畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用

1、<p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1引言1</b></p><p>　　2.方程的發(fā)展歷程及其思想價值2</p><p>　　2.1方程發(fā)展簡史2</p><p>　　2.2方程思想中的教育價值4</p><p>　　2.3方程思

2、想與中學數(shù)學的密切關(guān)系5</p><p>　　3.方程思想的運用6</p><p>　　3.1 運用方程思想解代數(shù)題6</p><p>　　3.2運用方程思想解幾何題7</p><p>　　3.2.1用方程思想解常見中考幾何題8</p><p>　　3.2.2運用方程思想解答高考題中曲線方程問題9</

3、p><p>　　3.3運用方程思想解函數(shù)題15</p><p>　　3.3.1方程思想在高考題中的應用15</p><p>　　3.3.2方程思想在三角函數(shù)中的運用17</p><p>　　3.4運用函數(shù)方程思想解函數(shù)題17</p><p>　　3.4.1函數(shù)方程的幾種解法17</p><p&

4、gt;　　3.4.2幾個重要的二元函數(shù)方程18</p><p>　　3.5運用方程思想解決最值問題20</p><p>　　3.6微分線性方程思想求解矩陣的特征值和特征向量21</p><p><b>　　4.結(jié)束語22</b></p><p><b>　　致謝辭23</b></p&

5、gt;<p><b>　　參考文獻23</b></p><p>　　方程思想探究及其解題妙用</p><p>　　摘要：本文首先介紹方程的歷史發(fā)展及其思想價值，然后研究方程思想的運用，運用包括：方程思想在代數(shù)、幾何（中考、高考）、函數(shù)（一般函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)方程）、最值問題、特征值特征向量方面的解題應用，揭示了方程思想在中學甚至大學數(shù)學解題中的重要地

6、位及其運用.</p><p>　　關(guān)鍵詞：方程思想 ；解題；中考題；高考題 </p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　長期以來, 傳統(tǒng)的數(shù)學教育只注重數(shù)學知識的傳授, 忽視了知識發(fā)生過程中數(shù)學思想方法的教學, 這有悖于數(shù)學學習客觀規(guī)律.數(shù)學思想方法比形式化的數(shù)學知識更具有普遍性,在學生未來工作和生活中有更加廣泛的

7、應用.正如日本數(shù)學教育家米山國藏在從事多年的數(shù)學教育之后所說的一句話: “學生們在中學所學到的數(shù)學知識在進入社會之后幾乎沒什么機會應用, 因而這種作為知識的數(shù)學通常在出校門之后一兩年就忘了, 然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作, 那種銘刻于腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法卻長期地在他們工作和生活中發(fā)揮著作用.”</p><p>　　方程思想，顧名思義，也就是具有方程的思想，要了解方程思想，首先要知道什么是方程.目前中學數(shù)學

8、教科書中通用的方程定義是：含有未知數(shù)的等式.但是，形如，之類的等式難以界定. 給出一個可以取代的定義：方程是為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系.好處在于：</p><p>　?、偎沂玖朔匠踢@一數(shù)學思想方法的目標：為了求未知數(shù)； </p><p>　?、陉愂隽恕耙阎獢?shù)”的存在，解方程需要充分利用已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系； </p><p>　?、鄯?/p>

9、程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個等式關(guān)系. </p><p>　　在高等數(shù)學中方程的定義：形如的等式叫做方程，其中，是在它們定義域的交集內(nèi)研究的兩個解析式，且至少有一個不是常函數(shù).</p><p>　　陳重穆教授指出，方程的邏輯定義不必深究，到時關(guān)于未知數(shù)的思想，需要特別關(guān)注，即幫助學生樹立方程的思想.方程和方程思想是有區(qū)別的，方程屬于知識體系，方程思想屬于思維體系.方程思想是對方程知識的全

