飛行器設(shè)計(jì)中的高維函數(shù)逼近理論研究.pdf

1、論文從飛行器設(shè)計(jì)中對(duì)曲面構(gòu)造、方程求解以及代理模型等問題的具體需求出發(fā)，探討了相應(yīng)的（1)函數(shù)逼近空間、（2)具體逼近算法、（3)兩類不確定性重要度的計(jì)算以及(4)多元積分的轉(zhuǎn)換等方面內(nèi)容。
　　(1)討論了由多重正交級(jí)數(shù)的星形部分和張成的函數(shù)空間。該空間的自由參數(shù)數(shù)目獨(dú)立于問題的維數(shù)，且空間中的函數(shù)作為給定函數(shù)的近似具有較好的收斂速度。主要的結(jié)論有：
　　?運(yùn)用函數(shù)正交展開式系數(shù)的衰減性來定義部分和，從而使得自由參數(shù)數(shù)目的

2、增長(zhǎng)獨(dú)立于維數(shù)本身；
　　?給出了星形部分和自由參數(shù)數(shù)目的增長(zhǎng)階與增長(zhǎng)界；
　　?基于上述增長(zhǎng)界，給出了利用星形部分和逼近已知函數(shù)時(shí)的誤差界；
　　?由可和性討論給出了高維核插值的一個(gè)基本思路。該思路有可能成為徑向基函數(shù)插值在高維情形有價(jià)值的替代品。
　　(2)引入了一種基于多項(xiàng)式的多分辨分析以及一類多級(jí)的Jigsaw擬插值算法。該方法為多元函數(shù)與數(shù)據(jù)提供了一種由粗到細(xì)的分級(jí)表示方法。主要的結(jié)論有：
　　?

3、提出了一種多項(xiàng)式再生的多分辨結(jié)構(gòu)。這種多分辨結(jié)構(gòu)僅依賴于空間的仿緊性，因此可以直接拓展到定義在微分流形上的函數(shù)或數(shù)據(jù)，也可用于微分流形本身的構(gòu)造；
　　?引入了一族多項(xiàng)式Jigsaw函數(shù)以及C⑷的Jigsaw函數(shù)，并由此提出了一種多級(jí)Jigsaw分解算法，從而得到一個(gè)從整體逐漸過渡到局部的空間樹形分解結(jié)構(gòu)；
　　?引入了兩種多項(xiàng)式多級(jí)Jigsaw擬插值，并得到了相應(yīng)的誤差界；
　　?引入了局部誤差估計(jì)，并在此基礎(chǔ)上建立

4、了Jigsaw逼近以及Jigsaw變換，由此得到一類自適應(yīng)逼近。另外還單獨(dú)討論了常數(shù)Jigsaw擬插值。說明了最優(yōu)分片常數(shù)插值的存在性以及該最優(yōu)方法與相應(yīng)Voronoi圖和Delaunay三角剖分之間的聯(lián)系。
　　(3)給出了High Dimensional Model Representations(HDMR)分解、Sobol指標(biāo)以及Borgonovo指標(biāo)的具體計(jì)算方法。主要的結(jié)論有：
　　?構(gòu)造了HDMR分解截?cái)嗫臻g的再

5、生核，從而利用核插值的方法估計(jì)HDMR分解，并最終對(duì)Sobol重要度指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。在一個(gè)較強(qiáng)的假設(shè)下，該方法也可以用于高維函數(shù)逼近；
　　?根據(jù)非參數(shù)濾波的思想，將核回歸的方法引入到條件期望E(y|；ri)的估計(jì)中，因此能夠同時(shí)對(duì)H D M R分解以及Sobol重要度指標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。并針對(duì)這些估計(jì)分析了相應(yīng)的漸近收斂速度，從而指出其收斂速度不可能高于 N-1/2；
　　?針對(duì)Borgonovo矩獨(dú)立指標(biāo)估計(jì)中的雙重Monte

6、Carlo(MC)密度估計(jì)的問題，分別采取了相應(yīng)的措施。首先利用一個(gè)核估計(jì)對(duì)條件密度積分進(jìn)行轉(zhuǎn)化以避免雙重MC估計(jì)，然后又將密度范數(shù)的估計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)正交矩列的估計(jì)，從而建立了矩獨(dú)立指標(biāo)的一類快速算法。
　　(4)根據(jù)圓柱螺旋線引入了漸近空間的相關(guān)概念。借助適當(dāng)?shù)臐u近曲線，可以將任意的高維積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)單變量積分，從而可以使用單變量的自適應(yīng)積分來估計(jì)高維積分。主要的結(jié)論有：
　　?討論了漸近曲線上的單變量積分與原始多變量積分之