幾類流體力學方程的隨機動力學和大偏差.pdf

1、隨機偏微分方程作為描述受隨機影響的復雜系統(tǒng)的數(shù)學模型越來越引起數(shù)學工作者的注意,并且在力學、化學、生物學、地球物理學、大氣海洋氣候學等中得到了廣泛的應用.本論文研究幾類流體力學方程形成的隨機動力系統(tǒng)的漸進行為,同時還研究由大偏差描述的隨機動力系統(tǒng)的小概率事件。全文的安排如下:
　　 第一章簡單回顧了隨機動力系統(tǒng)的一些基本知識和理論,主要包括確定動力系統(tǒng),隨機動力系統(tǒng),全局隨機吸引子,有限Hausdorff維數(shù)和大偏差的定義.進一

2、步,給出了全局隨機吸引子存在性定理1.2.1和定理1.2.2,同時也給出隨機吸引子的Hausdorff維數(shù)是有界不變隨機變量的一個判定定理.最后,我們列出該論文的安排,主要問題和結果。
　　 第二章研究可加噪聲驅使的三維隨機Navier-Stokes-Voight方程的漸進行為.確定三維粘彈性Navier-Stokes-Voight方程的正則性和全局吸引子在文獻[55,56]中給出.本章在此基礎上,考慮可加噪聲驅使的隨機效應的影

3、響,通過考慮輔助方程我們將隨機Navier-Stokes-Voight方程轉化成帶有隨機系數(shù)的偏微分方程.這樣處理的好處在于由于不出現(xiàn)隨機積分,我們可以按軌道幾乎處處處理問題,從而避免討論依賴初值的方程解的期望.于是由Feado—Galerkin方法我們證得了方程弱解的存在性和唯一性.由一致先驗估計和漸進緊性,我們得到了生成的隨機動力系統(tǒng)存在全局隨機吸引子,并且該吸引子的Hausdorff維數(shù)是有限的。
　　 第三章,我們研究帶

4、有隨機邊界擾動的Boussinesq系統(tǒng)的小概率事件,其用大偏差準則來描述.該系統(tǒng)模擬了氣候學的各種現(xiàn)象,例如海洋密度電流和熱鹽循環(huán).由于邊界鹽度流通的不確定性[36,39,73],我們考慮邊界隨機效應的影響.帶有隨機邊界擾動的隨機拋物偏微分方程的動力學可以參考文獻[25,26,82,84],由于我們研究的系統(tǒng)耦合了Navier-Stokes方程,處理方法有所不同.通過將隨機邊界條件嵌入一隨機發(fā)展方程中,PBrune,J.Duan和B.

5、Schmalfuss[10]得到了可加噪聲驅使的帶有隨機邊界擾動的Boussinesq系統(tǒng)存在隨機吸引子.在此基礎上,我們進一步研究乘法噪聲驅使的隨機邊界擾動的Boussinesq系統(tǒng),由Galerkin逼近,我們得到相應系統(tǒng)解的適定性和一系列先驗估計.最后,由弱收斂方法[13]得到大偏差準則,最近該方法還被應用于[38,79,82]。
　　 第四章研究不同噪聲驅使的隨機原始方程.首先,我們研究三維可加噪聲驅使的隨機原始方程,確

6、定原始方程整體強解的存在性和唯一性在Cao和Titi[16]中被證明,其要求在頂部和底部滿足Neumann邊界條件,接著全局吸引子在[49]中給出,沿著[16]和[49]的研究線路,B.Guo和D.Huang[48]研究了可加噪聲驅使的三維隨機原始方程的全局適定性和長時動態(tài)行為,得到方程存在隨機吸引子,但該吸引子僅僅滿足弱緊性質.這里,我們應用不同于文獻[48]的先驗估計,Aubin-Lions緊性引理,Riesz引理和一些連續(xù)性結論,

7、同樣得到強解的全局適定性,并且得到方程存在緊的全局吸引子,進一步,我們得出吸引子具有有限Hausdorff維數(shù).其次,我們研究二維乘法噪聲驅使的隨機原始方程.忽略鹽度和溫度方程的耦合,二維乘法噪聲驅使的隨機原始方程的弱解的存在性和唯一性在[47]中被得到.本論文中,我們推廣了[47]的結果,應用不同的且更細致的先驗估計,得到耦合溫度方程的二維乘法噪聲驅使的隨機原始方程的解的適定性,進一步得到其滿足Wentzell—Freidlin型的大