中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些解題思想和方法的研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些解題思想和方法的研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)

2、用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：數(shù)學(xué)思想方法對(duì)人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過

3、程中的思維活動(dòng)，起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。</p><p>　　為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本文大致的介紹了中學(xué)數(shù)學(xué)基本解題方法：配方法、數(shù)形結(jié)合法、化歸法、構(gòu)造法以及數(shù)學(xué)的基本思想。</p><p>　　精

4、通解題方法，可以夯實(shí)解題基本功，增強(qiáng)解題技巧，提高解題效率，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的熟練掌握。</p><p>　　關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；解題；方法；思想；數(shù)學(xué)思維。</p><p>　　Some of the middle school mathematics problem-solving thoughts and methods of research</p><p>　

5、　Abstract:The method of mathematics plays the role of guidance and regulation for people to learn and applied mathematics knowledge to solve the problem in the process of thinking activity. The thought of mathematics is

6、the soul of mathematics. Knowledge is foundation, methods is means, thought is deepening. Enhance mathematics quality core is to improve students' mathematical method and mathematical thought understanding and using.

7、 Mathematics quality integrated embodiment is "ability". In order</p><p>　　Key words: middle school mathematics; Problem solving; method; thought; the thought of mathematics.</p><p>&l

8、t;b>　　目錄</b></p><p>　　1 中學(xué)數(shù)學(xué)的解題方法和思想1</p><p>　　1.1 中學(xué)數(shù)學(xué)常見的解題方法和思想1</p><p>　　1.2 數(shù)學(xué)解題方法和思想的培養(yǎng)2</p><p><b>　　2 化歸法3</b></p><p>　　

9、2.1 化歸法的概念3</p><p>　　2.2 數(shù)學(xué)中的化歸思想3</p><p>　　2.3 化歸法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)解題中的應(yīng)用5</p><p><b>　　3 數(shù)形結(jié)合6</b></p><p>　　3.1 數(shù)形結(jié)合的思想方法6</p><p>　　3.2 數(shù)形結(jié)合

10、法在解題中的應(yīng)用7</p><p><b>　　4 構(gòu)造法9</b></p><p>　　4.1 構(gòu)造法的思想方法9</p><p>　　4.2 構(gòu)造法證明不等式11</p><p><b>　　5 換元法12</b></p><p>　　5.1 換元法在

11、解方程中的巧用12</p><p>　　6 數(shù)學(xué)思維14</p><p>　　6.1 數(shù)學(xué)的直覺思維14</p><p>　　6.2 如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維15</p><p><b>　　總 結(jié)17</b></p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p>

12、<p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b></p><p>　　1 中學(xué)數(shù)學(xué)的解題方法和思想</p><p>　　1.1 中學(xué)數(shù)學(xué)常見的解題方法和思想</p><p>　　在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)解題思想和方法有很多，最常見的有數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造思想、化歸思想、換元思想、集合映射思想、邏輯分類思想等等。又有人稱之為數(shù)形結(jié)合方法、構(gòu)造

13、法、換元法、參數(shù)法等；也有人干脆合二為一，稱數(shù)形結(jié)合思想方法、構(gòu)造思想與方法。時(shí)而思想變成了方法，時(shí)而方法又成了思想。其實(shí)，并非人們不知道思想和方法的區(qū)別，這正說明了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法關(guān)系密切。但是，無(wú)論二者關(guān)系如何密切，仍為不同的體系。</p><p>　　方法屬于方法論的范疇，是在思想指導(dǎo)下，進(jìn)行實(shí)踐操作的各種手段和經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，方法是指向?qū)嵺`的，是理論用于實(shí)踐的中介，方法是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。</p

14、><p>　　思想屬于世界觀的范疇，是人們對(duì)自然界、人類社會(huì)和思維發(fā)展各領(lǐng)域認(rèn)識(shí)的客觀反映。常常指導(dǎo)人們的實(shí)踐活動(dòng)。思想是相應(yīng)方法的精神實(shí)質(zhì)與理論依據(jù)。</p><p>　　所以，數(shù)學(xué)解題思想就是從數(shù)學(xué)問題的解決過程中提煉出來(lái)，并能反應(yīng)解題規(guī)律的文字性理論，是對(duì)加工處理問題信息時(shí)所運(yùn)用的方法、所采取的手段以及思維活動(dòng)的本質(zhì)反映。它對(duì)問題解決有指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)解題方法對(duì)解題實(shí)踐也有一定的指導(dǎo)作用，

