非線性項(xiàng)可變號(hào)的奇異微分方程的正解.pdf

1、奇異微分方程初、邊值問題的研究近年來獲得了很大程度的發(fā)展,奇異型微分方程是近十年來十分活躍的微分方程理論的重要分支,目前已經(jīng)得到了很多不同條件下解的存在性結(jié)果,例如,國內(nèi)的楊光崇<'[19-21,27]>,葛渭高<'[13,18]>,國外的DonalO'Regan <'[1-9],[23-26]>,Ravi P.Agarwal<'[1-9],[15-17]>和Stanek<'[3,6,8]>等都已經(jīng)做了很多研究工作,目前研究的大多是非線

2、性項(xiàng)f>0時(shí)正解的存在性<'1-9],[22,28-40],f可變號(hào)時(shí)正解的存在性<'[6,9,27]>研究的還很少.本論文研究的就是f可變號(hào)時(shí)正解的存在性.本論文共分三章,主要利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論來討論奇異以及非線性項(xiàng)可變號(hào)對微分方程所產(chǎn)生的影響,從而得出非線性項(xiàng)可變號(hào)的一階奇異微分方程和二階奇異微分方程初邊值問題的正解.在第一章中,我們研究二階非線性奇異初值問題正解的存在性其中f(t,y,y')可變號(hào)并且在y=0和u'=0處奇異

3、. 在第二章中,我們研究二階非線性奇異邊值問題正解的存在性其中f(t,y,py')可變號(hào)并且在y=0和py'=O處奇異. Donal O'Regan和Ravi P.Agarwal<'[1,2]>討論了f>0時(shí), (1)和(2)正解的存在性.他們利用條件: (a)f(t,u,p)≤h(u)[g(p)+r(p)];(b),(t,u,p)≥ψ<,H,L>,(t)u<'r>,(t,u,p)∈[0,1]×[0,H]×[0,L]通過

4、構(gòu)造不帶奇異的近似方程使問題得到解決.本論文的前兩章將他們研究的問題改進(jìn),考慮f變號(hào)時(shí)正解的存在性.解決的方法是:通過構(gòu)造特殊的算子序列并結(jié)合類似于(a)的條件以及f(t,y,py')≥β(t),|[ty'|≤δ,使非線性項(xiàng).f(t,y,py')克服f變號(hào)以及在y=0和(或)py'=0處奇異帶來的困難,再用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理得到算子序列的不動(dòng)點(diǎn),然后用Ascoli定理得出所研究方程的近似解. 在第三章中,我們研究一階非線性奇異

5、初值問題正解的存在性這一章我們也是通過構(gòu)造特殊的算子序列并利用條件: f(t,y)≥β(t),(t,y)∈(O,T)×(O,δ)來克服非線性項(xiàng) f(t,y)變號(hào)帶來的困難并消除在y=0處的奇異性,然后用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理得到算子列的不動(dòng)點(diǎn),再利用Arzela-Ascoli定理來逼近方程(3)的正解.本文給出的條件更弱,方法更簡單. 文章不但對每一個(gè)存在性定理作了詳細(xì)的證明,而且在每一章的最后都對每一個(gè)存在性定理都舉了例子進(jìn)行說明.