具時(shí)滯環(huán)狀耦合振子的多周期解研究.pdf

1、本學(xué)位論文主要討論了具時(shí)滯耦合振子系統(tǒng)分岔周期解的穩(wěn)定性和分岔方向問(wèn)題。由于該系統(tǒng)具有Dn(+) Z2對(duì)稱性,從而我們能夠通過(guò)李群刻畫它的對(duì)稱性和李群的表示理論在探討從平衡點(diǎn)分岔出來(lái)的周期解的時(shí)間空間模式。對(duì)于本文,我們感興趣的是耦合強(qiáng)度和時(shí)滯怎么樣影響系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性和當(dāng)零解失去穩(wěn)定性時(shí),什么情況下會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔以及產(chǎn)生的分岔周期解的穩(wěn)定性與分岔方向如何。對(duì)此,本文從以下幾個(gè)方面進(jìn)行展開:
　　 研究系統(tǒng)平衡點(diǎn)的線性穩(wěn)定性

2、。首先,通過(guò)對(duì)2n維歐氏空間的分解,利用得到空間的一組基,我們得到線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程,然后通過(guò)考慮一類超越方程的零解分布,考慮特征方程零解的分布情況,并得出其實(shí)部正負(fù)性。結(jié)合微分方程常系數(shù)系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性條件,我們得出系統(tǒng)平凡平衡點(diǎn)的時(shí)滯無(wú)關(guān)漸近穩(wěn)定性,局部漸近穩(wěn)定性,不穩(wěn)定性等結(jié)論。
　　 其次,在穩(wěn)定性發(fā)生改變的臨界值7-,我們檢驗(yàn)其滿足產(chǎn)生Hopf分岔的條件,即群對(duì)于純虛根對(duì)應(yīng)的特征空間的作用是單重的,滿足非共振性和

3、橫截性條件,并且對(duì)Hopf分岔周期解進(jìn)行細(xì)節(jié)化探討。需要指出的是,由于系統(tǒng)具有Dn(+)Z2對(duì)稱性,所以線性化系統(tǒng)的特征方程的不同特征值對(duì)應(yīng)的廣義特征空間存在二維和四維的情況。于是,我們分兩種情況進(jìn)行討論,根據(jù)周期解的對(duì)稱性由相對(duì)應(yīng)的對(duì)稱群Dn(+)Z2×S1的迷向子群所決定,我們分別探討不同條件下系統(tǒng)的分岔周期解的時(shí)空模式；并借助于中心流形壓縮原理和正規(guī)化方法與李群的表示理論,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)Hopf定理和等變Hopf定理,我們分別得出判斷分