相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調整回歸模型及其在金融時間序列中的應用.pdf

1、經(jīng)典的統(tǒng)計學是建立在獨立性假設之上的.獨立隨機變量的極限理論在20世紀30年代至40年代已經(jīng)得到完善的發(fā)展，這些極限理論在統(tǒng)計學中起著至關重要的作用，是人們進行統(tǒng)計推斷的理論基礎.雖然獨立性假設在某些時候是合理的，但是要驗證一個樣本的獨立性是很困難的.而且在大部分的實際問題中，樣本也并非是獨立的觀測值，因此，在20世紀50年代，隨機變量的相依性概念引起了概率統(tǒng)計學家的研究興趣，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的某些分支，如馬氏鏈，隨機場理論以及時間序

2、列分析等學科中被相繼提出，取得了大量的研究成果.在相依數(shù)據(jù)的研究中混合相依是廣泛應用的概念.混合相依是指序列變量之間的相依關系是以時間或空間的距離衰退的，即當隨機變量的指標只差趨于無窮時，隨機變量是漸近獨立的.
　　 在經(jīng)濟金融，氣象，水文，工程技術，自然科學和社會科學各個領域中，人們會遇到各種各樣的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)大多以時間序列的形式出現(xiàn)的.例如股票的每日收盤價格，產(chǎn)品的年銷量，國民生產(chǎn)總值的年數(shù)據(jù)等等.因此，對時間序列進行研究

3、，可以揭示各種現(xiàn)象變化和發(fā)展的內在規(guī)律，對于人們正確的認識事物并且由此作出科學的決策具有重要的現(xiàn)實意義.
　　 協(xié)變量調整回歸模型是最近新提出的一種統(tǒng)計分析方法.假設X和Y分別為預測變量和響應變量，在傳統(tǒng)的回歸模型中，通過(X，Y)的觀測值來研究X和Y之間的關系.但是，在實際問題中，變量X和Y有可能會受到其他因素的干擾，如果在進行統(tǒng)計分析時沒有把干擾因素考慮進來，就可能會得到不準確的或者是錯誤的統(tǒng)計推斷.而協(xié)變量調整回歸模型就是

4、考慮干擾因素的影響，稱干擾因素為協(xié)變量，研究在協(xié)變量影響下X和Y之間的關系.
　　 協(xié)變量調整模型提出以后，由于其重要的現(xiàn)實意義和應用價值，受到了人們的廣泛關注，出現(xiàn)了各種各樣的推廣，主要包括數(shù)據(jù)類型的推廣和模型類型的推廣.數(shù)據(jù)類型的推廣大多是把獨立同分布場合推廣到縱向數(shù)據(jù)場合.模型類型的推廣主要包括變系數(shù)模型，非線性模型和部分線性模型等等.本文中，我們在數(shù)據(jù)類型和模型類型兩方面都做了推廣.數(shù)據(jù)類型方面，我們把獨立同分布場合推廣

5、到相依數(shù)據(jù)場合，從而應用到金融數(shù)據(jù)中.模型類型方面，我們分別討論了相依數(shù)據(jù)下的參數(shù)回歸模型和非參數(shù)回歸模型.
　　 1.相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調整參數(shù)回歸模型
　　 在第二章，我們討論了相依數(shù)據(jù)下的協(xié)變量調整參數(shù)回歸模型，{Yi=p∑r=0γrXir+ei，(Y)i=(Φ)(Ui)Yi,(X）ir=φr(X)ir，r=0，…，p;i=1，…，n.其中Xi0=1，φ0(·)(=)1.假設不可觀測數(shù)據(jù)｛(Ui，Xi，Yi)，i=1

6、，2,…，n｝為一個滿足α-混合條件的嚴平穩(wěn)過程.我們的目標是，基于觀測數(shù)據(jù){（Ui，Xi，Yi），i=1，2,…，n}估計未知回歸參數(shù)γr(r=0，1，2,…，p)并且研究估計的漸近性質.我們提出了一個兩步估計方法
　　 第一步.首先把協(xié)變量調整模型轉換為(Y)i=p∑r=0βr(Ui)(X)ir+εi,其中βr(Ui)=γr(Φ)(Ui)/φr(Ui),εi=(Φ)(Ui)ei,φ0(Ui)=1,i=1,…,n;r=0,…p