15、但它不及數(shù)學(xué)解題思想抽象、概括、深刻，指導(dǎo)我們解題實(shí)踐活動(dòng)的范圍也不及解題思想廣泛。數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、邏輯分類等等都是解題方法，不能作為解題思想。</p><p>　　每道數(shù)學(xué)題不是只局限于一種解題方法，有時(shí)候我們會(huì)遇到一題多解，在這種情況下，利用簡(jiǎn)單的解題方法可以讓我們?cè)诮忸}過程中節(jié)約很多時(shí)間，靈活運(yùn)用這些解題方法可以把問題變得簡(jiǎn)單化。如下面這個(gè)例子，可以想到用均值換元法來(lái)解題，但我們也可以將它看成是一個(gè)幾何問題

16、。</p><p>　　例1.1：實(shí)數(shù):、、滿足 ，求的最小值。</p><p>　　方法1：由想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)，，，代入可求。</p><p>　　解：由，設(shè)，，，其中，</p><p><b>　　∴ ＝＝</b></p><p><b>　　=<

17、/b></p><p><b>　　所以的最小值是。</b></p><p>　　方法2：利用數(shù)形結(jié)合法，將方程看作空間內(nèi)的一個(gè)平面方程，則就是原點(diǎn)到這個(gè)平面距離的平方。若把這部分圖形拿出來(lái)分析，也就是在一個(gè)四棱錐中，求頂點(diǎn)到地面的距離，最后求得最小值是。</p><p>　　數(shù)學(xué)問題的解決就是人們感知問題情景呈現(xiàn)的各種信息后，把問題信息

18、與認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，尋找問題信息與大腦中認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，從而改變大腦認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。所以問題解決的過程中包含著兩種活動(dòng)。第一種活動(dòng)，就是加工信息所采取的實(shí)踐操作活動(dòng)，即采取哪些方法和手段進(jìn)行信息加工。第二種活動(dòng)，是信息加工的思維活動(dòng)。即支配我們尋找加工信息的方法、策略的內(nèi)在思維活動(dòng)。所以，數(shù)學(xué)解題思想就是對(duì)這兩種活動(dòng)客觀的、內(nèi)在的、本質(zhì)的反映。我們認(rèn)為第一種活動(dòng)的規(guī)律是化歸思想，第二種活動(dòng)的規(guī)律是尋舊思想。所以，數(shù)學(xué)解題思想就是化歸

19、尋舊思想。</p><p>　　1.2 數(shù)學(xué)解題方法和思想的培養(yǎng)</p><p>　　中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學(xué)基本概念和各知識(shí)點(diǎn)所代表的實(shí)體同抽象的數(shù)學(xué)思想方法之間的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)實(shí)體內(nèi)部各單元之間相互滲透和維系的關(guān)系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對(duì)的數(shù)學(xué)思想方法，即對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的理解。數(shù)學(xué)思想方法確立后，便超越了具體的數(shù)學(xué)概念和內(nèi)容，只以抽象的形式

20、而存在，控制及調(diào)整具體結(jié)論的建立、聯(lián)系和組織，并以其為指引將數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地運(yùn)用到一切適合的范疇中去解決問題。數(shù)學(xué)思想方法不僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作角，而且會(huì)對(duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學(xué)領(lǐng)域向非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的遷移，實(shí)現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍。</p><p>　　1、結(jié)合初中數(shù)學(xué)大綱，就初中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究。首先，要通過對(duì)教材完整的

21、分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數(shù)學(xué)方法—提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學(xué)習(xí)這一章知識(shí)的重點(diǎn)，只要我們學(xué)會(huì)了這些方法，按知識(shí)──方法──思想的順序提煉數(shù)學(xué)思想方法，就能運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q成千上萬(wàn)分解多項(xiàng)式因式的問題。</p><p&g

