隨機變量組列的極限定理.pdf

1、全文分兩章： 第一章，行NA隨機變量組列的完全收斂性 由于NA隨機變量序列在多元統(tǒng)計分析，可靠性理論，滲透性理論中的應用，它在海洋工程，生物信息學，氣象工程，環(huán)境工程，醫(yī)學等領域也有了越來越多的應用，引起了很多概率極限理論工作者的興趣，并出現(xiàn)了一些成果.Matula(1992)研究了NA序列的Kolmogorov型不等式和三級數(shù)定理等. 對于行獨立隨機變量組列，Gut(1992)，Wangetal.(1993)，

2、Huetal.(2003)和Kuczmaszewska(2004)得到了不同形式的完全收斂定理.Sungetal.(2005)則建立了形式相對一般的完全收斂定理. 定理1.1設{Xni，1≤i≤kn，n≥1}是行獨立隨機變量組列，{an，n≥1}是一列正常數(shù)，滿足∑∞n=1an=∞，設對任意的ε＞0和某些δ＞0，有(i)∑∞n=1an∑kni=1P(|Xni|＞ε)＜∞，(ii)存在J≥2，使得∑∞n=1an(∑kni=1EX2

3、niI{|Xni|≤δ})J＜∞，(iii)∑kni=1EXniI{|Xni|≤δ}→0，則有∞∑∞n=1anP(|∑kni=1Xni|＞ε)＜∞，()ε＞0.我們將這個關于行獨立組列的收斂定理推廣到行NA的情況，得到了本章的主要結果. 定理1.2設{Xni，1≤i≤kn，n≥1}是行NA-隨機變量組列，{an，n≥1}是一列正常數(shù)，滿足∑∞i-1ani=∞，設對任意的ε＞0和某些δ＞0，定理1·1的條件(i)，(ii)，(ii

4、i)均滿足，則有∑∞n=1anP(|∑kni=1Xni|＞ε)＜∞，()ε＞0. 第二章，鞅p型Banach空間上組列的弱大數(shù)律 對于經典的弱大數(shù)律，Gut(1992)，Hongetal.(1995)，Hongetal.(1996)，Sung(1998)，Sung(2005)推廣到了實空間上隨機變量組列的情況.Hong(1996)，Adleretal.(1997)，Hongetal.(2000)，Ahmedetal.(2

5、002)將隨機變量組列的弱大數(shù)律推廣到了鞅p型的Banach空間上，其中Hongetal.(2000)得到了以下結果. 定理2.1設{Vnj，，j≥1，n≥1}是定義在實可分鞅p(1≤p≤2)型Banach空間上的隨機變量組列，{Nn，n≥1}是取值為正整數(shù)的隨機變量序列，對任意的正整數(shù)列kn→∞，都有P(Nn＞kn)=o(1)令{anj，j≥1，n≥1}是常數(shù)組列，f(n)=1/max|anj|，使得，當n→∞時，knf-p(

6、n)=o(1).設存在一個正的非降序列{g(m)，m≥0}，g(0)=0，使得∑kn-1m=1gp(m+1)-gp(m)/m=O(fp(n)/kn).且limm→∞，supn≥11/kn∑knj=1mP(‖Vnj‖＞g(m))=0.則有∑Nnj=1anj(V'nj-E(V1nj|Fn，j-1))→P0.其中V'nj=VnjI{‖Vnj‖≤g(kn)}，F(xiàn)nj=σ(Vni，1≤i≤j)，j≥1,n≥1，且Fn0={Φ，Ω}，n≥1·我們對

7、定理2.1作適當?shù)耐茝V，得到了更一般形式的定理. 定理2.2設{Xni，un≤i≤vn，n≥1}是定義在實可分鞅p(1≤p≤2)型Banach空間上的隨機變量組列，其中{un≥-∞,n≥1}和{vn≤+∞，n≥1}均為整數(shù)列，{kn，n≥1}是正的整數(shù)列，{ani，un≤i≤vn，n≥1}是常數(shù)組列，當n→∞時，滿足kn→∞，且kn/bpn=o(1)，其中bn=1/supun≤i≤vn|ani|·設存在一個正的非降函數(shù)g(x)，

8、x≥0，滿足lima→0g(a)=0，kn/bpn∑∞j=1gp(1/j)=o(1)且kn/bpn∑kn-1j=1gp(j+1)-gp(j)/j=o(1).再令{Xn，，un≤i≤vn，n≥1}滿足supa＞0supn≥11/kn∑vni=unaP(‖Xni‖＞g(a))＜∞，且lima→∞supn≥11/kn∑vni=unaP(‖Xni‖＞g(a))=0·則有vn∑i=unani(Xni-cni)→P0.其中cni=E(Xni，I{‖