幾類光滑及非光滑系統的全局動力學.pdf

1、自Poincaré時代以來，無論在數學或工程領域，自治與非自治微分方程都是研究的熱點。在理論方面，眾多數學家如Poincaré，Arnold，Littlewood等對微分方程極為關心。在工程應用方面，由于力學，電子，生物數學等眾多學科中的問題均可以建模為微分方程，如干摩擦系統、碰撞系統、捕食食餌模型、Memristor振子等，所以這些學科的眾多學者對微分方程的研究也深感興趣。
　　首先，我們簡單介紹了研究微分方程的意義和三類微分方

2、程（三次Liénard系統、SD振子、Filippov系統）。同時，介紹了本文對這三類方程的研究內容和主要研究結果。
　　1998年，Khibnik,Krauskopf和Rousseau等發(fā)表在英國雜志《Nonlinearity》上的文章對這類含三參數的三次Liénard系統進行了全局分析。然而他們并沒有完整解決極限環(huán)和同宿環(huán)問題，他們猜想二重極限環(huán)分岔曲面可以表示一個參數關于另兩個參數的函數表達式。在本文第二章和第三章分別對此類

3、系統的兩奇點情形和三奇點情形進行研究。
　　然后，我們完整研究了這類三次Liénard系統的兩奇點情形。首先研究了有限遠處與無限遠處奇點的定性性質。為了討論此類系統在某些參數區(qū)域內極限環(huán)的唯一性與不存在性，我們給出了關于具有多個平衡點的Liénard系統極限環(huán)的唯一性與不存在性判據。接下來證明了極限環(huán)至多兩個，并證明了此系統的同宿環(huán)在兩條同宿分岔曲線之間的參數區(qū)域都能保持。最終，根據上述分析，給出了完整的分岔圖。因此，在兩個奇點情

4、形，Khibnik,Krauskopf和Rousseau等人的猜想被完整解決。
　　我們同樣完整研究了一類三次Liénard系統的三奇點情形。首先研究了有限遠處與無限遠處奇點的定性性質。接下來證明極限環(huán)至多有三個，并對部分參數區(qū)域，確定了此系統的三條同宿分岔曲面之間的位置關系。最終，根據上述分析，給出了分岔圖。并且，對三個奇點情形，完整解決了Khibnik,Krauskopf和Rousseau等人的猜想。
　　接下來的兩章研

5、究兩類周期激勵系統，且周期激勵都是由抽象函數表示的（無具體表達式），其中研究的SD振子是無阻尼的和大振幅周期激勵的，而研究的Filippov系統卻是具有小阻尼的和小振幅周期激勵的。
　　我們先是研究了一類共振情形下SD振子的調和解。此類振子根據參數取值可分為光滑情形與非光滑情形。對光滑與非光滑情形，我們運用Poincaré-Bohl不動點定理證明了調和解的存在性條件，同時給出了唯一性條件。
　　最終，我們還研究了一類具有小阻