一元二次方程根的分布

1、1方程根的分布專題講義方程根的分布專題講義一知識要點一知識要點二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線與軸交點的02???cbxaxcbxaxy???2x橫坐標，所以研究方程的實根的情況，可從的圖象上進行研02???cbxaxcbxaxy???2究若在內(nèi)研究方程的實根情況，只需考察函數(shù)與)(????02???cbxaxcbxaxy???2軸交點個數(shù)及交點橫坐標的符號，根據(jù)判別式以及韋達定理，由的系數(shù)可判xcbxaxy???2斷出的符號，從

2、而判斷出實根的情況2121xxxx??若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確)(nm02???cbxax定1二次方程有且只有一個實根屬于二次方程有且只有一個實根屬于的充要條件的充要條件)(nm若其中一個是方程的根，則由韋達定理可求出另一根nm若不是二次方程的根，二次函數(shù)的圖象有以下幾種nm02???cbxaxcbxaxxf???2)(可能：（1）（2）210xnxma????nxmxa????210（3）（4）210x

3、nxma????nxmxa????210由圖象可以看出，在處的值與在處的值符號總是相反，即)(xfmx?)(mfnx?)(nf；反之，若，的圖象的相對位置只能是圖中四種情況之0)()(??nfmf0)()(??nfmf)(xf一所以得出結(jié)論：若都不是方程的根，記，則有且nm)0(02????acbxaxcbxaxxf???2)(0)(?xf只有一個實根屬于的充要條件是)(nm0)()(?nfmf2二次方程兩個根都屬于二次方程兩個根都屬于

4、的充要條件的充要條件)(nmxyOmn1x2xxyOmn1x2xxyOmn1x2xxyOmn1x2x3二次方程二次方程的兩個實根都在的兩個實根都在的左側(cè)（兩根都小于的左側(cè)（兩根都小于）的充要條件是：）的充要條件是：02???cbxax)(nmm????????????mabmafacb20)(042這里這里cbxaxxf???2)(二例題選講二例題選講例１設(shè)關(guān)于的方程R），x?????bbxx(0241（1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù)b的取

5、值范圍；（2）當方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。例２已知二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a≠0).若方程f(x)=x無實根，求證：方程f[f(x)]=x也無實根例３設(shè)，，若，求實數(shù)的取值范圍[24)A??240Bxxax????BA?a變式：已知方程x2(3m1)x(3m2)=0的兩個根都屬于(33)，且其中至少有一個根小于1，求m的取值范圍例４已知方程有兩個負根，求的取值范圍)(0)32()1(242Rmmxmx?

6、?????m例５求實數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程mx062)1(22?????mxmx（１）有兩個實根，且一個比２大，一個比２?。ǎ玻┯袃蓚€實根，且滿足??410??????（３）至少有一個正根例６已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.變式：已知方程2x2–2(2a1)xa2=0的兩個根在3與3之間，求

7、a的取值范圍例７已知二次方程的兩個根都小于1，求的取值范圍02)12(2?????mxmmxm變式：如果二次函數(shù)y=mx2(m－3)x1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.例８已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零a2()223fxaxxa????()yfx???11?，點，求的取值范圍a二次方程實根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場合下也可以適當運用下面再舉兩個例子：例９求函數(shù)y=(

8、1x2)的值域x1x23x2例10已知拋物線y=2x2mxm與直角坐標平面上兩點(00)(11)為端點的線段（除去兩個端點）有公共點，求m的取值范圍三鞏固練習(xí)三鞏固練習(xí)1已知二次方程有且只有一個實根屬于(11)，求m的取值04)32()13(2??????mxmxm范圍2已知方程在上有兩個根，求的取值范圍02)12(22??????mmmxx)1(??m3已知二次方程有且只有一個實根屬于（1，2），且0)1(2)12(2?????mmx