中考數(shù)學重難點 第八講 一元二次方程課件（考點梳理+高頻考點+創(chuàng)新題型）

1、第八講 一元二次方程,1.了解: 一元二次方程的概念，一元二次方程根的判別式,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.理解:配方法, 一元二次方程的一般形式.3.會:用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.4.能:根據(jù)一元二次方程根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決簡單的一元二次方程問題.,一、一元二次方程的定義1.定義:在整式方程中，只含有_____未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__的方程叫做一元二次

2、方程.2.一般形式:一元二次方程的一般形式是________________.,一個,2,ax2+bx+c=0(a≠0),【即時應(yīng)用】1.一元二次方程2x2-x=1的常數(shù)項是___.2.方程(2x-1)(3x+1)＝x2+2化為一般形式為_________.3.已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程2x2＋kx-1＝0的一個根，則實數(shù)k的值是___.4.關(guān)于x的一元二次方程x2+x-1+m2=0有一個根為0，則m的值為___.,

3、-1,5x2-x-3=0,-1,±1,二、一元二次方程的解法1.直接開平方法用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為_________.2.配方法通過配方把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)變形為=_______的形式,當_________時,再利用直接開平方法求解.3.公式法對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 當b2-4ac≥0時,求根公式為x=__________

4、__.,b2-4ac≥0,4.因式分解法把方程變形為一邊是零，另一邊的二次三項式分解成兩個__________的積的形式，讓兩個一次因式分別等于___，得到兩個_________方程，解這兩個_________方程所得到的根，就是原方程的兩個根,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.,一,次因式,零,一元一次,一元一次,【即時應(yīng)用】1.方程(x-2)2=1的解為_________.2.把方程x2-6x-5=0配方得(x-3

5、)2=___.3.用公式法解方程x2-x-1=0得__________________.4.方程x2-2x=0的解是_________.,x1=3,x2=1,14,x1=0,x2=2,三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用“Δ”表示.(1)當Δ＞0時，方程有___________的實數(shù)根；(2)當Δ=0時，方程有_________的實數(shù)根；

6、(3)當Δ＜0時，方程_____實數(shù)根.2.設(shè)一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2＝___，x1x2＝__.,兩個不相等,兩個相等,沒有,【即時應(yīng)用】1.一元二次方程x2-2x+3=0的根的判別式的值是___．2.已知關(guān)于x的方程x2-mx=-2有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值是_____.3.已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有兩個實數(shù)根，

7、則m的取值范圍是___________.4.如果x1，x2是一元二次方程x2-3x-4=0的兩個實根,那么x1+x2＝__.,-8,m≤3且m≠2,3,【記憶助手】解一元二次方程的方法選擇方程沒有一次項，直接開方最理想；如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量；b，c相等都為零，等根是零不要忘；b，c同時不為零，因式分解或配方；也可直接套公式，因題而異擇良方.,【核心點撥】1.解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應(yīng)用

8、因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應(yīng)將二次項系數(shù)化為正數(shù).2.公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數(shù),而且在用公式前應(yīng)先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解.3.在根與系數(shù)關(guān)系的問題中,常見的錯誤之一是:兩根之和為正數(shù)且兩根之積為正數(shù)時,這兩根必是正數(shù),這個結(jié)論是錯誤的,因為缺少了一個基本條件,就是Δ≥0.,一元二次方程的基本概念,【例1】(2011&#

9、183;濟寧中考)已知關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0有一個根是-a (a≠0)，則a-b的值為( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的根的概念,把-a代入關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0,整理得a-b的值.【自主解答】選A.∵-a(a≠0)是關(guān)于x的方程x2＋bx＋a＝0的一個根,∴將x =-a代入方程,得(-a)2-ab+a=0，即a(a

10、-b+1)=0. ∵a≠0,∴a-b+1=0,即a-b=-1.,【對點訓練】1.(2011·蘭州中考)下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是( )(A) (B)ax2+bx+c=0(C)(x-1)(x+2)=1 (D)3x2-2xy-5y2=0【解析】選C.A項分母中含有未知數(shù)，不是一元二次方程；B項中未強調(diào)a≠0，不是一元二次方程；D項中含

11、有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程．,2.(2011·百色中考)關(guān)于x的方程x2+mx-2m2=0的一個根為1，則m的值為( )(A)1 (B) (C)1或 (D)1或 【解析】選D.將x=1代入方程，得1+m-2m2=0，解得m1=1,m2= 故選D.,3.(2011·株洲中考)孔明同學在解一元二次方程x2-3x+c=0時，正確解得x1=1，x2=2

12、，則c的值為_______.【解析】直接把x1=1代入方程x2-3x+c=0得：1-3+c=0，所以c=2．答案：2,一元二次方程的解法,【例2】(2012·安徽中考)解方程：x2-2x=2x+1.【教你解題】,整理成一般式,確定系數(shù),計算b2-4ac,x2-4x-1=0,a=1，b=-4，c=-1,b2-4ac=16+4=20＞0,代入公式,寫出結(jié)果,,,【對點訓練】4.(2011·湘西中考)小華在解一元

13、二次方程x2-x=0時，只得出一個根x=1,則被漏掉的一個根是( )(A)x=4 (B)x=3 (C)x=2 (D)x=0【解析】選D.把方程的左邊進行因式分解得x(x-1)=0，解得x1=0,x2=1，所以被漏掉的一個根是x=0.,5.(2012·無錫中考)解方程：x2-4x+2=0.【解析】Δ=(-4)2-4×1×2=8，,6.(2012