10、面升華，是充滿活力的方程知識的體現(xiàn).那究竟什么是方程思想呢？</p><p>　　在《標準》中關(guān)于方程思想闡述了這樣一個觀點：（1）方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型；（2）方程沒有一般解法；（3）特殊方程用特殊解法.張奠宙顯示曾經(jīng)指出方程思想在于“方程思想是一座橋梁，一座聯(lián)系已知和未知的橋梁.”總的來說對問題中數(shù)量關(guān)系的分析入手，應用數(shù)學語言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，使問題獲解的思想方法，稱為方程思想.</p&

11、gt;<p>　　2.方程的發(fā)展歷程及其思想價值</p><p><b>　　2.1方程發(fā)展簡史</b></p><p>　　任何事物的發(fā)展都有一個過程,人類對方程的研究也經(jīng)歷了漫長的歲月.</p><p>　　公元前2000年-公元前1700年,古埃及——紙草上的方程(如《蘭德紙草書》、《柏林紙草書》等)中就已經(jīng)用“試位法”精確

12、地得到一元一次方程的解,但對于二次以上的方程,這種方法只能給出近似解.</p><p>　　公元前2000年左右,古巴比倫人就已經(jīng)掌握了解一些一元二次方程的方法希臘數(shù)學家丟番圖《算術(shù)》中，討論了一次方程、二次方程和個別三次方程，還討論了大量的不定方程.印度數(shù)學家阿耶波多在《阿耶波多歷數(shù)書》中給出了二次方程的求解方法.婆羅摩笈多在公元628年完成的《婆羅摩笈多修正體系》一書中，也給出了一般二次方程的求根公式. 花拉

13、子米的《代數(shù)學》一開頭就指出：下列的問題，都是由根、平方與數(shù)這三樣東西組成的.該書給出了六種類型一、二次方程，分六章來敘述. </p><p>　　中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有“方程”章，包含了很多關(guān)于方程的問題.“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗.問上、中、下禾實一秉各幾何？”《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)的符號，而

14、是用算籌將的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個（長）方陣，這就是“方程”之一名稱的來源. 采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組、用直除法解線性方程組這是世界上最早的完整的線性方程組的解法,西方直到十七世紀才由萊布尼茲提出了許多隱含了函數(shù)與方程思想的著名趣題,如“五家共井”(“方程”章第十三題)、“百雞問題”(《張丘建算經(jīng)》下卷第三十八題)、“韓信點兵——孫子問題”(《孫子算經(jīng)》)等在民間傳說著公元3世紀,趙爽的《勾股圓方圖說》給出了形如的二次方程的求

15、解步驟.</p><p>　　公元7世紀王孝通的《緝古算經(jīng)》中解決了不少三次方程求解的實際問題 公元13世紀的中國，在求高次方程數(shù)值解，以及解高次聯(lián)立方程上有重大貢獻.1247年，秦九昭給出了一般高次方程的數(shù)值解法.李冶創(chuàng)立的“天元術(shù)”（1248年）和朱世杰使用的“四元術(shù)”（1303年）能夠求解一大類的高次聯(lián)立方程.16世紀最偉大的數(shù)學成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程和四次方程的求根公

16、式</p><p>　　16世紀,方程解法有了重大的突破,費羅和塔塔利亞分別在1515年和1535年給出了三次方程的代數(shù)解法1545年，卡爾丹在《大衍術(shù)》中給出了三次方程和四次方程的解法.三次方程的解法，實質(zhì)是考慮恒等式，若選取，使得 ,</p><p>　　不難解出，,，于是得到就是所求的x，后人稱之為卡爾丹公式.</p><p>　　此后很長的一段時期里,人們

17、幵始討論一般的五次方程的解法,歐拉和拉格朗日都進行了嘗試,但都以失敗告終直到19世紀,魯菲尼和阿貝爾都證明一般的五次及以上的方程沒有求根公式.</p><p>　　2.2方程思想中的教育價值</p><p>　　幫助學生樹立方程的思想，是數(shù)學“雙基”的重要內(nèi)容，不可忽視.以下是一個真實的例子.</p><p>　　20世紀70年代，上海第51中學的一位畢業(yè)生到和平飯