7、.(
　　 )這是一個函數(shù)型系數(shù)模型.我們采用局部線性平滑方法估計模型中的系數(shù)函數(shù)數(shù)βr(·)，r=0，…，p.記θ≡θ(u0)=(β(u0)T，β'(u0)T)，最小化下面的加權平方和n∑i{(Y)i-p∑r=0[βr(u0)+βr'(u0)（Ui-u0）](X)ir}2Kh（Ui-u0），可以得到θ的最小二乘估計(θ)=（(X)TW(X)）-1(X)TW(Y)，則系數(shù)函數(shù)βr(·)的估計為βr(=)βr(u0)=eTr,2p

8、+2(θ)，其中eTr,2p+2為2p+2維向量，第r個元素為1，其他元素為零.
　　 第二步.我們提出回歸參數(shù)γr，r=0，1，…，p的估計為(γ)0=1/nn∑k=1(β)0(Uk)(γ)r=1/(X)·1/nn∑k=1(β)r(Uk)(X)kr,r=1,2…,p,其中(X)r=1/n∑nk=1(X)kr.
　　 我們討論參數(shù)估計的漸進性質.定理2.1證明了估計的相合性，并且給出了收斂速度.定理2.2證明了參數(shù)估計的

9、漸近正態(tài)性.
　　 定理2.1.（相合性定理）假設模型滿足§2.6節(jié)中的條件(C2-1)-(C2-9)，則下面的結論成立(γ)r=γr+OP((nh)-1/2）+OP(h2)+OP（n-1/2），r=0，1，…，p.
　　 定理2.2.（漸近正態(tài)性）假設模型滿足§2.6節(jié)中的條件(C2-1)-(C2-9)，當n→∞時，下面的結論成立√n（(γ)r-γr）D→N（0，σ2r），r=0，1，…，p，其中σ2r=γ2rE[(Φ

10、)2(U)E(X2r)]-γ2rE[φr(U)(Φ)(U)]E(X2r)+γ2r[E(Xr)]2+γ2rvar((X)r)/[E(Xr)]2
　　 為了比較協(xié)變量調整模型和一般線性模型對數(shù)據(jù)的擬合程度，我們提出了一種擬合優(yōu)度檢驗.設協(xié)變量調整模型轉換為下面的函數(shù)型系數(shù)模型Y=β0(U)+β1(U)X+ε.如果函數(shù)βr(·)(r=0，1)為常數(shù)，即βr(U)(=)βr(r=0，1)，則模型轉換為一個簡單的線性回歸模型Y=β0+β1

11、X+ε，這說明線性回歸模型與數(shù)據(jù)擬合地更好，否則，若βr(·)(r=0，1)不恒為常數(shù)，則函數(shù)型系數(shù)模型與數(shù)據(jù)擬合地更好.設原假設為H0∶βr(U)(=)βr，r=0，1.檢驗統(tǒng)計量為Tn(△)(RSS0-RSS1)/RSS1=RSS0/RSS1-1.(
　　 )若Tn取值較大，則拒絕原假設.我們提出了一種非參Bootstrap方法來計算上述擬合優(yōu)度檢驗的p值.
　　 為了闡明提出的方法，我們研究金融市場中銅現(xiàn)貨價格CS

12、P（響應變量）和銅期貨價格CFP（預測變量）的關系.一個簡單的線性回歸關系為CSP=β0+β1CFP+e.(
　　 )另外，滬深300股指期貨(IF)對CSP和CFP之間的關系有顯著地影響.因此，我們把IF作為協(xié)變量U，考慮下面的函數(shù)型系數(shù)回歸模型CSP=β0(IF)+β1(IF)CFP+ε,為了對模型進行檢驗，我們采用§2.4中提出擬合優(yōu)度檢驗.結果說明CSP和CFP之間存在非線性關系并且兩者之間的關系隨著IF的變化而變化.<

