式的解根據(jù)他們的性質(zhì)進(jìn)行了分類。
　　 第三章討論了最小破產(chǎn)概率和最大化指數(shù)效用問(wèn)題。
　　 在3.1節(jié)，通過(guò)加入再保險(xiǎn)控制延拓了Browne的工作。即風(fēng)險(xiǎn)盈余過(guò)程是一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)。保險(xiǎn)公司被允許把盈余投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并且購(gòu)買(比例)再保險(xiǎn)。在投資和再保險(xiǎn)這兩種控制下，我們考慮了三個(gè)最優(yōu)準(zhǔn)則：最大化指數(shù)效用，最小化破產(chǎn)概率和最小化折現(xiàn)罰金。由于比例再保險(xiǎn)控制中的比例是在[0，

7、1]之間的。既控制變量是有限制的.因此對(duì)于HJB方程解的構(gòu)造要比[24]復(fù)雜。尤其是最后一個(gè)準(zhǔn)側(cè)。即使這樣我們?nèi)耘f給出了HJB的解析解，并通過(guò)它給出了最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略。特別的，當(dāng)沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)。相應(yīng)的結(jié)果展現(xiàn)了最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率他們的最優(yōu)策略是一樣的。這就驗(yàn)證了在[37]里面給出的猜測(cè)在加入再保險(xiǎn)后仍舊成立。同時(shí)也展現(xiàn)了當(dāng)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)，猜測(cè)不再成立。
　　 在3.2節(jié)考慮了投資多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)問(wèn)題?？紤]的風(fēng)

8、險(xiǎn)模型和3.2節(jié)一樣。同時(shí)允許保險(xiǎn)公司投資于多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和購(gòu)買(比例)再保險(xiǎn)。在非賣空的限制下，最大化指數(shù)效用和最小化破產(chǎn)概率兩個(gè)準(zhǔn)測(cè)被考慮。當(dāng)投資于單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，在沒(méi)有非賣空限制下得到的最優(yōu)投資額很自然的滿足非賣空的限制。但對(duì)于多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，情況就不一樣了。在沒(méi)有非賣空限制下得到的最優(yōu)投資策略不一定滿足非賣空的限制。因此需要我們對(duì)HJB方程進(jìn)行一定不同方法的處理。
　　 3.3節(jié)考慮了超額損失再保險(xiǎn)和多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資兩種控制

9、。最優(yōu)準(zhǔn)則與3.2節(jié)相同。首先證明了超額損失再保險(xiǎn)比比例再保險(xiǎn)更優(yōu)，即超額損失再保險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的最小破產(chǎn)概率比比例再保險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的小和最大指數(shù)效用比比例再保險(xiǎn)的大。然后通過(guò)HJB方程給出了最優(yōu)解。同時(shí)也驗(yàn)證了Ferguson的猜測(cè)在超額損失再保險(xiǎn)的情景下仍成立。
　　 第四章對(duì)保險(xiǎn)里的均方差問(wèn)題進(jìn)行了討論。
　　 在4.1節(jié)，我們對(duì)再保險(xiǎn)/新業(yè)務(wù)和投資兩種控制下的均方差問(wèn)題進(jìn)行了研究。其中考慮了兩種風(fēng)險(xiǎn)模型：復(fù)合泊松和帶飄移的

10、布朗運(yùn)動(dòng)。問(wèn)題的解決不同于[27]，相應(yīng)的HJB方程不再有古典的解，另外即使給出粘性解，據(jù)我們所知僅僅有關(guān)于擴(kuò)散模型下的粘性解驗(yàn)證定理。對(duì)于它在復(fù)合泊松模型下的有效性還沒(méi)有得到認(rèn)證。
　　 在4.2節(jié)，我們用一個(gè)受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程描述了公司的盈余過(guò)程。研究了均方差準(zhǔn)則所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)投資問(wèn)題。
　　 在第五章，我們研究了受(分?jǐn)?shù))布朗運(yùn)動(dòng)干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)問(wèn)題。
　　 在5.1節(jié)，風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是一個(gè)

11、受布朗運(yùn)動(dòng)干擾的復(fù)合泊松過(guò)程?？刂剖潜ｋU(xiǎn)公司向顧客收取的保費(fèi)。目標(biāo)是最小化盈余過(guò)程與給定軌道的距離與保費(fèi)折現(xiàn)值的和。我們通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，完全平房和隨機(jī)最大值原則三種不同的方法給出了最優(yōu)控制和最優(yōu)值函數(shù)。
　　 5.2節(jié)就是一個(gè)很好的例子。我們?cè)谶@一節(jié)研究了受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)問(wèn)題。最優(yōu)準(zhǔn)則與5.1節(jié)相同。最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)通過(guò)完全平方的方法被清晰的給出。
　　 在第六章研究了一些其他的最優(yōu)控制問(wèn)題。<

