投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)_數(shù)模課程設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　《數(shù)學(xué)建?！?lt;/b></p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)報(bào)告</b></p><p>　　題 目： 投資的收益與風(fēng)險(xiǎn) </p><p>　　專 業(yè)： ********** </p><p>　　學(xué) 號(hào)：

2、********* </p><p>　　姓 名： ******* </p><p>　　指導(dǎo)教師： **** </p><p>　　成 績(jī)： </p><p>　　** 年 ** 月 ** 日</

3、p><p><b>　　一.問題的重述</b></p><p>　　市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、…） 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出這在這一時(shí)期內(nèi)購買 的平均收益率為 ，并預(yù)測(cè)出購買 的風(fēng)險(xiǎn)損失率 ?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用

4、所投資的 中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購買 要付交易費(fèi)，費(fèi)率為 ，并且當(dāng)購買額不超過給定值 時(shí)，交易費(fèi)按購買 計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是 , 且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（ =5%）（1）已知n = 4時(shí)的由給出的相關(guān)數(shù)據(jù)，試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。（2）試就一般情況對(duì)以上問題進(jìn)行討論，并利用給出數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。</p&

5、gt;<p>　　建立了正確的雙目標(biāo)模型，并且把該模型通過控制總體風(fēng)險(xiǎn)合理地轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問題，還給出了計(jì)算結(jié)果。通過計(jì)算的收益——風(fēng)險(xiǎn)的一系列解，通過多次函數(shù)擬合建立了收益——風(fēng)險(xiǎn)的函數(shù)關(guān)系，并且根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合本題的經(jīng)濟(jì)含義，獲得了保守型，溫和型以及冒險(xiǎn)型的區(qū)分及比較合理的投資區(qū)間。分析結(jié)論有一定的數(shù)學(xué)理論依據(jù)，而且也較符合實(shí)際。</p><p>　　應(yīng)用多目標(biāo)決策方法

6、建立模型，并通過簡(jiǎn)化，成為一個(gè)單目標(biāo)線性規(guī)劃問題。計(jì)算后得到了一個(gè)合乎公司要求的，凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小的最優(yōu)方案，如下所示：</p><p>　　問題1的最佳投資方案</p><p>　　對(duì)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行同樣的計(jì)算和分析，也獲得了一個(gè)理想的投資方案，從而證明了我們的模型具有一般性。</p><p><b>　　二.問題分析</b>

7、</p><p>　　本題中的投資問題是利用所給數(shù)據(jù)，通過計(jì)算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案，并推廣到一般情況。下面是實(shí)際中要考慮的兩點(diǎn)情況：</p><p>　　在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，取得最大的收益；</p><p>　　在收益一定的情況下，所冒風(fēng)險(xiǎn)最小。</p><p>　　不同的投資者對(duì)利益和風(fēng)險(xiǎn)的側(cè)重點(diǎn)不同，但在一定范圍內(nèi)都是正常的

8、。所以我們只能要求選擇一種盡量好的方案。即風(fēng)險(xiǎn)盡量小，收益盡量大，這符合題意和一般投資者的心理。</p><p>　　表中給出的幾種投資項(xiàng)目各自的平均收益率，風(fēng)險(xiǎn)損失率以及交易費(fèi)率各不相同，我們先以qi為橫坐標(biāo)表示風(fēng)險(xiǎn)。以(ri-pi)為縱坐標(biāo)表示收益建立一個(gè)粗略的圖形。從大體趨勢(shì)可以看出，qi越大，(ri-pi)也越大，即風(fēng)險(xiǎn)越大，期望收益越大。同理對(duì)表畫出圖，也可看出同樣的趨勢(shì)。雖然很粗糙，但符合一般的實(shí)際情

