幾類(lèi)典型PDEs高次有限元方程的快速算法研究.pdf

1、H(D)(D=grad,curl,div)型橢圓偏微分方程和Maxwell鞍點(diǎn)問(wèn)題是幾類(lèi)典型的微分方程組(PDEs).高次有限元方法是求解這幾類(lèi)偏微分方程的重要離散化方法,由于這些離散系統(tǒng)系數(shù)矩陣的條件數(shù)較強(qiáng)地依賴(lài)于網(wǎng)格規(guī)模、跳系數(shù)分布及有限元的次數(shù)(如HBk分層基下的高次有限元)等,因此研究其快速求解算法非常必要.本文利用基于輔助空間的預(yù)條件子方法、代數(shù)多層網(wǎng)格(AMG)法和非重疊區(qū)域分解法(DDM),比較系統(tǒng)地研究了上述幾類(lèi)典型PD

2、Es的高次有限元離散系統(tǒng)的高效預(yù)條件子及相應(yīng)的快速求解算法，獲得以下主要結(jié)果。
　　針對(duì)含跳系數(shù)的H(grad)型橢圓問(wèn)題在HBk分層基下的高次有限元方程,給出了一種基于塊磨光方法的并行兩水平預(yù)條件子算法(TLB-p),它本質(zhì)性地將高次元預(yù)條件子構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線(xiàn)性元預(yù)條件子構(gòu)造問(wèn)題.通過(guò)將線(xiàn)性元預(yù)條件子取為經(jīng)典并行AMG預(yù)條件子,獲得了求解高次元方程的第一種預(yù)條件子(TLB-AMG-p),數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,相應(yīng)的并行PCG法

3、的迭代次數(shù)基本不依賴(lài)于網(wǎng)格規(guī)模,弱依賴(lài)于高次元的次數(shù)以及系數(shù)的跳幅,接著,設(shè)計(jì)了一種基于非重疊DDM的線(xiàn)性元預(yù)條件子,與已有的非重疊DDM預(yù)條件子相比,它具有粗空間簡(jiǎn)單和計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn),理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該預(yù)條件子對(duì)應(yīng)的預(yù)條件系統(tǒng)的有效條件數(shù)是漸近最優(yōu)的,基于該線(xiàn)性元預(yù)條件子,我們得到了另一種求解高次元方程的預(yù)條件子(TLB-DDM-p),數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,相應(yīng)的PCG法也是高效的.
　　針對(duì)H(curl)型橢圓問(wèn)題的兩類(lèi)

4、高次棱有限元離散系統(tǒng),利用高次元空間的穩(wěn)定性分解理論和上述構(gòu)造的H(grad)型高次元預(yù)條件子,本質(zhì)性地將H(curl)型高次元預(yù)條件子構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線(xiàn)性元預(yù)條件子構(gòu)造問(wèn)題.進(jìn)一步,通過(guò)將線(xiàn)性元預(yù)條件子取為一種基于輔助空間的預(yù)條件子,得到了求解H(curl)型高次棱元方程的第一種預(yù)條件子,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,不論是對(duì)光滑系數(shù)還是對(duì)有無(wú)浮動(dòng)子區(qū)域的跳系數(shù)情形,相應(yīng)的并行PCG法的迭代次數(shù)都基本不依賴(lài)于網(wǎng)格規(guī)模,弱依賴(lài)于系數(shù)跳幅,且具有

5、很好的算法可擴(kuò)展性.接著,設(shè)計(jì)了一種基于非重疊DDM的線(xiàn)性元預(yù)條件子,它具有與上述H(grad)型線(xiàn)性元DDM預(yù)條件子同樣的優(yōu)點(diǎn),特別對(duì)常系數(shù)的情形,證明了該預(yù)條件系統(tǒng)的條件數(shù)是漸近最優(yōu)的.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論的正確性,同時(shí)表明對(duì)大跳系數(shù)的情形,該預(yù)條件子也是高效的.
　　針對(duì)Maxwell鞍點(diǎn)問(wèn)題零階項(xiàng)系數(shù)γ=0的情形,利用正則化思想和輔助空間預(yù)條件子方法,為高次棱元鞍點(diǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新的Uzawa算法.特別針對(duì)光滑系數(shù)下的線(xiàn)性棱

6、元鞍點(diǎn)系統(tǒng),證明了該Uzawa法的收斂率與網(wǎng)格規(guī)模無(wú)關(guān).數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,不論是對(duì)于有無(wú)浮動(dòng)子區(qū)域及有無(wú)內(nèi)交叉點(diǎn)的跳系數(shù)情形,該Uzawa法的迭代次數(shù)基本不依賴(lài)于系數(shù)跳幅及網(wǎng)格規(guī)模,且比常用的Uzawa法具有更強(qiáng)的健壯性和更高的運(yùn)算效率.
　　針對(duì)H(div)型橢圓問(wèn)題的兩類(lèi)高次有限元離散系統(tǒng),建立了一般高次元空間的穩(wěn)定性分解理論,它本質(zhì)性地將H(div)型高次元預(yù)條件子構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線(xiàn)性元預(yù)條件子和H(curl)型高次元預(yù)