22、t;　　2、以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，將數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)地滲透入教學(xué)計(jì)劃和教案內(nèi)容之中。教學(xué)計(jì)劃的制訂應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的綜合考慮，要明確每一階段的載體內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、展開步驟、教學(xué)程序和操作要點(diǎn)。數(shù)學(xué)教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則以至單元結(jié)構(gòu)等教學(xué)過程進(jìn)行滲透思想方法的具體設(shè)計(jì)。要求通過目標(biāo)設(shè)計(jì)、創(chuàng)設(shè)情境、程序演化、歸納總結(jié)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在知識(shí)的發(fā)生和運(yùn)用過程中貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的一體化。</p&g

23、t;<p>　　3、重視課堂教學(xué)實(shí)踐，在知識(shí)的引進(jìn)、消化和應(yīng)用過程中促使學(xué)生領(lǐng)悟和提煉數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過程也是其思想方法產(chǎn)生的過程。在此過程中，要向?qū)W生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創(chuàng)設(shè)使認(rèn)知主體與客體之間激發(fā)作用的環(huán)境和條件，通過對(duì)知識(shí)發(fā)生過程的展示，使學(xué)生的思維和經(jīng)驗(yàn)全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，從而主動(dòng)構(gòu)建科學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)融匯成一體，最終形成獨(dú)立

24、探索分析、解決問題的能力。</p><p><b>　　2 化歸法</b></p><p>　　2.1 化歸法的概念</p><p>　　數(shù)學(xué)是探求、認(rèn)識(shí)和刻劃自然規(guī)律的重要工具。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，解題的訓(xùn)練占有十分重要的地位。它既是掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的必要手段，也是培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)能力的重要途徑。解題的實(shí)質(zhì)就是把數(shù)學(xué)的一般原理運(yùn)用于習(xí)題

25、的條件或條件的推論而進(jìn)行的一系列推理，直到求出習(xí)題解答為止的過程。這一過程是一種復(fù)雜的思維活動(dòng)的過程。解決問題的過程，實(shí)際是轉(zhuǎn)化的過程，即對(duì)問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(gè)（些）已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。如抽象轉(zhuǎn)化為具體，未知轉(zhuǎn)化為已知，立體轉(zhuǎn)化為平面，高次轉(zhuǎn)化為低次，多元轉(zhuǎn)化為一元，超越運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算等等。這就是在數(shù)學(xué)方法論中我們學(xué)習(xí)到的一種新的思維方法--化歸，這種方法與我們常見的分析和綜合、抽象和概括、歸納和演繹

26、、比較和類比等思想方法不同，“化歸”方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是普遍存在，到處可見，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)。如在引入“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，可把三角形的三個(gè)角剪下來(lái)，可以拼成一個(gè)平角，這就是轉(zhuǎn)化。</p><p>　　所謂“化歸”從字面上可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)。在數(shù)學(xué)方法中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學(xué)家在解決問題的過程中，不是對(duì)問題進(jìn)行直接攻擊，而是把待解決的問題進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化，直到歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的

27、問題中去，最終求獲原問題解答的一種手段和方法。張奠宙、過伯祥著的《數(shù)學(xué)方法論稿》中指出：“所謂化歸方法，是將一個(gè)問題A進(jìn)行變形，使其歸結(jié)為另一個(gè)已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就能解決了”。</p><p>　　化歸思想方法被古住今來(lái)許多科學(xué)家、實(shí)際工作者所重視，十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾經(jīng)過長(zhǎng)期思考，創(chuàng)造了解析幾何理論，他的理論基礎(chǔ)就是利用坐標(biāo)系把帶有兩個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程看成平面上的一條曲線，從而利用代

28、數(shù)方法研究幾何問題。實(shí)際上，笛卡爾正是運(yùn)用化歸的思想方法才創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。</p><p>　　2.2 數(shù)學(xué)中的化歸思想</p><p>　　“化歸”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法等等，但有一個(gè)原則是和原來(lái)的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應(yīng)是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。因此“化歸”的方向應(yīng)是由未知到已知，由難到易，由繁到簡(jiǎn)，由一般到特殊。而“化歸”的思想實(shí)

29、質(zhì)就在于不應(yīng)以靜止的眼光，而應(yīng)以運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和制約的觀點(diǎn)去看待問題。即應(yīng)當(dāng)善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化，這實(shí)際上也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中辨證唯物主義觀點(diǎn)的生動(dòng)體現(xiàn)。</p><p><b>　　1、.映射法</b></p><p>　　映射法是用以實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法，所謂映射，是指在兩類數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立某種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”。利