13、br>　　 2.相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調整非參數(shù)回歸模型
　　 在第三章，我們提出了相依數(shù)據(jù)下協(xié)變量調整非參數(shù)回歸模型，其樣本形式為{Yi=m(Xi)+εi，Yi=(Ψ)（Ui）Yi，Xi=φ（Ui）Xi，i=1，…，n.假設不可觀測樣本{（Ui，Xi，Yi），i=1，2，…，n}為聯(lián)合嚴平穩(wěn)α-混合序列.
　　 為了估計回歸函數(shù)，我們如下的兩步估計方法:
　　 第一步.干擾函數(shù)Ψ(U)和φ(U)的估計為(Ψ)(u)

14、=1/nΣni=1Kh1(u-Ui)(Y)i/1/nΣnj=1Kh1(u-Uj)×1/(Y)(△=)(g)(Y)(u)×1/(Y)(φ)(u)=1/nΣni=1Kh2(u-Ui)(X)i/1/nΣnj=1Kh2(u-Uj)×1/(X)(△=)(g)(X)(u)×1/(X)我們可以建立一個協(xié)變量調整模型的近似表達Yi≈m(Xi)+εi.
　　 第二步.我們提出回歸函數(shù)的Nadaraya-Watson估計為(m)(x)=1/nΣni

15、=1Kh0(x-(X)i)(Y)i/1/n∑nj=1Kh0(x-(X)i)(△=)n∑i-1Wh0(x-(X)i)(Y)i,其中Wh0(x-(X)i)=Kh0(x-(X)i)/∑nj=1Kh0(x-(X)i).
　　 定理3.1證明了回歸函數(shù)的估計(m)(x）的漸近收斂性，并且給出了收斂速度.
　　 定理3.1如果§3.5中條件(A3-1)-(A3-3)以及(C3-1)-(C3-5)滿足，則下面的結論成立:supx|(m

16、)(x)-m(x)|=OP(h+(nh/log(1/h)-1/2）.
　　 我們通過模擬計算和實際數(shù)據(jù)應用表明了協(xié)變量調整非參數(shù)回歸方法的優(yōu)良性.
　　 3.基于局部LRS方法的稀疏信號片段檢測
　　 稀疏信號檢測問題一直是信號處理中的熱點問題.在高維數(shù)據(jù)中進行稀疏信號檢測時經(jīng)常會面臨會兩個挑戰(zhàn)，一是如何提高檢測精度，二是如何降低計算復雜度.在第四章，我們提出了一個局部LRS方法.與一般的LRS方法相比，局部LR

17、S方法能顯著地提高檢測精度，降低計算復雜度.假設觀測樣本{Xi，i=1，2，…，n}來自于模型Xi=μ1I｛i∈I1}+μ2I｛i∈I2}+…+μqI｛i∈Iq}+Zi，1≤i≤n,其中I1，I2,.，Iq為不相交區(qū)間，表示位置未知的信號片段，μ1，μ2，…，μq為未知的信號強度.q=q(n)為未知的信號片段的個數(shù)，會隨著n的增加而增加.{Zi，i=1，2，…，n}為噪聲，令Ⅱ={I1，I2，…，Iq}表示所有的信號片段的集合.我們的目

18、標是檢測信號片段是否存在，如果存在，識別信號片段的位置.我們把上述信號片段的檢測和識別問題看作下面的假設檢驗問題，H0∶Ⅱ=ΦVS.H1∶Ⅱ≠Φ，其中西表示空集.如果H1為真，說明信號片段存在，從而我們要確定信號片段集合Ⅱ.提出的檢驗統(tǒng)計量為X[I]=∑i∈IXi/√|I|檢驗統(tǒng)計量的閾值為t2n=√2logN.
　　 我們提出的LRSL算法首先從所有的點中選出觀測值大于t1n的“重要的”點，然后再考慮每一個“重要的”點的L-鄰

19、域.那么信號片段的合理估計應該是對應的檢驗統(tǒng)計量大于t2n并且取到最大值的那些區(qū)間.
　　 定理4.1證明了檢驗方法的漸近性質.
　　 定理4.1設§4.3中的條件(C4-1)，(C4-2)滿足，另外假設K=(0)(√2logN)，γn(＞)1/√2logN，其中γn=√1+∈n-1且∈n＞0.那么，如果滿足μ≥√2(1+∈n)logN/√|I|，則下面的結論成立PH0{拒絕H0}+PH1{接受H0}→0.模擬結果表明，