27742.扭曲剛性方程解的水平集的凸性估計(jì)

1、扭曲剛性方程解的水平集的凸性估計(jì)研究生姓名:王楠學(xué)科、專業(yè):數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究方向:微分幾何指導(dǎo)教師:王培合副教授完成時(shí)間:2014年4月曲阜師范大學(xué)碩士學(xué)位論文扭曲剛性方程解的水平集的凸性估計(jì)摘要方程的解的幾何性質(zhì)是橢圓型偏微分方程中的基本問(wèn)題之一而凸性作為幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征長(zhǎng)期以來(lái)都是橢圓型偏微分方程中重要的研究主題.SaintVenant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題是材料力學(xué)和彈性力學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題而解決SaintVenant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵就是求解

2、它的應(yīng)力函數(shù)所滿足的偏微分方程.SaintVenant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題應(yīng)用的范圍很廣小到螺絲釘和金屬絲的扭轉(zhuǎn)大到工程構(gòu)件和橋梁建筑的扭轉(zhuǎn)都和人們的日常生活密切相關(guān).因此研究SaintVenant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題有著重要的意義及必要性.而本文所研究的對(duì)象就是與SaintVenant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)方程.水平集的凸性是一個(gè)非常精細(xì)的問(wèn)題本文對(duì)方程Δ=2的解的水平集的凸性作了一系列的研究.首先說(shuō)明方程Δ=2的解的水平集是凸的然后利用常秩定理說(shuō)明方程Δ=2的

3、解的水平集是嚴(yán)格凸的從而對(duì)方程Δ=2的解的水平集做一個(gè)定量估計(jì).最后一部分是本文最核心的部分主要說(shuō)明()=min1log|?|2是凹的.本文主要的定理表述如下：定理1.1.設(shè)Ω是2中一有界的光滑區(qū)域∈4(Ω)??2(Ω)且是橢圓偏微分方程Δ=2在Ω中的一個(gè)解.另設(shè)在區(qū)域Ω上有|?|?=0并且的水平集沿外法向?嚴(yán)格凸.進(jìn)一步可設(shè)是的水平集的曲率.那么函數(shù)|?|5在Ω上達(dá)到極小值.定理1.2.設(shè)Ω是2中有界的光滑區(qū)域∈4(Ω)??2(Ω)為