多元微分學(xué)

1、1多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的微分學(xué)關(guān)于多元函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：關(guān)于多元函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1、與一元函數(shù)一樣，二元及二元以上的函數(shù)也只與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與用什么字母表示自變量、因變量無關(guān)。與一元函數(shù)一樣，二元及二元以上的函數(shù)也只與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與用什么字母表示自變量、因變量無關(guān)。2、二元函數(shù)的定義域是平面上的一個(gè)區(qū)域，二元函數(shù)的圖形是一張曲面。在求較復(fù)雜的多元函數(shù)的定義域也和一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)的定義

2、域是平面上的一個(gè)區(qū)域，二元函數(shù)的圖形是一張曲面。在求較復(fù)雜的多元函數(shù)的定義域也和一元函數(shù)一樣，先寫出各部分的簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，再解聯(lián)立不等式組，即得到所求多元函數(shù)的定義域。先寫出各部分的簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，再解聯(lián)立不等式組，即得到所求多元函數(shù)的定義域。一元函數(shù)極限一元函數(shù)極限與二元函數(shù)極限與二元函數(shù)極限的區(qū)別：的區(qū)別：)(lim0xfx?)(lim00yxfyyxx??1、前者的動(dòng)點(diǎn)前者的動(dòng)點(diǎn)的方式只有三種：的方式只有三種：和左右跳動(dòng)趨向

3、；而后者的動(dòng)點(diǎn)是平面上的點(diǎn)和左右跳動(dòng)趨向；而后者的動(dòng)點(diǎn)是平面上的點(diǎn)0xx?????00xxxx其方式有無窮多種；其方式有無窮多種；)()(00yxyx?2、二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)Q（x，y）以任何方式，任何方向，任何路徑趨向）以任何方式，任何方向，任何路徑趨向時(shí)，均有時(shí)，均有)(000yxP，如沿兩條不同的路徑，，如沿兩條不同的路徑，不相等，則可斷定不相等，則可斷定不Ayxf?)()(lim00yxfyyxx??)(l

4、im00yxfyyxx??存在。存在。這是證明多元函數(shù)極限不存在的有效方法。這是證明多元函數(shù)極限不存在的有效方法。關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、二元函數(shù)二元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處連續(xù)的的三個(gè)條件：處連續(xù)的的三個(gè)條件：)(yxfz?)(00yxa在點(diǎn)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義；的某領(lǐng)域內(nèi)有定義；)(yxfz?)(000yxPb存在存在c)(lim00yxfyyxx??)()(lim0000yxfyxfy

5、yxx???這三個(gè)條件缺一不可，否則，這三個(gè)條件缺一不可，否則，在點(diǎn)在點(diǎn)處不連續(xù)。處不連續(xù)。)(yxfz?)(000yxP2、一元函數(shù)只有間斷點(diǎn)，二元函數(shù)不僅可能有間斷點(diǎn)，還可能有間斷線。一元函數(shù)只有間斷點(diǎn)，二元函數(shù)不僅可能有間斷點(diǎn)，還可能有間斷線。關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)，全導(dǎo)數(shù)及全微分，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)，全導(dǎo)數(shù)及全微分，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)或與偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù))(yxfz?)(00yx)(00yxfx)(

6、00yxfy或是兩個(gè)不同的概念，函數(shù)在是兩個(gè)不同的概念，函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，就是偏導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值。求分點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，就是偏導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值。求分)(yxfx)(yxfy0P段函數(shù)在段函數(shù)在“分界點(diǎn)分界點(diǎn)”處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，必須用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求。處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，必須用偏導(dǎo)數(shù)的定義來求。2一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以理解為可以理解為與之商，稱之為之商，稱之為“微商微商”，但在多元函數(shù)中，，但在多元函數(shù)中，就不能理解就不能理解dxd

7、ydydxxz??34、已知、已知為某二元函數(shù)為某二元函數(shù)的全微的全微dyyxxbydxxyaxy)3sin1()cos(2223????)(yxf分，則分，則a與b的值分別是（的值分別是（）A）22與2B）2與22C）33與3D）3與335、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù)，有，有，且，且，，則，則)(yxfz?222???yf1)0(?xfxxfy?)0(為（）為（）)(yxfA）B）21yxy??21yxy??C）D）221yyx??221yyx?

8、?二、求二重極限二、求二重極限[解題提示解題提示]：求二元函數(shù)：求二元函數(shù)f(xy)的極限的常用方法有：的極限的常用方法有：1.利用函數(shù)連續(xù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性；利用函數(shù)連續(xù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性；2.利用有界函數(shù)與無窮小的積的性質(zhì)；利用有界函數(shù)與無窮小的積的性質(zhì)；3.通過恒等變形化不定式為定式；通過恒等變形化不定式為定式；4.利用極限四則運(yùn)算的性質(zhì)利用極限四則運(yùn)算的性質(zhì)5.利用夾逼準(zhǔn)則利用夾逼準(zhǔn)則6.通過適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，再利用一

9、元函數(shù)中已知的極限公式；通過適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，再利用一元函數(shù)中已知的極限公式；7.通過限制通過限制方式方式(特殊路徑特殊路徑)，證明極限不存在，證明極限不存在)()(00yxyx?1、下列函數(shù)的極限下列函數(shù)的極限（1）（2）22144001limyxyxeyx?????222limxyxyxxy???????????????（3）yxxayxxy??????????????211lim0?a2、判斷下列函數(shù)的極限是否存在？判斷下列函數(shù)的極