18、店擔任電工.工作中，他發(fā)現(xiàn)12樓客房的室溫，和地下室設(shè)定的文檔有差異.細究原因，乃是連接地下室和12樓空調(diào)器的三根導線不一樣長，于是電阻也不同.那么如何測這三根電線的電阻？用萬能表肯定不行.于是這位電工想到了數(shù)學，想到了方程.</p><p>　　盡管單根電線的電阻很難預測知，但是12樓上兩根電線連接起來，在地下室測量兩根電線的電阻卻是輕而易舉的.于是，他列出了以下的方程</p><p>

19、　　╱╱╱ </p><p>　　х У Ζ </p><p>　　解這樣的聯(lián)立方程是每個初中生都會做的，但是能夠在測量電阻時想到運用方程思想求未知數(shù)，卻是很不容易的.這也是為什么要培養(yǎng)初中生方程思想的原因了</p><p>　　韋達在他的5分析方法入門6(巧91

20、)著作中,首次系統(tǒng)地使用了符號表示未知量的值進行運算,提出符號運算與數(shù)的區(qū)別,規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界"韋達是第一個試圖創(chuàng)立一般符號代數(shù)的的數(shù)學家,他開創(chuàng)的符號代數(shù),在17世紀經(jīng)笛卡爾改進后成為現(xiàn)代的形式笛卡爾用小寫字母a,b,C等表示己知量,而用x,y,z代表未知量這種用法己經(jīng)成為當今的標準用法,它為方程理論的現(xiàn)代化奠定了基礎(chǔ).</p><p>　　同時,笛卡爾在《指導思維的法則》一書中還提出了一種解決

21、一切問題的“萬能方法”,其模式是:</p><p>　　(1)把任何種類的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題;</p><p>　　(2)把任何種類的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;</p><p>　　(3)把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題"</p><p>　　然后討論方程(組)的問題,得到解之后再對解進行解釋就可以了"</p&

22、gt;<p>　　這一模式現(xiàn)在看來雖不能說是萬能,但在處理數(shù)學問題時確有廣泛的應用"</p><p>　　其中,“把任何種類的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題”蘊含了設(shè)未知數(shù)的思想,然后再“把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題”,因此這種數(shù)學思想可看成是方程的思想方法.</p><p>　　學生學習方程的意義在于：一是學習在生活中從錯綜復雜的事情中將 最本質(zhì)的東西抽象出來

23、,這個過程是非常難的,也很有訓練的價值;二是在運算 中遵循最佳的途徑,將復雜的問題簡單化,這種優(yōu)化思想對人的思維習慣的影響是深遠 .在中小學數(shù)學中最害怕將方程間題形式化.希爾伯特的形式化對數(shù)學有很大的貢獻,但是,在中學時期,過早地形式化、過度形式化對學生害大于益!</p><p>　　方程思想包含三層意思:數(shù)與符號的統(tǒng)一關(guān)系的思想;用方程的觀念考察和解決其它知識領(lǐng)域的相關(guān)問題的思想;從其它知識體系中提取方程問題的

24、思想.中學生掌握一定的方程思想是時代的需要也是數(shù)學學習的需要.中學生掌握一定的方程思想是對中國數(shù)學文明的發(fā)展和繼承,具有廣泛的現(xiàn)實意義.</p><p>　　2.3方程思想與中學數(shù)學的密切關(guān)系</p><p>　　高中階段對方程學習有較高的要求，無論是領(lǐng)會方程與函數(shù)的關(guān)系還是代數(shù)方程與幾何學圖形之間的關(guān)系，都與方程有關(guān)，包括：函數(shù)與方程，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程，二階矩陣與二元

