非線性微分方程邊值問題的正解、變號解的存在性.pdf

1、Banach空間中微分方程積分方程解的存在性是近年來發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支，它來源于物理科學，生物學及其他應用學科并隨著其他科學的發(fā)展而得到了巨大發(fā)展，它把常微分方程理論和泛函分析理論結(jié)合起來，利用泛函分析的方法研究Banach空間中的常微分方程. 常微分方程邊值問題在經(jīng)典力學和電學中有著極為豐富的源泉，它是常微分方程學科的重要組成部分之一.常微分方程兩點邊值問題(如Dirichlet邊值問題、Neumann邊值問題、Rob

2、in邊值問題、Sturm-Liouvill邊值問題及周期邊值問題等)已被深入而廣泛的研究，并取得系統(tǒng)而深刻的結(jié)果.對于抽象空間中奇異兩點邊值問題，以及變號解的研究，這方面的結(jié)果還是相對較少的.本論文研究了上述問題，獲得了一些較好的結(jié)果. 全文共分四章，本文第一章考慮了Banach空間中非線性奇異微分方程邊值問題正解的存在性，奇異邊值問題最早是在研究大氣對流，天體演變及一些流體力學問題中提出來的.隨著對奇異微分方程研究的逐步加深，

3、人們發(fā)現(xiàn)，用泛函分析的方法研究此類問題能取得較好的結(jié)果，特別是國內(nèi)這方面的專家郭大鈞先生及其同仁的一系列專著的問世，為用泛函分析方法研究微分方程問題提供了雄厚的理論基礎和強有力的工具.然而，在抽象空間中對奇異邊值問題的研究，還不是很多，劉衍勝教授在文[4]中做過一些探討，本文第一章把原文作了一般性推廣，并給出了算子全連續(xù)的條件，然后利用不動點定理得到了正解的存在性. 眾所周知，經(jīng)典的常微分方程兩點邊值問題有著極為重要而廣泛的理論

4、和實際背景，相比之下，常微分方程非局部問題起步較晚，這里的“非局部問題”指常微分方程定解問題的定解條件不僅依賴于解在區(qū)間端點的取值，而且依賴于解在區(qū)間內(nèi)部的某些點上的取值.盡管理論和應用中的許多問題均可歸結(jié)常微分方程非局部問題，但由于非局部問題自身固有的難度，人們對非局部問題的研究起步相當晚.Kiguradze和Lomtatidze(1984)，I1'in和Mdiseev(1987)開始討論二階線性常微分方程多點邊值問題.1992年，G

5、upta開始研究二階非線性常微分方程三點邊值問題解的存在性.此后的十多年間，關于常微分方程非局部問題的研究取得了較大進展，但主要是正解的存在性，對變號解的研究相對較少，由于變號解有其實際應用背景(如解決某些生態(tài)問題)，因此很有必要對變號解問題加以研究.本文第二、三、四章重點研究了變號解的存在性. 第二章考慮了抽象空間中非線性算子方程變號解的存在性及應用.通過定義了一致有界正線性算子，即設E，X為兩個Banach空間，P(∩)E為

6、正規(guī)體錐，Q(∩)X為錐，K：X→E為線性算子.若(E)u*∈P0及常數(shù)β＞0，使得Kx≥β‖Kx‖u*，(A)x∈Q則稱K為一致正線性算子若又(E)β1＞0使Kx≤β1‖x‖u*，(A)x∈Q則稱K為一致有界正線性算子和一個u*連續(xù)算子，即若對(A)ε＞0，都(E)δ＞0，使得當u，v∈E且‖u-u‖＜δ時，有一εu*≤Au-Au≤εu*則稱算子A為u*連續(xù)的.利用不動點指數(shù)方法，得到了變號解的存在性. 第三章研究了二階微分算