9、況。</p><p>　　題目中給出交易費(fèi)的計(jì)算數(shù)額是一個(gè)分段函數(shù)，設(shè)為li=</p><p>　　ui ， xi≤ui</p><p>　　xi ， xi＞ui</p><p>　　在實(shí)際計(jì)算中，不容易處理，但我們注意到，在表1中，ui的數(shù)值非常小，∑ui=103+198+52+40=387元，對(duì)其中最大的ui來說，u2=198＜200

10、元，而已知M是一筆相當(dāng)大的資金。同時(shí)交易費(fèi)率pi的值也很小。即使在xi≤ui是，以u(píng)i來計(jì)算交易費(fèi)與用xi直接計(jì)算交易費(fèi)相差無幾。所以，后面我們具體計(jì)算是，為簡(jiǎn)化暫時(shí)不考慮ui的約束，都已xi來代替ui計(jì)算交易費(fèi)。這一小的誤差將在后面的討論中具體加以分析。</p><p>　　公司在問題一情況下可對(duì)五種項(xiàng)目投資，其中銀行無風(fēng)險(xiǎn)，收益r0=5%為定值，在投資期間不會(huì)變動(dòng)。其它投資項(xiàng)目雖都有一定的風(fēng)險(xiǎn)，但收益可能大于

11、銀行利率。我們擬建立一個(gè)模型，這個(gè)模型對(duì)一般投資者都適用。并根據(jù)他們風(fēng)險(xiǎn)承受能力的不同提出多個(gè)實(shí)用于各種類型人的投資方案。（把投資者分為冒險(xiǎn)型，溫和型和保守型，越積極冒險(xiǎn)的人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)損失的承受能力越強(qiáng)，用c作為指標(biāo)來劃分。）</p><p>　　由前面的分析已經(jīng)知道，風(fēng)險(xiǎn)越大，利益可能越大。所以，利益與風(fēng)險(xiǎn)是一對(duì)矛盾，我們根據(jù)公司要求，用多目標(biāo)劃分來建模，力求利益大，風(fēng)險(xiǎn)小。尋找一種令公司滿意的方案。</p&

12、gt;<p>　　設(shè)計(jì)第i種資產(chǎn)投入錢數(shù)占總金額M的比例為xi，則投資期滿所得凈收益為∑（xiri-lipi）總風(fēng)險(xiǎn)以Si項(xiàng)中所冒風(fēng)險(xiǎn)的最大值來考慮。這是一個(gè)二目標(biāo)線性規(guī)劃模型。</p><p>　　問題二擴(kuò)大了投資范圍，首先我們根據(jù)問題一中所建模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，去不同的中值，得到一組數(shù)據(jù)，這與前面的方法相同。</p><p>　　我們又對(duì)表2中的數(shù)據(jù)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)極有規(guī)則

13、，有些項(xiàng)目xi，qi，pi的數(shù)值明顯不符合投資要求，因而可在計(jì)算之前整體優(yōu)化，即對(duì)所給項(xiàng)目粗略去舍，再對(duì)剩余項(xiàng)目進(jìn)行投資。這將在模型的優(yōu)化中加以討論。</p><p><b>　　三.模型的假設(shè)</b></p><p>　?。?）假設(shè)在交易額很小時(shí)，忽略交易費(fèi)；</p><p>　?。?）假設(shè)投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，且總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的資產(chǎn)

14、當(dāng)中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；</p><p>　?。?）假設(shè)交易費(fèi)按購買計(jì)算，在不買的情形下當(dāng)然無須付費(fèi)；</p><p>　?。?）假設(shè)同期銀行存款利率保持定值不變，且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。</p><p><b>　　四.模型建立</b></p><p>　　當(dāng)該公司對(duì)市場(chǎng)上的資產(chǎn)進(jìn)行投資是，涉及到兩個(gè)衡量投資方案好壞的

15、標(biāo)準(zhǔn)，也即有兩個(gè)目標(biāo)：1.凈收益大；2.風(fēng)險(xiǎn)小。</p><p>　　我們?cè)O(shè)z1為凈收益函數(shù)，則有</p><p>　　z1=收回資產(chǎn)時(shí)的總資產(chǎn)-投資時(shí)的總資產(chǎn)</p><p><b>　　因此：</b></p><p>　　z1=∑xi+∑xiri-1</p><p><b>　　又因