25、一次方程組、一階線性差分方程、參數(shù)方程等等.可見方程思想無處不在，要求學生掌握方程思想，是中學生解決問題的重要途徑之一.</p><p>　　題海茫茫，何處是岸？鑒于方程在數(shù)學中的重要作用和基礎(chǔ)地位，如《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》第三學段中明確提出了“方程與方程組”的教學目標.數(shù)學大師陳省身先生曾經(jīng)說過：數(shù)學有“好”數(shù)學和“不大好”的數(shù)學之分.方程，就是“好”的數(shù)學的代表，它是最基本的解題方法之一，也是中學生解

26、題的重要搭建平臺.</p><p>　　《數(shù)學課程標準解讀》（實驗稿）指出：“中學數(shù)學的基礎(chǔ)知識主要是中學代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學思想和方法.”這里把數(shù)學思想方法列為基礎(chǔ)知識的重要組成部分體現(xiàn)了義務(wù)教育的性質(zhì)任務(wù)，有利于揭示知識的精神實質(zhì)，有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng).因此，在整個初中數(shù)學教學工作中，必然要把數(shù)學思想方法和知識，技能融為一體，放到突出的位置上.<

27、;/p><p>　　為了更好的說明方程思想的重要性，下面將用例子說明.</p><p><b>　　3.方程思想的運用</b></p><p>　　要準確靈活運用方程思想，要知道方程的種類有哪些，下面是方程的分類：</p><p>　　方程的分類多種多樣，下面從幾種典型方程作為探究對象，利用它們的性質(zhì)解題.</p>

28、;<p>　　3.1 運用方程思想解代數(shù)題</p><p>　　（1）利用方程的韋達定理</p><p>　　例1：已知方程的兩個根，求的值.</p><p>　　解：根據(jù)韋達定理知:,所以 >0</p><p><b>　　因為==</b></p><p><b>

29、　　又</b></p><p><b>　　所以=</b></p><p>　　評析：初中運用韋達定理非常廣泛，在做題時要掌握兩根之和，兩根之積的值，然后直接運用到所求問題中.</p><p>　　利用根與系數(shù)的關(guān)系求出已有跟的多項式</p><p>　?。ǜ叩却鷶?shù)第四版68頁）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，若多項式&

30、lt;/p><p><b>　　，，有以下形式：</b></p><p>　　..............................</p><p>　　例2：求有單根5與-2以及二重跟3的四次多項式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>

31、;　　，</b></p><p><b>　　因此所求多項式是</b></p><p><b>　　或，其中</b></p><p>　　3.2運用方程思想解幾何題</p><p>　　有許多平面幾何問題從表面上看, 與方程沒有多少直接聯(lián)系, 但是認真分析這些問題的數(shù)量關(guān)系, 通過建立方

32、程, 可得到問題的解.</p><p>　　3.2.1用方程思想解常見中考幾何題</p><p><b>　?。?）基礎(chǔ)題</b></p><p>　　例3：(1998 年北京市) 如圖1, 在中，</p><p>　　，D是BC邊上的一點，DEAB與E，</p><p>　　,若DE:AE=1：

33、5，BE=3，求的面積.</p><p>　　解析：不妨假設(shè)DE=，那么AE=此時，可求出用表示的BD邊長度，在直角三角形ADE中，DE和AE知道，根據(jù)勾股定理可求出用表示的AD的長度，又故AC=CD斜邊知道，，在大直角三角形ABC中，AC=，BC=+，AB=3+，可求出的值來.那么AC，BD的長度也可知，即ABD面積可求.</p><p>　　分析：本案例是幾何求值綜合題，因此要引導學生

34、仔細分析，利用正方形構(gòu)成直角三角形布列等式，從而得出解題方法.</p><p><b>　　動點問題</b></p><p>　　例4：如圖，在直角梯形中</p><p><b>　　,</b></p><p>　　點是上的一個動點（不與重合）過點作//交于點(當運動到點時，與重合）把沿對折，點的對

