子流形上整體幾何與幾何分析的若干問題研究.pdf

1、本文著重研究黎曼子流形上整體幾何與幾何分析的若干問題，主要內容包括子流形的同調群消沒定理、拓撲球面定理、L<'2>調和1-形式、端的有限性和Laplace算子譜等問題. 1973年，H.B.Lawson和J.Simons運用Federer-Fleming存在性定理[19]和幾何測度論中變分技巧證明了單位球面中緊致黎曼子流形上穩(wěn)定積分流的不存在性定理和同調群消沒定理[30].1984年，忻元龍將Lawson-Simons穩(wěn)定積分流

2、的不存在性定理和同調群消沒定理拓廣到了歐氏空間中緊致子流形的情形，并給出了若干重要的應用[47].1997年，K.Shiohama和許洪偉運用關于穩(wěn)定積分流不存在性的Lawson-Simons-Xin定理證明了完備單連通的非負常曲率空間型中完備子流形的拓撲球面定理[43].本文進一步將Lawson-Simons-Xin同調群消沒定理拓廣到雙曲空間中緊致子流形的情形，并運用這一新的同調群消沒定理證明了雙曲空間中完備子流形的拓撲球面定理，從

3、而推廣了Shiohama-Xu的拓撲球面定理. 著名的Berstein定理說：R<'n+1>(n≤7)中完備極小圖M<'n>必為n維超平面.許多幾何學家曾試圖把Berstein定理推廣到完備穩(wěn)定極小超曲面的情形。Cao-Shen-zhu運用Schoen-Yau的結果[40]證明了歐氏空間R<'n+1>中n(n≥3)維完備穩(wěn)定極小超曲面M<'n>僅有一個端[5].李偉光和王嘉平進一步證明了歐氏空間中完備極小子流形M<'n>(n≥3

4、)的每個端都是非拋物的.他們還進一步證明：若M具有有限指標，則M上L<'2>調和1-形式空間的維數是有限的，且M僅有有限個端(本文證明了R<'n+p>卻中滿足∫<,M>|B|調和1-形式，且M僅有一個端.本文進一步將該結果推廣到外圍空間為具非零常曲率的完備單連通空間型的情形.本文還證明：若具常曲率c的完備單連通空間型F<'n+p>?中具有有限全曲率的n維完備非緊可

5、定向子流形M滿足下面條件之一：(i)n≥3，c=0且∫<,M>H<'n><∞；(ii)n≥5，c=-1且H<1-2/<平方根n>；(iii)n≥ 3，c=1且H有界的，則M上L<'2>調和1-形式空間的維數是有限的，這里H為M的平均曲率.更一步，在條件(i)或(ii)下，M僅有有限個端.本文還獲得了偽歐氏空間R<'n+p><,p>中完備非緊的類空子流形具有有限個端的充分條件. 最近，Cheng-Cheung-Zhou研究了一般黎

6、曼流形中完備非緊的弱穩(wěn)定常平均曲率超曲面的整體性質，并證明了常曲率空間型中完備非緊的弱穩(wěn)定常平均曲率超曲面僅有一個端[14].設M<'n>為第(n-1)個Ricci曲率非負的(n+1)維黎曼流形N<'n+1>中完備非緊的弱穩(wěn)定常平均曲率超曲面，本文證明了這類超曲面上有界調和函數的一個不存在性定理，由此證得M僅有一個端.此外，本文進一步將該結果推廣到外圍空間為雙曲空間的情形. 黎曼流形上Laplace算子的譜是流形上重要的解析不變