16、為</b></p><p>　　∑（xi+lipi）=1（同投資時(shí)交易費(fèi)從M中扣去）所以</p><p>　　Z1=∑(xiri-lipi) 其中l(wèi)i=</p><p>　　ui ， xi≤ui</p><p>　　xi ， xi＞ui</p><p>　　同時(shí)，我們希望，所投第i項(xiàng)中最大風(fēng)險(xiǎn)越小越好。

17、以z2表示風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)。</p><p>　　z2=max{xiqi∣i=0,1,2,…,n}</p><p>　　綜合以上分析，得出模型：模型A（雙目標(biāo)決策模型）</p><p>　　max{z1=∑(xiri-lipi)}.min{z2=max(xiqi)}.</p><p>　　∑(xi+lipi)=1,s.t xi≥0.</p>

18、;<p>　　該模型的非劣解集可以用線性加權(quán)法求出，但對(duì)于雙目標(biāo)決策來說，存在兩個(gè)問題：</p><p>　　兩目標(biāo)各自的權(quán)重不好任意覺得；</p><p>　　對(duì)本模型目標(biāo)函數(shù)z2難以處理，考慮到這兩種情況，我們對(duì)模型A進(jìn)行下面的簡(jiǎn)化：</p><p>　　引進(jìn)一個(gè)參量c表示投資者風(fēng)險(xiǎn)的承受能力。由題意要求：xiqi≤c這樣迫使投資分散，風(fēng)險(xiǎn)也就相應(yīng)

19、減小，從直觀上來講就是各個(gè)項(xiàng)目同時(shí)發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)的概率不大。防止了盲目的追求利益，是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一種量化。于是對(duì)</p><p>　　min{z2=max{xiqi}}</p><p>　　可以把目標(biāo)函數(shù)z2變成約束條件</p><p><b>　　xiqi≤c</b></p><p>　　在問題分析中，已經(jīng)證明不考慮ui的約束，

20、對(duì)投資方案影響不大。綜合各種情況把模型A整個(gè)簡(jiǎn)化成以下模型：</p><p><b>　　模型B</b></p><p>　　maxzi=xi(ri-pi)</p><p>　　s.t:xiqi≤c</p><p>　　sumxi(1+pi)=1</p><p><b>　　xi≥0&l

21、t;/b></p><p>　　這個(gè)模型是一個(gè)單目標(biāo)的線性規(guī)劃。在給定的c值下，很容易求出此時(shí)的最優(yōu)解，我們又根據(jù)各人的不同承受能力給出一系列c值，求出一系列最優(yōu)解。我們期望通過對(duì)這一系列點(diǎn)（c，z）的擬合，得出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式z1=f（c）。從而由此擬合函數(shù)f（c），運(yùn)用數(shù)學(xué)方法可以求得一個(gè)合理的投資方案。</p><p><b>　　五.數(shù)據(jù)計(jì)算與分析</b>

22、</p><p>　　對(duì)問題1的計(jì)算與分析</p><p>　　利用附表A的程序中mathmatica軟件包中解出對(duì)應(yīng)于給定不同c的最優(yōu)解，列表如下：</p><p>　　從表中數(shù)據(jù)可以看出，c越大，z1越大。即風(fēng)險(xiǎn)越大，收益也大。這是合乎常理的。</p><p>　　通過對(duì)上述數(shù)據(jù)的分析，我們不妨把投資者大概分為三種類型，即保守型，溫和型，

23、冒險(xiǎn)型。由上表，我們還可以看出，當(dāng)投資越分散是，投資者所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也越小，這與題意也是一致的，也即冒險(xiǎn)型的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，而保守型的投資者則盡量分散的投資。</p><p>　　我們又對(duì)一系列坐標(biāo)點(diǎn)（c，z）進(jìn)行多項(xiàng)式擬合在六次的情況下，擬合狀況如下圖所示：</p><p>　　所得的z—c函數(shù)關(guān)系式為</p><p>　　z1=7.2-9.1c+162