30、用映射法解決問題的過程為：首先通過映射將原來(lái)的問題轉(zhuǎn)化為問題A，然后，在求得問題A的解答以后，再通過逆映射求得原問題的解。映射法是實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法，如由于建立了直角坐標(biāo)系，使平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)，曲線與方程建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。此外復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)、向量也建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把向量引進(jìn)了代數(shù)，使復(fù)數(shù)的代表運(yùn)算可用向量的幾何運(yùn)算來(lái)進(jìn)行。</p><p><b>　　恒等變形法

31、</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)解題中，恒等變形占有十分重要的位置，特別是在求解方程或證明一些整除性問題時(shí)，利用恒等變形以實(shí)現(xiàn)由未知向已知的化歸，使我們比較容易地求得問題的解。</p><p>　　例2.1：解下列方程</p><p>　　分析：解上面兩個(gè)方程，先利用恒等變形把它化為容易求解的方程。</p><p><b

32、>　　可變?yōu)椤?lt;/b></p><p>　　例2.2：求證（）能被6整除。</p><p>　　分析：把原式進(jìn)行恒等變形，得到=從而，只需證明三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積能被6整除即可，而這個(gè)問題是大家熟知的。</p><p>　　轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想方法體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)

33、與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化等等。轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。目標(biāo)簡(jiǎn)單化、和諧統(tǒng)一性、目標(biāo)具體化、標(biāo)準(zhǔn)形式化和低層次化都是化歸的原則；各映射法、分割法和變形法都是轉(zhuǎn)化的策略；一般化與特殊化的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化等都是化歸的基本策略。正如前面所給出的，實(shí)現(xiàn)化歸的方法是多種多樣的。</p><p>　　2.3 化歸法在中學(xué)數(shù)

34、學(xué)教學(xué)解題中的應(yīng)用</p><p>　　一、將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識(shí)</p><p>　　將未知的問題向已知的知識(shí)轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識(shí)和方法解決新的問題。這種轉(zhuǎn)化經(jīng)?？蛇_(dá)到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題有時(shí)也可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題

35、，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等。</p><p>　　例2.3：求函數(shù)的最值</p><p><b>　　分析：引入代換，則</b></p><p>　　將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題，極易求解。</p><p><b>　　解：設(shè),則</b></p><p&g

36、t;<b>　　∴</b></p><p><b>　　∵ </b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　且當(dāng)t=即x=2kπ+時(shí)，ymax=+(k為整數(shù))</p><p>　　當(dāng)t=?1即x=或kπ時(shí)，ymin=?1(k為奇數(shù))</p>

37、<p>　　二、將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為簡(jiǎn)單問題。</p><p>　　復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)解題中很常規(guī)的思考方法。若能恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，可使問題迅速獲解。如果我們引導(dǎo)學(xué)生注意分析問題，對(duì)問題進(jìn)行逆向思考，不僅可以加深學(xué)生對(duì)可逆知識(shí)的理解，而且可以提高他們思維的靈活性。</p><p>　　例2.4：求的最大值</p><p>　　分析：該題若運(yùn)用公式展開相當(dāng)繁鎖，難

38、以得出結(jié)果，若做以下轉(zhuǎn)化，則非常巧妙。</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　這樣的最大值即可得到。</p><p><b>　　三、數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化</b></p><p>　　注意數(shù)形的相互

39、轉(zhuǎn)化，使數(shù)形達(dá)到和諧的統(tǒng)一，以增強(qiáng)直觀性和形象性及深刻了解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，便于發(fā)現(xiàn)和解決實(shí)質(zhì)問題。某些代數(shù)問題、三角問題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論。</p><p>　　例2.5：求函數(shù)f(x)=的最大值。</p><p>　　分析：將函數(shù)式變形，得：</p><p>　　

40、上式可看作“在拋物線y=x2上的點(diǎn)P(x,x2)到點(diǎn)A(3,2)，B(0,1)的距離之差”</p><p>　　如圖：由知，當(dāng)P在AB的延長(zhǎng)線上的P0處時(shí)，f(x)取到最大值|AB|</p><p>　　所以fmax(x)=。 圖（1）</p><p><b>　　3 數(shù)形結(jié)合</b></p&

