隨機變量序列的強極限定理.pdf

1、概率極限理論是概率論的主要分支之一，也是概率論的其它分支和數理統(tǒng)計的重要基礎.前蘇聯著名的概率學家Kolmogorov曾說過：“概率論的價值只有通過極限定理才能被揭示，沒有極限定理就不可能去理解概率論中的基本概念的真正含義.”經典的極限理論是概率論發(fā)展史上的重要成果，而對隨機變量序列的強極限定理的研究是近代概率極限理論研究中的熱門方向之一，本文的主要內容也就是對此進行深入研究． 第一章我們研究了ρ-混合隨機變量序列的強極限定理。

2、在第一章的第一節(jié)中，我們設{Xn,n≥1}是同分布ρ-混合序列，其分布屬于指數為α(0＜α＜2)的非退化穩(wěn)定分布的正則吸引場，證明了依概率1有l(wèi)imsupn→∞(|∑i=1nXi|/n1/α)1/loglogn=e1/α.并獲得了一系列等價條件，此結果的獲得不僅將已有的一些結果推廣至ρ-混合序列的情形，并且將其結果作了一定的改進. 在第一章的第二節(jié)中，我們建立了一個不同分布ρ-混合序列部分和的完全收斂性.然后通過這一結論來研究加

3、權和的完全收斂性，從而改進了前人所獲得的已有的一些結果. 在第一章的第三節(jié)中，我們討論了ρ-混合序列加權和的完全收斂性，并將此結果應用于線性回歸模型參數β的最小二乘估計及非參數回歸模型g的權函數估計中，所得的結果改進了吳本忠(2001)中的主要結果. 第二章我們研究了ρ*-混合隨機變量序列的強極限定理.對于ρ*-混合隨機變量序列，我們可以看到，Bryc和Smolenski(1993)建立了ρ*-混合隨機變量序列部分和的矩

4、的階.Peligrad(1996)獲得了一個中心極限定理，Peligrad(1998)獲得了一個弱不變原理，Peligrad(1999)建立了Rosenthal型最大值不等式，Utev和Peligrad(2003)獲得了一個非平穩(wěn)序列情形的弱不變原理.第二章第一節(jié)的主要目的是建立線性統(tǒng)計中關于ρ*-混合隨機變量序列的Marcinkiewicz-Zygmund強大數律.所得的結果，不僅將Cuzick(1995)及Bai和Cheng(200

5、0)的相應的結果推廣到了ρ*-混合隨機變量序列，并且改進了Cuzick(1995)及Bai和Cheng(2000)中的相應的結果. 在第二章的第二節(jié)中，我們討論了不同分布ρ*-混合序列的完全收斂性，將一個獨立情形的不同分布的完全收斂性定理推廣至ρ*-混合序列的情形，并得到了完全收斂速度與矩條件之間的等價關系. 在第二章的第三節(jié)中，我們建立了ρ*-混合序列加權和的極限性質.所得的結論，不僅將Chen(2002)的相應的結論

6、推廣到了ρ*-混合隨機變量序列，并且改進了Chen(2002)中的相應的結論． 在第二章的第四節(jié)中，我們討論了ρ*-混合序列的完全收斂性，對數律，強大數律和三級數定理，所得的結果改進了楊善朝(1998)及吳群英(2001)中的相應的結果.并得到了完全收斂速度與矩條件之間的等價關系. 第三章我們研究了負相依隨機變量序列的強極限定理.由于NA隨機變量序列在可靠性理論，滲透理論和多元統(tǒng)計分析理論中均有著廣泛的應用，因此對此類變

7、量的研究已引起越來越多人的關注.許多研究表明，NA序列與獨立序列有著極為類似的性質.例如，Su，Zhao和Wang(1996)獲得了NA隨機變量序列的最大值矩不等式和弱收斂.Lin(1997)建立了一個NA隨機變量序列的不變原理.Su和Qin(1997)研究了NA隨機變量序列的一些極限性質.Liang和su(1999)及Liang(2000)獲得了NA序列加權和的完全收斂性.Huang和Xu(2002)及Yang(2000)建立了一些最

8、大值矩不等式.在第三章的第一節(jié)中，我們在一個獨立隨機變量序列的重對數律的基礎上，獲得了一個不同分布NA序列的重對數定理，定理的證明基于一個Kolmogorov型指數不等式. 在第三章的第二節(jié)中，我們建立了不同分布NA序列的最大值不等式和完全收斂性.所得的結論改進了Huang和Xu(2002)中的相應的結論. 對于線性過程，Ho和Hsing(1997)，Phillips和Solo(1992)及Wang等(2002)獲得了獨

9、立序列線性過程的中心極限定理.Kim和Baek(2001)建立了強平穩(wěn)LPQD序列線性過程的中心極限定理.Kim等(2004)獲得了LPQD序列和PA序列線性過程的強大數律.在第三章的第三節(jié)我們的主要目的是建立兩兩NQD隨機變量序列線性過程的幾乎處處收斂性. 第四章我們研究了漸近負相依隨機變量序列的強極限定理.在第四章的第一節(jié)中，我們獲得了關于ρ--混合誤差變量的部分線性回歸模型的一些強相合估計. 在第四章的第二節(jié)中，我

10、們的主要目的是建立ρ--混合隨機場的Rosenthal型最大值矩不等式和強大數律中的收斂速度.所得的結果改進并且推廣了Ko等(2004)中的相應的結果. 在第四章的第三節(jié)中，我們設{Y,Yi，-∞＜i＜∞}為一個雙向無窮的獨立同分布隨機變量序列.{αi,-∞＜i＜∞)為絕對可和的實數序列，即級數∑∞i=-∞ai絕對收斂.令Xk=∑∞i=-∞ai+kYi,k≥1.在獨立的假設下，即{Yi,-∞＜i＜-∞)為一個獨立隨機變量序列，對

11、于滑動平均過程{Xk，k≥1)，很多極限性質已被許多作者所獲得.例如，Ibragimov(1962)建立了一個滑動平均過程的中心極限定理.Burton和Dehling(1990)獲得了一個大偏差原理.Phillips(1987)及Wang等(2002)建立了泛函中心極限定理.本章節(jié)的主要目的是在適當的條件下證明有關如下一個滑動平均過程，即{n∑k=1∞∑i=-∞ai+kYi/n1/t,n≥1}的完全收斂性.所得的結論改進了Li等(199