24、.2c×c-301c×c×c+235c×c×c×c-83.7c×c×c×c×c+11.2c×c×c×c×c×c</p><p>　　由圖我們注意到：盡管c增大是，z1也同時(shí)增大，但其增長(zhǎng)勢(shì)頭也即f′（e）在一定區(qū)間[c1,c2]內(nèi)迅速減少。</p>&

25、lt;p>　　我們認(rèn)為在f′（e）發(fā)生相對(duì)劇烈變化的區(qū)間投資是合理的。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，正常人不會(huì)多冒相對(duì)較大的風(fēng)險(xiǎn)去求取相對(duì)很少的收益，即這也就是指c＞c2的投資區(qū)域，相反，也不會(huì)因?yàn)槎嗝跋鄬?duì)很小的風(fēng)險(xiǎn)，而放棄相對(duì)增加很多的收益，這也就是指c＜c1的投資區(qū)域。在這里，f′（e）可以理解為每一個(gè)單位風(fēng)險(xiǎn)所能獲得的收益，又注意到f′（e）在經(jīng)過急劇減少后，f′（e）將會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，但f（e）趨向水平也即沒增加一個(gè)單位風(fēng)險(xiǎn)所能多獲得

26、的收益很小。</p><p>　　作為一個(gè)理性的投資者，我們確定以[c1,c2]區(qū)間上曲率最大（也即f（e）函數(shù)曲線最彎曲的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的投資方案作為最佳的投資方案）。</p><p><b>　　即對(duì)于曲率公式</b></p><p>　　k=∣y〝∣/(1+y′×y′)</p><p>　　要求函數(shù)k最大值是所

27、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，也就是最佳方案所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。</p><p>　　從擬合曲線可估算出[c1,c2]區(qū)間為[0.4,1]區(qū)間，在Mathematica軟件上計(jì)算可得c=0.74。然而我們通過連接折線注意到擬合曲線在折線斜率急劇變化的區(qū)間擬合得不好，因而在這段區(qū)間上我們通過增加坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行小區(qū)間擬合，又通過Mathematica軟件上計(jì)算出，當(dāng)c=0 .592時(shí)，其曲率最大，所以我們選擇c=0.592作為最優(yōu)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)方案如下

28、：</p><p>　　即在c=0.592是，有一個(gè)最佳的投資方案。</p><p><b>　　對(duì)表二的計(jì)算與分析</b></p><p>　　利用附錄程序B在Mathematica軟件下解出對(duì)應(yīng)于給定c的最優(yōu)解z1，列表如下：</p><p>　　由上表數(shù)據(jù)也可以看出，風(fēng)險(xiǎn)承受能力越大，收益也越大，而投資越分散，其對(duì)

29、應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也就越小，這與表數(shù)據(jù)結(jié)果的分析結(jié)論是吻合的。同樣，我們也可以對(duì)（c,z）點(diǎn)集進(jìn)行擬合函數(shù)為：</p><p>　　z1=3.43867+6.34598c-0.382283c×c+0.000923c×c×c+0.000674c×c×c×c-0.000022c×c×c×c×c+0.0000001c×c

30、×c×c×c×c</p><p><b>　　從而得到</b></p><p><b>　　c=7.40</b></p><p>　　在此情況下的最優(yōu)投資方案為</p><p>　　（0.0，0.1233，0.0123，0.0，0.1233，0.2216，0.

