數(shù)學(xué)論文之極限

1、論述主題：高等數(shù)學(xué)中的極限思想學(xué)院：計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院班級(jí)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)1301論述者：楊凌鋒參考文獻(xiàn)：《百度文庫》，《高等數(shù)學(xué)第三版》，《同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系論極限》高等數(shù)學(xué)中的極限思想高等數(shù)學(xué)中的極限思想在沒接觸高等數(shù)學(xué)之前，我所認(rèn)知的數(shù)學(xué)解題方法大致可以分為三類：1.代數(shù)計(jì)算（對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算）；2.幾何作圖（通過對圖像的分析研究問題）；3.從特殊到一般的特殊化方法（如數(shù)學(xué)歸納法）。但是進(jìn)入大學(xué)，學(xué)了高數(shù)之后，我有知道了

2、一種數(shù)學(xué)中極為常用的思想方法——極限思想。在我看來，極限思想貫穿了整個(gè)高等數(shù)學(xué)，它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，有是微積分理論的基礎(chǔ)，因而想要學(xué)好高等數(shù)學(xué)，首要的是掌握極限思想。對此，我對極限思想的作用和極限的一些基本解法做了一些了解和總結(jié)。（一）極限思想的作用世界本是由數(shù)字組成的，數(shù)學(xué)的進(jìn)步就是世界的進(jìn)步，這也許就是數(shù)學(xué)的魅力，不獨(dú)立于其他事物，作為研究其他學(xué)科的工具。于是，也許你單是考慮極限并沒有多大價(jià)值，但是它與其他知識(shí)結(jié)合起來就

3、可以體現(xiàn)出巨大的力量。極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從近似認(rèn)識(shí)精確。無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展。無限個(gè)數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想

4、方法，從有限來認(rèn)識(shí)無限的?！白儭迸c“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，就是借助于極限的思想方法，從“不變”來認(rèn)識(shí)“變”的。曲線形與直線形有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所

5、說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是借助于極限的思想方法，從直線形來認(rèn)識(shí)曲線形的（以直代曲思想）。量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關(guān)系。對任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來說，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“

6、變”成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積。（二）高等數(shù)學(xué)中有關(guān)極限的求法總結(jié)一直接代入法極限連續(xù)函數(shù)有定義，若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則有；也就是說，()fx0xx?00lim()()xxfXfx??假如函數(shù)在處是連續(xù)的，那么在時(shí)，函數(shù)的極限為。所以通常情況下0xx?0xx?0()fx只需把x的值直接帶入表達(dá)式就可以了，如果結(jié)果有意義，則那就是極限值。五利用無窮小的性質(zhì)求極限：（1）有限個(gè)無窮小的和為無窮?。?）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。例1：求

7、；0limsintanxxxx???解：時(shí)，所以由無窮小的性質(zhì)可知，極限的值為無0x?0sin0tan0xxx???，窮小。例2：求；32sin!lim1nnnn???解：可知所以是有界函數(shù)與無窮小的乘積的類型，32231sin!1limlim011nnnnnn?????????極限值為0.六利用重要極限這兩個(gè)重要極限在求極限的解題過程中起著十分重要的作10sinlim1lim(1)xxoxxxex?????用，而且將x代換成就可以解決

8、一類問題。()ux例1：求；??1sin1lim1xxx???解，由重要極限可知，原式=1；110xx???例2：求：24lim1xxx?????????解：。4284lim84=lim1xxxxxxxeex?????????????原式注：如果遇到（類型）的求極限時(shí)可用()lim()lim()1lim()vxxxxuxuxvx??????AAA其中1?以下這個(gè)下公式，證明過程要用到恒等變形，比較簡單，??()1()()lim()lim