35、應點是點設(shè)，與梯形重疊部分的面積為</p><p><b>　　求的長</b></p><p>　　若點恰好在上，求此時的值</p><p>　　求與支架的函數(shù)關(guān)系式，并求當為何值時，的值最大？最大值是多少？</p><p>　　解：（1）過點作垂直于點，因為，所以,,又易知是矩形，所以</p><p

36、>　　由（1)知，且所以,故與重疊，當點恰好在上時，可知,，，有，解得</p><p>　　如圖3所示，當時，陰影部分的面積</p><p>　　等于的面積減去空白部分的面積</p><p>　　空白部分的面積與面積成比例，所以</p><p><b>　　當時，</b></p><p>　

37、　3.2.2運用方程思想解答高考題中曲線方程問題</p><p>　　“火眼金睛”看題目，方程思想最優(yōu)法</p><p>　　例5：(廣東深圳市調(diào)研考試題）如圖，</p><p>　　已知動圓過定點且與軸相切，</p><p>　　點關(guān)于圓心的對稱點為，</p><p><b>　　動點的軌跡為.</b

38、></p><p><b>　　求曲線的方程；</b></p><p>　　設(shè)是曲線上的一個定點，過點作任意兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線相交于另外兩個點.</p><p>　　①證明：直線斜率為定值；</p><p>　?、谟浨€位于兩點之間的那一段為，若點在上，且點到直線的距離最大，求點的坐標.</p&

39、gt;<p>　　解：（1）解法一：設(shè)，因為點在圓上，且點關(guān)于圓的對稱點，所以，且圓的直徑為，由題意，動圓與軸相切，所以，兩邊平方整理得，所以曲線的方程為</p><p>　　解法二：因為動圓過定點且與軸相切，所以動圓在軸上方，連接,因為關(guān)于圓心的對稱點為，所以為圓的直徑.過點作軸，垂足為,過點作軸，垂足為.在直角梯形中，即動點到定點的距離比到軸的距離大1，又動點位于軸的上方，所以動點到定點的距離與

40、到定直線的距離相等.故動點的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線.</p><p><b>　　所以曲線的方程為</b></p><p>　?、僮C法一：由題意，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AP的斜率為,則直線的斜率為.因為是曲線：上的點，所以，直線的方程為 .由 </p><p>　　解得 或， 所以點坐標為以替換，得

41、的坐標為</p><p><b>　　所以直線的斜率為</b></p><p><b>　　為定值.</b></p><p>　?、僮C法二：因為是曲線：上的點，所以，.</p><p>　　又點在曲線：上，所以可設(shè)，而直線、</p><p>　　的傾斜角互補，所以它們的斜率互

42、為相反數(shù)，即整理得：</p><p>　　，所以直線的斜率為為定值</p><p>　?、诮夥ㄒ唬河散倏芍?，，</p><p>　　，所以直線方程為，整理得</p><p>　　.設(shè)點在曲線段上，因為兩點的橫坐標分別為和所以點的橫坐標在和之間</p><p>　　即所以，從而，點到直線的距離為</p>&

43、lt;p>　　當時，又所以點在曲線段上，所以點的坐標是</p><p>　　解法二：由①可知，若點在曲線段上，且點到直線的距離最大，則曲線在點處的切線設(shè)：，由方程組</p><p><b>　　消去，得令解得</b></p><p>　　代入方程組，解得所以點的坐標是</p><p>　　評析：從以上的解法我們發(fā)現(xiàn)

44、，無論是第（1)問還是第（2）中的②，運用設(shè)元解方程組的方法更有利于解答，可縮小運算量，易理解.</p><p>　　(2）方程思想在圓錐曲線上的應用</p><p>　　例6.【2012高考真題浙江理21】橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．</p><p>　　(Ⅰ

45、)求橢圓C的方程；</p><p>　　(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．</p><p>　　【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。</p><p>　　解：(Ⅰ)由題：； (1)</p><p>　　左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)<

46、;/p><p>　　由(1) (2)可解得：．</p><p>　　∴所求橢圓C的方程為：．</p><p>　　(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)，，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，</p><p><b>　　∴．</b></p><p>　　設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m

