探究絕對(duì)值函數(shù)最值的求法

1、<p>　　探究絕對(duì)值函數(shù)最值的求法及應(yīng)用</p><p>　　2011年陜西省理科高考試題第14題。題目是：植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 米。該題考查了求絕對(duì)值函數(shù)的最小值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題。另外2009年上

2、海高考有一道數(shù)學(xué)試題；其題目是：某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)絡(luò)格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）為報(bào)刊零售點(diǎn)，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外） 為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之同路程的和最短。該題也需要轉(zhuǎn)化為求絕對(duì)值函數(shù)</p><p>　　的最小值問(wèn)題。那么如何求

3、這種多個(gè)絕對(duì)值和的函數(shù)的最小值問(wèn)題呢？對(duì)此，筆者運(yùn)用以下方法進(jìn)行了探索研究，得出了解決這種問(wèn)題的基本方法，以此與各位同仁商榷。</p><p>　　利用函數(shù)圖象研究這類(lèi)函數(shù)的值域，從而達(dá)到求函數(shù)的最值：由于含絕對(duì)值函數(shù)可以等價(jià)化為分段函數(shù)，因此運(yùn)用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值。</p><p>　　例1求函數(shù)的最小值。</p><p><b>　　解：由于函數(shù)，

4、</b></p><p>　　作出其圖象如右圖：由圖象可知其當(dāng)時(shí)，</p><p>　　原絕對(duì)值函數(shù)的最小值為0。</p><p>　　例2求函數(shù)的最小值。</p><p><b>　　解：由于該函數(shù)</b></p><p><b>　　，作出其</b></

5、p><p>　　圖象如右圖所示。則當(dāng)時(shí)，其函數(shù)的最</p><p><b>　　小值為3：</b></p><p>　　例3、求函數(shù)的最小值。</p><p>　　解：由于該函數(shù)可化成分段函數(shù)，則</p><p><b>　　=</b></p><p>&

6、lt;b>　　作出其圖象如右圖：</b></p><p>　　結(jié)論1：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值。</p><p><b>　　證明如下：由于函數(shù)</b></p><p><b>　　該函數(shù)等價(jià)于：</b></p><p><b>　　，</b><

7、;/p><p>　　作出其圖象如右圖：從圖象可知，當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　該函數(shù)的最小值為。</b></p><p>　　結(jié)論2：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為。</p><p><b>　　證明如下：由于函數(shù)</b></p><p><b>　　該函

8、數(shù)等價(jià)于</b></p><p>　　該函數(shù)的圖象如右圖所示：</p><p>　　由圖象中知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)該函數(shù)的最小值為。</p><p>　　以上兩個(gè)結(jié)論可推廣到任意個(gè)絕對(duì)值的和的最值問(wèn)題。結(jié)論如下：</p><p><b>　　推論1：對(duì)于函數(shù)</b></p><p>　　當(dāng)且僅

9、當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為</p><p><b>　?。ǎ?。</b></p><p>　　推論2：對(duì)于函數(shù)（）當(dāng)且僅當(dāng)</p><p>　　時(shí)，函數(shù)有最小值（）</p><p>　　運(yùn)用以上推論，達(dá)到求函數(shù)最值的目的：</p><p>　　下面我們來(lái)解以下高考試題：</p><p&

10、gt;　　例1：（2011年陜西省理科高考試題第14題）植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為 </p><p>　　分析：該題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題，考查的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)值求和的最值問(wèn)題。先將該題放在數(shù)軸上來(lái)研究。即將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，通

11、過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決此問(wèn)題。</p><p>　　解：以一段直線公路為軸，建立如圖所示的數(shù)軸坐標(biāo)系。</p><p><b>　　設(shè)領(lǐng)取樹(shù)苗的坐標(biāo)為</b></p><p><b>　　時(shí)，每位同學(xué)前來(lái)</b></p><p><b>　　領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的</b></p

12、><p>　　路程和為米，則，根據(jù)推論1可知：當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，函數(shù)有最小值：</p><p><b>　　=2000（米）</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　+=2000（米）</b></p><p>　　例2：（20

13、09年上海高考數(shù)學(xué)試題）某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)絡(luò)格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）為報(bào)刊零售點(diǎn)，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外） 為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和最短。</p><p>　　分析：該題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用題；考查的知識(shí)點(diǎn)也是求絕對(duì)

14、值和的最值問(wèn)題。該題已經(jīng)將格點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系中，由于發(fā)行站與各報(bào)刊之間只能沿軸與軸兩個(gè)方向穿越，因此可將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求軸與軸兩個(gè)方向上含絕對(duì)值和的最值問(wèn)題。</p><p>　　解：設(shè)發(fā)行站格點(diǎn)為P時(shí)，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和為，則</p><p>　　要求以上含絕對(duì)值和的最值問(wèn)題，可分別求函數(shù)</p><p><b>　　與函數(shù)</

15、b></p><p><b>　　兩個(gè)函數(shù)的最小值。</b></p><p>　　根據(jù)以上推論1可知當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最小值</p><p>　　=14；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，由于即或時(shí)，有最小值為：，所以</p><p>　　的最小值為14+9=23此時(shí)，發(fā)行站應(yīng)設(shè)在點(diǎn)（3，3）或（3，4 ）處，但是由于題意，發(fā)行站不能作為

16、零售點(diǎn)，因此，發(fā)行站只能為（3，3）處。</p><p>　　根據(jù)以上兩種求函數(shù)最值的方法：圖象法和推論法，它們的本質(zhì)都來(lái)源于去掉絕對(duì)值符號(hào)；當(dāng)然對(duì)于簡(jiǎn)單的絕對(duì)值函數(shù)值域問(wèn)題（兩個(gè)或三個(gè)絕對(duì)值符號(hào)），可直接運(yùn)用圖象法比較直觀；對(duì)于多個(gè)含絕對(duì)值最值問(wèn)題，可運(yùn)用推論來(lái)解決，相對(duì)簡(jiǎn)單；當(dāng)然，對(duì)于絕對(duì)值求最值問(wèn)題方法很多，以上方法僅與各位同仁探討。</p><p>　　陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué)：王仕林