41、gt;<p>　　3.1 數(shù)形結(jié)合的思想方法</p><p>　　數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。</p><p>　　所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的

42、思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。</p><p>　　數(shù)形結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)重要的基本思想之一。它不僅是一種好的解題方法，能使學(xué)生在運(yùn)用它解題時(shí)，獲得意想不到的效果，而且可以培養(yǎng)學(xué)生思維能力，可以幫助提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)

43、問題，分析問題，解決問題的能力。形與數(shù)的結(jié)合是一種重要的解題策略，它能使學(xué)生對(duì)問題易于理解，易于聯(lián)想，易于推測(cè)，對(duì)解決問題，會(huì)起到啟發(fā)、簡(jiǎn)化或驗(yàn)證的作用。</p><p><b>　　例3.1：設(shè)</b></p><p><b>　　求</b></p><p>　　分析：分別先確定集合A，B的元素，</p>

44、<p>　　， 圖（2）</p><p>　　然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來(lái)，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案：</p><p><b>　　，（公共部分）</b></p><p>　　， （整個(gè)數(shù)軸都被覆蓋）</p><p>　　

45、，(除去重合部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　， (除去覆蓋部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　上面的例子，我們?nèi)糁庇^地去求，很難得出正確答案，但是一旦和數(shù)軸結(jié)合起來(lái)，這些幾何問題就可以迎刃而解。</p><p>　　3.2 數(shù)形結(jié)合法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決

46、集合的問題。</p><p>　　利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題。一般用圓來(lái)表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒有公共元素。若利用韋恩圖法則能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題。例如：</p><p>　　例3.2：有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時(shí)參加數(shù)、理 小組的8人，同時(shí)參加數(shù)、化小組的6人，

47、同時(shí)參加理、化小組的7人，問：同時(shí)參加數(shù)、理、化小組的有多少人？</p><p>　　分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如圖1），則三圓</p><p>　　的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用n表示集合的元素，則有：</p><p><b>　　即：</b></p><p>　　∴，即同

48、時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人。</p><p><b>　?。▓D3）</b></p><p>　　二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題。</p><p>　　利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題。利用二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程f(x)=0的實(shí)根，根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)情況就可以確定方程f(x)=0的實(shí)根的情況，于是我

49、們利用函數(shù)y=f(x)的圖像可以直觀解決問題。例如：</p><p>　　例3.3：、求不等式的解集</p><p>　　分析：我們先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)</p><p>　　的圖像草圖，拋物線開口向下，</p><p>　　與軸沒有交點(diǎn)，很明顯，無(wú)論取任何值時(shí)</p><p><b>　　都有。即,∴<

50、/b></p><p>　　的解集為空集。而的解集為全體實(shí)數(shù)。 圖（4）</p><p>　　因此，我們要求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點(diǎn)情況，便可直觀地看出所求不等式地解集。</p><p>　　利用數(shù)形結(jié)合思想比較函數(shù)值的大小。</p><p>　　一些數(shù)值大小的比較

51、，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進(jìn)行比較．例如：</p><p>　　例3.4：試判斷三個(gè)數(shù)間的大小順序。</p><p>　　分析：這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)函數(shù)： 在時(shí)，</p><p>　　所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出這三個(gè)函數(shù)的圖像(圖3，從圖像可以直觀地看出當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)的位置， 從而可得出結(jié)論：。</p>&l

52、t;p><b>　?。▓D5）</b></p><p><b>　　4 構(gòu)造法</b></p><p>　　4.1 構(gòu)造法的思想方法</p><p>　　數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，離不開解題。美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯也曾說過“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問題和解，問題才是數(shù)學(xué)的心臟”。在數(shù)學(xué)教育中，解題活動(dòng)可以說是最基本的活動(dòng)形式。一