47、≠0)，</p><p><b>　　代入橢圓：．</b></p><p><b>　　顯然．</b></p><p>　　∴﹣＜m＜且m≠0．</p><p>　　由上又有：＝m，＝．</p><p>　　∴|AB|＝||＝＝．</p><p>　　

48、∵點P(2，1)到直線l的距離表示為：．</p><p>　　∴SABP＝d|AB|＝，</p><p>　　當＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時，(SABP)max＝．</p><p>　　此時直線l的方程＝﹣</p><p>　?。?）利用參數(shù)方程思想解題</p><p>　　例7：與軸正向交于點，若這個橢圓上總存

49、在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍．</p><p>　　分析：∵、為定點，為動點，可以點坐標作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點坐標的一個等量關(guān)系，再利用坐標的范圍建立關(guān)于、、的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程．</p><p>　　解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，，∵，∴，即，解得或，</p><p>　　∵　∴（舍去），，又

50、</p><p><b>　　∴，∴，又，∴．</b></p><p>　　說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使．如何證明？當題目的條件和問題轉(zhuǎn)化時，依然可用參數(shù)方程思想來解答，把結(jié)果逆推即可.</p><p>　　3.3運用方程思想解函數(shù)題</p><p>　　3.3.1方程思想在高考題中的應用</

51、p><p>　　對于大多數(shù)的高考生而言，高考的最后一道壓軸題是最令人頭痛最令人費解的，也是得分率最低的一題.最后一道函數(shù)題通常是跟方程聯(lián)系在一起，所以如何利用方程思想解函數(shù)方程，是高考時與別人拉開距離的重中之重.下面就以茂名的模擬高考中最后一題作為分析.</p><p>　　例8：已知函數(shù)，，與軸的一個交點為（異于原點),與軸的交點為，在點處的切線為，在點處的切線為，//.</p>

52、<p><b>　　求的值；</b></p><p>　　已知實數(shù),求函數(shù)，的最小值；</p><p>　　令，給定<，對于兩個大于1的正數(shù)，存在實數(shù)滿足：，，并且使得不等式 </p><p>　　<恒成立，求實數(shù)的取值范圍.</p

53、><p>　　解:（1）圖象與軸異于原點的交點，的圖像與軸的交點</p><p>　　由題意可得，即，所以</p><p>　　令，在時，，所以在上單調(diào)遞增，，圖象的對稱軸，拋物線開口向上</p><p><b>　?、佼敿磿r，</b></p><p><b>　?、诋敿磿r，</b&g

54、t;</p><p><b>　?、郛敿磿r，</b></p><p>　　，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，>0</p><p><b>　?、佼?，有></b></p><p><b>　　<，得，同理</b></p><p>　　

55、所以由的單調(diào)性知從而有<，符合題設(shè)</p><p>　?、诋敃r，，，由的單調(diào)性知，所以，與題設(shè)不符</p><p>　?、郛敃r，同理可得得，與題設(shè)不符</p><p><b>　　綜上所述可得：</b></p><p>　　分析：此題知識點全面，首先要掌握基礎(chǔ)知識，對于函數(shù)中的方程，要分類討論充分利用不等式的性質(zhì)，

56、對于復雜的在題目中反復用的未知數(shù)整體可用具體一個字母代替.</p><p>　　3.3.2方程思想在三角函數(shù)中的運用</p><p>　　例9：已知，求的值.</p><p>　　解析：首先觀察已知條件和所求式子，發(fā)現(xiàn)它們有一定的相似性，只是分子分母中的A和B換過來而已.根據(jù)，可設(shè)，那么，.那么函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為方程式，把所設(shè)代入三角函數(shù)式中得：，通過整理方程得：，故

57、，即.故其實所求式子與條件式子是同樣的，其值都是等于1.</p><p>　　看來，運用方程思想，解題難度明顯降低了！</p><p>　　3.4運用函數(shù)方程思想解函數(shù)題</p><p>　　函數(shù)方程的定義 含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程.如、、、等.其中是未知函數(shù)</p><p>　　3.4.1函數(shù)方程的幾種解法</p>&l

