Banach空間若干可凹性與凸性研究.pdf

1、Banach空間的凸性研究是Banach空間幾何理論的重要研究內(nèi)容之一，Banach空間幾何理論的研究就是從Banach空間單位球的凸性開始的，由于凸性具有鮮明的直觀幾何意義，凸性的研究吸引了無數(shù)的數(shù)學(xué)工作者，人們詳細(xì)地討論了各種凸性的性質(zhì)和它們在控制論、最佳逼近以及不動點(diǎn)理論中的應(yīng)用．凸性是與Radon-Nikodym性質(zhì)有密切聯(lián)系的幾何性質(zhì)，Banach空間的凸性強(qiáng)到某種程度空間就必然具有Radon-Nikodym性質(zhì)(如，k-致凸

2、空間、一致凸空間等)，1936年J.A.Clarkson引進(jìn)了一致凸空間，并證明了一致凸空間具有Radon．Nikodym性質(zhì)，他的工作標(biāo)志著揭開了研究Radon-Nikodym性質(zhì)的序幕． Banach空間的可凹性研究也是Banach空間幾何理論的重要研究內(nèi)容之一，可凹性是與Radon．Nikodym性質(zhì)有密切聯(lián)系的幾何性質(zhì)，事實(shí)上，Banach空間X具有Radon-Nikodym性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)X的每一個有界集是可凹的，這是把R

3、adon-Nikodym性質(zhì)作為一種幾何性質(zhì)來研究的一個真正突破． 雖然，凸性和可凹性都與Radon-Nikodym性質(zhì)有密切的聯(lián)系，但是揭示凸性和可凹性之間的直接聯(lián)系的結(jié)果卻很少見，目前只有吳從忻和黎永錦的重要結(jié)論：若X是自反的Banach空間，則X是強(qiáng)凸的當(dāng)且僅當(dāng)X的單位球面的每一點(diǎn)是閉單位球的可凹點(diǎn)．筆者在學(xué)習(xí)過程中注意到了Banach空間幾何研究在這一方面的不足，引入了各種可凹性，詳細(xì)地討論了Banach空間的凸性和可凹

4、性之間的聯(lián)系，給出了揭示凸性和可凹性之間聯(lián)系的重要結(jié)論．此外，Banach空間的凸性研究總是以單位球?yàn)檠芯繉ο螅疚膭t以Banach空間的一般凸集為研究對象，將Banach空間的凸性研究的部分結(jié)果推廣到了內(nèi)部非空的凸集上．在本文中進(jìn)行的關(guān)于可凹性與凸性的研究上我們?nèi)〉昧溯^好的結(jié)果， 全文共分為三章． 第一章：引入了弱可凹點(diǎn)，弱*可凹點(diǎn)和一致可凹集的概念，并以此為工具刻畫了自反的非常凸空間和一致凸空間的特征，得到了各種可凹