14、3;張家界中考)閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號 的意義是 . 例如，(1)按照這個規(guī)定請你計算 的值；(2)按照這個規(guī)定請你計算：當x2-4x＋4＝0時，的值．,【解析】(1)(2)由x2-4x+4=0得x=2,,一元二次方程的應(yīng)用,【例3】(2011·漳州中考)2008年漳州市出口貿(mào)易總值為22.52億美元，至2010年出口貿(mào)易總值達到50.67億美元，反映了兩年來

15、漳州市出口貿(mào)易的高速增長.(1)求這兩年漳州市出口貿(mào)易的年平均增長率；(2)按這樣的增長速度，請你預測2011年漳州市的出口貿(mào)易總值.(溫馨提示：2 252=4×563,5 067=9×563)【思路點撥】(1)2010年出口貿(mào)易總值=22.52(1+增長率)2.(2)2011年漳州市的出口貿(mào)易總值=50.67(1+增長率).,【自主解答】(1)設(shè)年平均增長率為x，依題意,得22.52(1+x)2=50.6

16、7，1+x=±1.5,∴x1=0.5,x2=-2.5(舍去).答：這兩年漳州市出口貿(mào)易的年平均增長率為50％.(2)50.67×(1+50％)=76.005(億美元)答：預測2011年漳州市的出口貿(mào)易總值為76.005億美元.,【對點訓練】7.(2011·濱州中考)某商品原售價289元,經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元,設(shè)平均每次降價的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( )(A)289

17、(1-x)2=256 (B)256(1-x)2=289(C)289(1-2x)=256 (D)256(1-2x)=289【解析】選A.一次降價可表示為289(1-x)，再次降價再乘(1-x)，則可列方程為：289(1-x)2=256.,8.(2011·寧夏中考)某商場在促銷活動中，將原價36元的商品，連續(xù)兩次降價m%后售價為25元，根據(jù)題意可列方程為_______.【解析】原價

18、36元的商品，連續(xù)兩次降價m%后售價為25元，故可列方程為36(1-m%)2=25.答案：36(1-m%)2=25,9.(2012·樂山中考)菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷.李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售.(1)求平均每次下調(diào)的百分率；(2)小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)

19、惠方案以供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由.,【解析】(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x. 由題意，得5(1-x)2=3.2. 解這個方程，得x1=0.2，x2=1.8.因為降價的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，符合題目要求的是x1=0.2=20%. 答：平均每次下調(diào)的百分率是20%. (2)小華選擇方案一購買更優(yōu)惠.

20、理由：方案一所需費用為：3.2×0.9×5 000=14 400(元)；方案二所需費用為：3.2×5 000-200×5=15 000(元).∵14 400 <15 000，∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠.,【創(chuàng)新命題】根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系【例】(2011·南充中考)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的實數(shù)解是x1和x2.(1)求k的取值范圍；(2)如果x1＋

21、x2-x1x2＜-1且k為整數(shù)，求k的值.【解題導引】(1)根據(jù)判別式Δ≥0確定k的取值范圍;(2)先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和判別式Δ≥0確定k的取值范圍,然后確定整數(shù)k的值.,【規(guī)范解答】(1)∵方程有實數(shù)根,∴Δ＝22-4(k＋1)≥0,解得k≤0,∴k的取值范圍是k≤0.(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝-2，x1x2＝k＋1,x1＋x2-x1x2＝-2-(k+1).由已知，得-2-(k+

22、1)＜-1,解得k＞-2.又由(1)知k≤0,∴-2＜k≤0.∵k為整數(shù),∴k的值為-1和0.,【名師點評】通過對根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的分析與總結(jié)，我們可以得到以下該類型題目的創(chuàng)新點撥和解題啟示.,1.(2012·武漢中考)若x1，x2是一元二次方程x2-3x+2＝0的兩根，則x1+x2的值是( )(A)-2 (B)2 (C)3 (D)1【解析】選C.

23、若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根，則,2.(2012·德州中考)若關(guān)于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有實數(shù)解，那么實數(shù)a的取值范圍是_______.【解析】∵關(guān)于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有實數(shù)解，①當a≠0時，Δ≥0，即16a+16≥0，解得：a≥-1，且a≠0；②當a=0時，4x=0，方程有實數(shù)解.綜上，實數(shù)a的取值范圍是a≥-1.答案:a≥-1,3.(2012·

24、;樂山中考)已知關(guān)于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有實數(shù)根.(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩實根分別為x1，x2，求代數(shù)式x1·x2-x12-x22的最大值.【解析】(1)由(x-m)2+6x=4m-3，得 x2+(6-2m)x+m2-4m+3=0，∴Δ=b2-4ac=(6-2m)2-4×1×(m2-4m+3)=-8m+24. ∵方程有實數(shù)根，∴-8m+24≥0，解得m≤3

25、.∴m的取值范圍是m≤3.,(2)∵方程的兩實根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=2m-6，x1·x2=m2-4m+3，∴x1x2-x12-x22＝3x1x2-(x1+x2)2=3(m2-4m+3)-(2m-6)2＝-m2+12m-27＝-(m-6)2+9∵m≤3，且當m＜6時，-(m-6)2+9的值隨m的增大而增大，∴當m=3時，x1·x2-x12-x22的值最大，最大值為-(3-6