一類時滯微分方程的多重周期解的研究.pdf

1、本文把一類自治時滯微分方程的周期解的存在性問題用多種方法推廣到非自治的情形.當(dāng)方程中的函數(shù)f依賴于變量t時，這給問題的討論帶來實質(zhì)性的困難.本文就這個問題做了下面幾方面的工作.
　　 1、由于在非自治情形下，對應(yīng)的變分泛函不再具有S1不變性.因此在自治情形下的方法都不能用來研究非自治系統(tǒng)的周期解的存在性.我們首先考察下列非自治的時滯微分方程
　　 x′(t)=-[f(t，x(t-Υ))+f（t，x(t-2Υ））+…+f（

2、t，x(t-（n-1）Υ））].(1)
　　 首先將它約化成一個等價的Hamilton系統(tǒng)，然后構(gòu)造一個辛變換對此Hamilton系統(tǒng)實施變換.最后我們用廣義的Morse指標(biāo)理論和Galerkin逼近原理來研究變換后的Hamilton系統(tǒng)，得到了其滿足一定對稱性的周期解的存在性，從而給出最初的時滯微分方程的周期解的存在性.
　　 2、我們考察了具有超線性性質(zhì)的時滯方程的周期解的存在性.即方程
　　 x′(t)=-

3、f(t，x(t-Υ)),(2)
　　 其中f∈C(R×RN,Rn）與前面f在原點和無窮遠處滿足漸進線性條件不一樣，這里f在原點和無窮遠處滿足超線性性質(zhì).而且f不僅依賴于t而且是一個向量函數(shù).我們將它約化成一個等價的Hamilton系統(tǒng)，然后運用環(huán)繞的思想得到了此Hamilton系統(tǒng)的周期解的存在性，從而得到原時滯方程周期解的存在性.
　　 3、對于時滯微分方程中時滯的個數(shù)不多于兩個的情形，我們用約化的方法和Maslov指

4、標(biāo)的估計得到了下面兩個非自治的時滯方程，
　　 x′(t)=-f(t，x(t-Υ))，(3)
　　 和
　　 x′(t)=-g(t,x(t-Υi))-g(t,x(t-2Υ1)），(4) 的周期解的存在性結(jié)果.除此之外，我們還用拓撲度的方法得到了具有下面形式的非自治時滯微分方程
　　 x′(t)=f（x(t-Υ））+εg(t，x(t-Υ))，(5)的周期解的存在性結(jié)果，其中r>0，ε≠0是一個小參數(shù).

5、>　　 4、我們直接利用變分的方法考察了下面時滯微分方程
　　 x′(t)=-f(x(t-r))，(6)
　　 并得到了其周期解的存在性結(jié)果.這就是說我們可以不必要把時滯方程約化成一個等價的伴隨系統(tǒng)，然后通過研究伴隨系統(tǒng)的解來給出原方程的解，而是直接對時滯方程建立變分泛函，考察此泛函的臨界點的存在性.
　　 5、我們考察了具有Lipschtiz性質(zhì)的時滯微分方程的周期解的周期下界估計.具體的說，在Hilbert

6、空間里考察下列方程
　　 x′(t)＝-(?)f（x(t-kr））(7)
　　 和
　　 x′(t)=-(?)g(t，x(t-ks))，(8)
　　 其中x∈Rp，f∈C(Rp，Rp)，g∈C(R×Rp，Rp)及r>0，s>0是兩個給定的常數(shù).我們首先推廣了Wirtinger不等式，然后運用此不等式及時滯方程自身的性質(zhì)得到了上面兩個方程的周期解的周期的下界估計.
　　 在Banach空間考察了下面