非光滑映射的混沌動力學研究.pdf

1、近年來，非光滑動力系統(tǒng)成為了數(shù)學和工程領(lǐng)域研究的一個新熱點.一方面，來源于很多實際問題的系統(tǒng)是非光滑的，例如碰撞振動系統(tǒng)，帶有干摩擦的粘滑振動系統(tǒng)，含有開關(guān)的電路系統(tǒng)以及一些控制系統(tǒng)等;另一方面，許多光滑系統(tǒng)的全局Poincaré映射是非光滑的.非光滑系統(tǒng)能夠發(fā)生一些在光滑系統(tǒng)中不會出現(xiàn)的特有的分岔，例如擦邊分岔(Grazing bifurcation)，滑移分岔(Sliding bifurcation).同時這些分岔也導致了通向混沌的

2、新路徑.
　　第一章綜述近年來非光滑動力學的部分結(jié)果，最新進展以及尚存在的一些問題.同時，還介紹了本文的研究內(nèi)容和主要結(jié)果.
　　第二章回顧一些將在下文中用到的動力系統(tǒng)和遍歷理論的基本概念和結(jié)果，包括Birkhoff遍歷定理，測度熵，Lyapunov指數(shù)，物理測度，Smale馬蹄等.
　　第三章研究了一個描述碰撞振子擦邊分岔的區(qū)間映射的統(tǒng)計性質(zhì).首先證明在適當?shù)膮?shù)區(qū)域內(nèi)映射是拓撲混合的.接下來對導數(shù)進行變形估計(由于

3、該映射具有無界導數(shù)的點），在此基礎(chǔ)上構(gòu)造原映射的一個誘導馬爾可夫(Markov)映射，并且證明誘導映射的回歸時間函數(shù)的尾是指數(shù)衰減的.然后證明映射存在一個絕對連續(xù)不變測度，該測度是唯一的并且混合的.最后應(yīng)用馬爾可夫塔方法證明映射對H(o)lder連續(xù)觀測滿足指數(shù)相關(guān)性衰減和中心極限定理.
　　第四章證明了在一定的參數(shù)區(qū)域內(nèi)，Nordmark映射（單自由度碰撞振子擦邊分岔的范式映射）存在馬蹄型混沌.首先通過對坐標平面做一個合適的分割

4、，證明Nordmark映射的非游蕩集包含在一個矩形區(qū)域中，然后從此區(qū)域出發(fā)構(gòu)造“橫條”和“豎條”，最后驗證Conley-Moser條件，證明Nordmark映射在其非游蕩集上的限制拓撲共軛于雙邊符號空間上的移位映射.
　　第五章研究了一類Belykh型映射（一類兩維不連續(xù)分段線性映射）的符號動力學.首先證明當映射滿足雙曲性條件時，修剪前猜想(Pruning front conjecture)對此映射在一個由正負向軌道都有界的點構(gòu)成

5、的不變集上成立，給出了判斷系統(tǒng)的允許符號序列的解析條件.在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造映射的一個拓撲模型，雖然此映射是不連續(xù)的，但其在上述不變集上的限制拓撲共軛于雙邊符號空間的一個商空間上的移位映射.這個商空間由映射的修剪前(Pruning front)和基本修剪區(qū)域(Primary pruned region)完全確定.最后給出映射存在馬蹄型混沌的參數(shù)區(qū)域的精確邊界.
　　第六章繼續(xù)研究第五章中的Belykh型映射.計算這類映射的奇怪吸引子的