2.7 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、2.7 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,2.7.1 函數(shù)的連續(xù)性,2.7.2 函數(shù)的間斷點,2.7.1 函數(shù)的連續(xù)性,引進記號,,,,,又可寫為,,,觀察下列圖形，能發(fā)現(xiàn)什么？,在點,,,處連續(xù),在點,,,處不連續(xù),定義2.14,設函數(shù),,,在點,,,的某鄰域,,,內有定義.若極限,,,則稱函數(shù),,,在點,,,處連續(xù).,定義2.14刻畫了函數(shù)在某點連續(xù)的本質特征：自變量的細微變化僅引起函數(shù)值的細微變化．顯然它還有如下等價定義：,定義2.14’,設

2、函數(shù),,,在點,,,的某鄰域,,,內有定義.若極限,,,則稱函數(shù),,,在點,,,處連續(xù).,定義2.15,當,,,在點,,,處右連續(xù)．,,,時，稱函數(shù),,,,,在點,,,處左連續(xù).,時，稱函數(shù),當,,,,左連續(xù)與右連續(xù)統(tǒng)稱為單側連續(xù).由上述定義可得如下結論：,,,,,,,,若函數(shù),,,在開區(qū)間,,,內每一點都連續(xù)，則稱,函數(shù),,,在開區(qū)間,,,內連續(xù)；,若函數(shù),,,在開區(qū)間,內連續(xù)，且在左端點,,,,,處右連續(xù)，,在右端點,,,處左連續(xù)

3、，則稱函數(shù),,,在閉區(qū)間,,,上連續(xù).,類似地可定義函數(shù),,,在半開半閉區(qū)間上的連續(xù)性.,它們的幾何意義是一筆畫出的圖形．,例2.25,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,證,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,證明正弦函數(shù),,,在,,,內連續(xù).,對于任意,,,有,,,又,,,,,故由無窮小量的性質得,,,所以由定義2.14知函數(shù),,,在點,,,處連續(xù).,又由點,,,的任意性知正弦

4、函數(shù),,,在,,,內連續(xù).,例2.26,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,討論函數(shù),,,在,,,處的連續(xù)性.,因,,,故由定義2.14’知函數(shù),,在,,,處連續(xù).,例2.27,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,設函數(shù),,,在,,,處連續(xù)，,求常

5、數(shù),,,的值.,由于函數(shù),,在,,,處連續(xù)，,故有,,,又,,,故有,,,即當,,,時，函數(shù),,在,,,處連續(xù).,2.7.2 函數(shù)的間斷點,事物的發(fā)展除有漸變（即連續(xù)變化）外,還有突變(即不連續(xù)變化)，如斷裂，惡性通貨膨脹等.,定義2.16,若,,,在點,,,處不連續(xù)，則稱點,,,是,函數(shù),,,的間斷點.,由定義2.14’知函數(shù),,,在點,,,處間斷分為三種情形：,,,在,,,處無定義，但在其鄰近有定義；,,,在,,,處有定義，但極限,

6、,,不存在；,,,在,,,處有定義且極限,,,存在，但,,,定義2.17,,,,,,,設函數(shù),,,,,在點,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在點,處間斷.,若函數(shù),處的左極限,,,與右極限,,,均存在，則稱點,是函數(shù),的第一類間斷點；,若,,,與,,,中至少有一個不存在，則稱點,是,函數(shù),的第二類間斷點.,例2.28,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

7、,,,,,,,,對于函數(shù),,,有,,,即函數(shù),,在點,,,處的左、右極限均存在，但不相等，,出現(xiàn)跳躍度為2的“缺口”，,故,,,是函數(shù),,的第一類,（跳躍）間斷點.,其實它就是符號函數(shù).,例2.29,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對于函數(shù),,,有,,,即函數(shù),,在點,,,處的左、右極限存在且相等，,不等于該點的函數(shù)值，,故,,,是函數(shù),,的

8、第一類,間斷點.,但,此時，若更改定義,,,則函數(shù),,在,,,處,連續(xù)，,故又稱,,,是函數(shù),,的可去間斷點.,例2.30,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對于函數(shù),,,有,,,但,,在點,,,處無定義，,左、右極限存在且相等，但函數(shù)在該點處無定義，,故,,,是函數(shù),,的第一類間斷點.,即函數(shù),此時，若補充定義,,,則函數(shù),,在,,,處,連續(xù)

9、，,故又稱,,,是函數(shù),,的可去間斷點.,在點,處的,例2.31,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,函數(shù),,,在,,,處無定義，,且,,,與,,,均不存在，,故,,,是函數(shù),,的第二類間斷點.,當,,,時，,函數(shù)值始終在-1與1之間振蕩.,在計算機上,可以體驗,,,越接近0，,曲線振蕩得越厲害，,故又稱,,,是,振蕩間斷點．,,,,,,,,,,