31、1388，0.185，0.0，0.1609，0.0）</p><p>　　對(duì)表2數(shù)據(jù)的計(jì)算與分析，驗(yàn)證了我們的模型適合于一般情形。</p><p><b>　　六.模型的優(yōu)化</b></p><p>　　考慮到當(dāng)投資項(xiàng)過多是，會(huì)使計(jì)算很復(fù)雜。因而我們?cè)谥苯佑?jì)算數(shù)據(jù)前對(duì)投資項(xiàng)目按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估算，去掉一些明顯的劣項(xiàng)，進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算，我們這里以（ri

32、-pi）作為凈收益的估計(jì)值，以qi作為風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)值。給定值兩目標(biāo)決策時(shí)凈收益與風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)重分別為0.9和0.1，即0.9（ri-pi）-0.1qi作一個(gè)綜合的估計(jì)值。從而對(duì)表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，由上面的數(shù)據(jù)可以得出（1），（11），（12），（15），這幾項(xiàng)是可以去掉的。然后，我們?nèi)芜x一c（c=1.5）通過計(jì)算，z=11.5269.對(duì)在簡(jiǎn)化之前同等條件下z=11.8141。</p><p>　　我們可以得出，刪除一些

33、劣等投資項(xiàng)目后，會(huì)對(duì)z以及xi產(chǎn)生影響，但對(duì)收益z的影響不大，可計(jì)算出相對(duì)誤差為（11.8141-11.5269）/11.8141=0.024，而當(dāng)投資項(xiàng)目眾多，而又有一定數(shù)量的劣等投資項(xiàng)目是，這種方法對(duì)計(jì)算的簡(jiǎn)化是非常明顯的。</p><p><b>　　七.模型的討論</b></p><p>　　擬合狀況對(duì)最優(yōu)投資方案的影響</p><p>

34、;　　由于是一擬合曲線在一定范圍內(nèi)曲率最大的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方案為最佳方案，但是考慮到在實(shí)際中擬合曲線存在一定的誤差，因而我們所選取的方案不一定是一般情況下最好的方案，但必定在最優(yōu)方案的附近。為了解決這個(gè)問題，我們可以將各坐標(biāo)點(diǎn)用線段連接起來，通過分析可以得到各線段斜率變化相對(duì)劇烈的區(qū)間，進(jìn)而在這個(gè)區(qū)間內(nèi)通過減小c的步長(zhǎng)來增加坐標(biāo)點(diǎn)，然后再這個(gè)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行第二次擬合，再用同樣的方法可以求出區(qū)間內(nèi)的曲率最大的一點(diǎn)，從而得到一般情況下的最好方案。&

35、lt;/p><p><b>　　穩(wěn)定性的討論</b></p><p>　　靈敏度討論：在我們所建立的線性規(guī)劃模型B中，假定參數(shù)ri，qi都是常數(shù)，但實(shí)際上這些系數(shù)往往是估計(jì)值和預(yù)測(cè)值，市場(chǎng)和人為因素對(duì)這類參數(shù)的確定有一定影響，當(dāng)ri,qi有微小變化是，目標(biāo)函數(shù)的變化是否會(huì)很大？因此需要進(jìn)行靈敏度分析，</p><p>　　不妨在c=0.05時(shí)，是r

36、i與qi有小的增長(zhǎng)，求出目標(biāo)函數(shù)f變化幅度并列表如下:</p><p>　　對(duì)該表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，riqi微小變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響不大，表明我們的模型通過了靈敏度檢驗(yàn)，具有實(shí)用價(jià)值。</p><p><b>　?。?）對(duì)ui的討論</b></p><p>　　在模型中，我們沒有考慮ui對(duì)交易費(fèi)的影響，從而簡(jiǎn)化了模型。有條件可知，當(dāng)滿足xiM≥u

37、時(shí)，可以對(duì)ui忽略不計(jì)，通過對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算可知，在M相當(dāng)大的情況下，xi都能滿足上述條件，因?yàn)槲覀冋J(rèn)為一般情況下ui對(duì)模型的影響非常小，所以在計(jì)算時(shí)忽略它是比較合理的。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]錢頌迪等 運(yùn)籌學(xué) 清華大學(xué)出版社 北京 1990</p><p>　　[2]周漢良 范玉妹 數(shù)學(xué)規(guī)劃及其