12、br>　　 在6.1節(jié)研究了連續(xù)時(shí)間模型下的再保險(xiǎn)市場(chǎng)上的最大化指數(shù)效用問(wèn)題。連續(xù)時(shí)間模型下的再保險(xiǎn)問(wèn)題不同于單期的情景，保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司它們?cè)谡麄€(gè)時(shí)間段內(nèi)都是一個(gè)博弈的關(guān)系。據(jù)我們所知，即使在專門(mén)的博弈理論中也從沒(méi)涉及到連續(xù)時(shí)間模型的例子。因此在借鑒單期的理論和方法的同時(shí)，必須在方法上有其他新的突破，才能解決連續(xù)情景下的最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題。
　　 6.2節(jié)是關(guān)于一個(gè)局部信息下的最優(yōu)控制問(wèn)題。股票的價(jià)格滿足一個(gè)隨機(jī)微分方程，其

13、中瞬時(shí)的返回率是一個(gè)Omstein-Uhlenbeck過(guò)程。這里僅僅股票的價(jià)格和利率能被觀察。通過(guò)利用過(guò)濾和動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論，我們給出了指數(shù)和對(duì)數(shù)效用下的最優(yōu)解。其中對(duì)數(shù)效用是在不允許投資者進(jìn)行賣空和借款的限制下考慮的。
　　 最后一節(jié)考慮的準(zhǔn)則是最小化破產(chǎn)之前到達(dá)一個(gè)給定目標(biāo)的期望值。對(duì)于一般的投資者，[95]通過(guò)最大化波動(dòng)系數(shù)平方除飄移系數(shù)得到了最優(yōu)投資策略。[95]里面的控制變量不受限制和最優(yōu)策略被展現(xiàn)是比例策略。
　　

14、 下面將從各個(gè)章節(jié)的創(chuàng)新點(diǎn)和特色之處對(duì)他們的內(nèi)容進(jìn)行概括性的總結(jié)。
　　 1.方法的創(chuàng)新。
　　 (1)2.3節(jié)有兩個(gè)方法上的創(chuàng)新點(diǎn)：(a)關(guān)于非連續(xù)可微解的驗(yàn)證定理；(b)利用Thomas和Crank-Nicolson算法給出了最優(yōu)雙邊界。
　　 (2)2.4節(jié)在方法上的兩個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)是：(a)提出了一種新的把擬變分不等式的解進(jìn)行分類的方法；(b)給出了一種新的構(gòu)造最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略的方法。
　　 (3

15、)4.1節(jié)給出了一類粘性解的驗(yàn)證定理。
　　 (4)6.1節(jié)首次給出了解決連續(xù)時(shí)間Pareto最優(yōu)再保險(xiǎn)的方法.
　　 (5)6.2節(jié)利用HJB方程的方法解決局部信息下的最優(yōu)問(wèn)題。以前幾乎所有文獻(xiàn)都是利用的鞅方法。這里我們也充分展現(xiàn)了HJB方程與鞅方法相比的優(yōu)點(diǎn)。
　　 2.解方程和構(gòu)造最優(yōu)解技巧的創(chuàng)新。
　　 這部分主要是對(duì)已有經(jīng)典工作或優(yōu)秀工作的更深入的研究和推廣。但并不是簡(jiǎn)單的在同一方法上的計(jì)算推廣

16、。
　　 (1)2.1節(jié)是對(duì)文章[28](發(fā)表在國(guó)際頂級(jí)金融雜志Mathematical Finance)的工作一個(gè)改進(jìn)推廣。研究了帶交易費(fèi)用和稅收的最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)和分紅問(wèn)題。首先證明了超額損失再保險(xiǎn)比[28]中的比例再保險(xiǎn)更優(yōu)。這也是我們考慮超額損失再保險(xiǎn)的一個(gè)原因。超額損失再保險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的擬變分不等式比比例再保險(xiǎn)復(fù)雜的多。在2.1節(jié)我們給出了不同的構(gòu)造解的方法。
　　 (2)2.2節(jié)是對(duì)于古典風(fēng)險(xiǎn)模型的一個(gè)挑戰(zhàn)。古

17、典風(fēng)險(xiǎn)模型一直以來(lái)都是分紅問(wèn)題的難點(diǎn)。這里對(duì)于擬變分不等式的解的構(gòu)造與2.1節(jié)和[28]有很大不同。從2.2節(jié)我們可以看到，古典風(fēng)險(xiǎn)模型下擬變分不等式的解的形式更多樣化。
　　 (3)[24]的工作被稱為保險(xiǎn)理論和控制理論相結(jié)合的先例。在第三章，我們延拓了Browne的工作考慮了最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題。比例再保險(xiǎn)的介入使得對(duì)于相應(yīng)的HJB方程的解的構(gòu)造需要更高的技巧性。
　　 (4)6.3節(jié)考慮了最小化破產(chǎn)之前到達(dá)一個(gè)給定

18、目標(biāo)的期望值。這是對(duì)于經(jīng)典文章[95]工作的一個(gè)推廣。由于賣空被限制和比例再保險(xiǎn)的比例是在[0，1]之間。使得[95]里面的方法不能再被利用。我們通過(guò)HJB方程的方法解給出了最優(yōu)解。這里對(duì)于HJB方程解的構(gòu)造也是極其復(fù)雜的。
　　 3.引入新的控制方法進(jìn)入保險(xiǎn)領(lǐng)域.
　　 4.研究非馬爾科夫風(fēng)險(xiǎn)余額過(guò)程的最優(yōu)控制問(wèn)題。
　　 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是具有長(zhǎng)程相依性的非馬爾科夫過(guò)程。雖然它可以用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)中更貼近實(shí)際的現(xiàn)象。