58、t;p>　　(1)代換法（或換元法）</p><p>　　把函數(shù)方程中的自變量適當?shù)匾詣e的自變量代換（代換時應注意使函數(shù)的定義域不會發(fā)生變化），得到一個新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)</p><p><b>　　（2）待定系數(shù)法</b></p><p>　　當函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項式時，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得</p>

59、<p><b>　?。?）迭代法</b></p><p>　　由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過n次迭代得到函數(shù)方程的解法</p><p><b>　　（4）柯西法</b></p><p>　　定理 若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足、則</p><p>　　3.4.2幾個重要的二元函數(shù)方程

60、</p><p>　　在f(x)單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解</p><p>　　例10：設(shè)上是連續(xù)的且恒不等于0，求函數(shù)方程</p><p>　　(1) 的解.</p><p>　　解：由數(shù)學歸納法易知 </p><p><b>　　特別，取，則可

61、得</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　在上式中取，可得， 在(1)式中，取，可得</p><p>　　因為我們假設(shè)不恒為0，所以 .在(2)式中，取，則可得(m為正整數(shù))</p><p>　　在(1)式中，取，則可得 </p><p>　　所以，對

62、任意的有理數(shù)，.</p><p>　　又因有理數(shù)是實數(shù)的稠密子集，且上連續(xù)，所以</p><p>　　若，則 (3)</p><p>　　例11：設(shè)在正實數(shù)域上有定義，連續(xù)且不恒等于0，試求函數(shù)方程</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b&g

63、t;　　的解.</b></p><p>　　解：由數(shù)學歸納法易知，對所有的正實數(shù)；</p><p>　　特別，取時，可知 (5)</p><p>　　所以，由(4)式可知</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此，對于任意的， .</p>&

64、lt;p>　　取定，對任意的，存在，使得； .</p><p><b>　　令 ，則.</b></p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　這是函數(shù)方程(＊)在整個正實數(shù)上連續(xù)時，唯一的解.</p><p>　　例12：設(shè)在實數(shù)上有定義，連續(xù)且不恒為0，求方程式</p

65、><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　的解？</b></p><p>　　解：任取，對任意的，存在</p><p><b>　　使得，(可取，)</b></p><p>　　將此代入(7)式可得</p><p&

66、gt;<b>　　令，則</b></p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　因為在上連續(xù)上連續(xù).</p><p>　　故由例一可知，(8)有唯一的解</p><p>　　，(是一個唯一固定的常數(shù))，.</p><p><b>　　.</b

67、></p><p>　　故，令，則 (9)</p><p>　　【注】：如在例三中，不要求為連續(xù)函數(shù)，則解未必是唯一的.</p><p><b>　　例如函數(shù)</b></p><p><b>　　(10)</b></p><p>　　不難看出它也是

68、(7)的解.</p><p>　　由此可見：方程思想在解決具體數(shù)學問題時起著不可小視的作用, 其適用的范圍相較廣，別是在處理中學數(shù)學問題時, 幾乎可運用于中學數(shù)學的各個部分, 這從前面列舉的各個例子中可以看到, 至于在解析幾何、立體幾何等不同數(shù)學分支中, 許多問題最終都是可以通過建立方程式, 運用方程思想來解決.</p><p>　　3.5運用方程思想解決最值問題</p>&

69、lt;p>　　近幾年初中數(shù)學競賽中, 經(jīng)常出現(xiàn)最值問題, 考慮到構(gòu)造方程, 利用方程思想是解決有關(guān)最值問題的良好途徑.</p><p>　　例13：已知實數(shù)滿足 求的最大值和最小值.</p><p><b>　　解：令，則</b></p><p><b>　　所以可變式為：</b></p><p

70、><b>　　去括號整理得：</b></p><p>　　因為x是不為0的實數(shù)</p><p><b>　　所以有：</b></p><p><b>　　整理即得：</b></p><p><b>　　所以可解得：即</b></p>&

71、lt;p>　　故的最大值是，的最小值是</p><p>　　點評分析：要求的最值，題中沒有直接給出關(guān)于x、y的等式，但給出了聯(lián)系x、y的方程，所以可設(shè)參數(shù)k,溝通已知和未知的聯(lián)系，這時問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髃值最值的問題了，利用根的判斷定理可解出來.這是解題的關(guān)鍵.</p><p>　　例14：（北京市東城區(qū)高三綜合復習）已知函數(shù)的最大值為,最小值為，則+的值為？</p>&l

72、t;p>　　解析：首先觀察題目，我們可以對變形，，那么如何求最大值、最小值呢？如果單獨求的話，似乎比較難這時我們可以利用方程思想：令，此時，，所以+的值為2</p><p>　　主要是巧妙設(shè)元代替，如果單獨算出最大最小值，不僅方法難，精確度也小.可見利用方程思想的巧妙性.</p><p>　　3.6微分線性方程思想求解矩陣的特征值和特征向量</p><p>　

73、　假設(shè)是一個常數(shù)矩陣，使得關(guān)于的線性代數(shù)方程組具有非零解的常數(shù)稱為的一個特征值而非零解則稱為的對應于特征值的特征向量次多項稱為的特征多項式，次代數(shù)方程稱為的特征方程.</p><p>　　例15：試求矩陣的特征值和對應的特征向量.</p><p>　　解 ： A的特征值就是特征方程的根.解之得到，對應于特征值的特征向量必須滿足線性方程組因此，滿足方程組</p><p&

74、gt;　　所以對應任意常數(shù) ，有是對應于的特征向量類似地，對應于</p><p>　　的特征向量為其中是任意常數(shù)</p><p><b>　　4.結(jié)束語</b></p><p>　　方程思想方法與方程知識的獲得是相輔相成的，方程思想是對方程知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對數(shù)學方程規(guī)律的理性認識，能夠使得學生更加深刻地領(lǐng)會方程所包含的思

75、想方法及由此形成的數(shù)學知識體系，切實加強學生的創(chuàng)新和實踐能力.本文通過方程思想的運用說明方程思想解題方面的巧妙性。</p><p><b>　　致謝辭</b></p><p>　　在論文寫作過程中，遇到諸多困難，在這里我非常感謝我的論文指導老師-**教授的悉心指導，是他一次又一次的對我的論文提出不少改正意見，使得我的論文順利完成.沒有最好,只有更好，我將不斷的去努力，

76、改變現(xiàn)狀的不足，也希望閱讀此篇論文的老師、同學多多指正，我將不勝感激！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 張娟.初中學生對方程思想的理解[D].華東師范大學,2007.</p><p>　　[2] 張奠宙，張廣祥.中學代數(shù)研究[M]. 北京:教育出版社, 2006.</p><p>

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78、標高考命題研究中心北京天利考試信息網(wǎng)廣東省各市模擬試題[M].拉薩：西藏人民出版社 , 2012.</p><p>　　[7] 嚴麗香. 函數(shù)與方程思想知多少(上)[J] .數(shù)學教學通訊 ,2010，12（26）：12-34.</p><p>　　[8] 石含剛. 用方程思想、換元法化難為易解一道高考題[J]. 中學數(shù)學研究，2006，11（1）：24-30.</p><

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80、,(08):9-13.</p><p>　　Equation Theorist of their problem-solving and magical effect</p><p>　　Abstract: This article first introduces the historical development of its ideological value of the equ

81、ation, and then study the use of the equation thinking, the use of include: the equation thinking in algebra, geometry (in the exam, college entrance examination), function (general functions, trigonometric functions, fu

82、nction equation), the most value, eigenvalue eigenvectors of problem solving, the equation thinking reveals an important position in the secondary and even university mathematics</p><p>　　Keywords: equation