53、個(gè)好的問題的解決方式往往有多種。用構(gòu)造法解題是一種即古老又年輕的科學(xué)方法，如歐拉“七橋問題”的解決，歷史上許多數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學(xué)中的難題。</p><p>　　“構(gòu)造法”即構(gòu)造性解題方法，是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論的特征，以問題中的數(shù)學(xué)元素為“元件”，數(shù)學(xué)關(guān)系為“框架”，構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)模型，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到簡(jiǎn)便解決的方法。這里所說的“元件”可以是函數(shù)、數(shù)列、向量、曲線定義、幾何圖形、向量、

54、復(fù)數(shù)與命題等，甚至于構(gòu)造類比問題使問題轉(zhuǎn)化，并得到明確解決，構(gòu)造“元件”是手段，轉(zhuǎn)化問題是策略，解出數(shù)學(xué)問題是目的。在中學(xué)數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解題不僅能提高學(xué)生的解題 能力，更重要的是通過這種解題方法的運(yùn)用可豐富學(xué)生的想像力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維能力。應(yīng)用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵有二：一是要有明確的方向，即要明確為了解決什么問題而建立一個(gè)相應(yīng)的構(gòu)造；二是要弄清條件 的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯整合。</p><

55、p>　　用構(gòu)造法解題時(shí)，被構(gòu)造的對(duì)象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對(duì)應(yīng)、數(shù)學(xué)模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實(shí)現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí)，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點(diǎn)，以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案，實(shí)現(xiàn)構(gòu)造。</p><p><b>　　一、構(gòu)造

56、輔助數(shù)與式</b></p><p>　　在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，利用矛盾的對(duì)立統(tǒng)一性，充分揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，探索構(gòu)造適宜的數(shù)或式，來(lái)架設(shè)解題的通道。</p><p>　　例4.1：當(dāng)時(shí)，求的值.</p><p>　　解：由條件得 所以</p><p><b>　　構(gòu)造的因式</b></p>

57、;<p><b>　　y===</b></p><p><b>　　==1</b></p><p><b>　　二、構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解

58、題手段。構(gòu)造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過程中，應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標(biāo)。</p><p>　　例4.2：證明：如果，那么</p><p><b>　　證明：構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　易證在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增</p><p><

59、;b>　　∴+</b></p><p>　　==lg1 = 0，</p><p><b>　　∴ 即：，</b></p><p>　　又是增函數(shù)，∴ 即。</p><p><b>　　三、構(gòu)造方程</b></p><p>　　方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一

60、，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應(yīng)用題，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等即屬此法。構(gòu)造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點(diǎn)，運(yùn)用方程觀點(diǎn)解題可歸結(jié)為3個(gè)步驟：</p><p>　　A . 將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；</p><p>　　B. 解這個(gè)方

61、程或討論這個(gè)方程的有關(guān)性質(zhì)（常用判別式與韋達(dá)定理），得出相應(yīng)結(jié)論；</p><p>　　C. 將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問題的結(jié)論。</p><p>　　例4.3：已知，求證：</p><p>　　分析：設(shè)法構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使以其系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)的面目出現(xiàn)，再由得到不等式。</p><p>　　設(shè)， 易證，再求得，就是方程的兩個(gè)實(shí)根,由&l

62、t;/p><p>　　四、構(gòu)造幾何圖形（體）</p><p>　　例4.4：求函數(shù)的值域</p><p><b>　　解析：</b></p><p>　　其幾何意義是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（，0）到兩定點(diǎn)</p><p>　　M（2，3）和 N（5，-1）的距離之和（如圖6）為求其值域只要求其最值即可，<

63、/p><p>　　知當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線（即P在線段MN上）時(shí)， 圖（6）</p><p>　　取得最小值，，無(wú)最大值，</p><p>　　故得函數(shù)的值域?yàn)?。</p><p>　　4.2 構(gòu)造法證明不等式 </p><p>　　在我們的學(xué)習(xí)過程中，常遇到一些不

64、等式的證明，看似簡(jiǎn)單，但卻無(wú)從下手，很難找到切入點(diǎn)，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時(shí)我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，在已學(xué)過的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)與不等式相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。</p><p><b>　　構(gòu)造向量證明不等式</b></p><p><b>　　例4.5：求證：<

65、/b></p><p>　　簡(jiǎn)析與證明：不等式左邊的特點(diǎn)，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標(biāo)表示，</p><p>　　將左邊看成模的平方，又,為使為常數(shù)，</p><p>　　根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造</p><p><b>　　于是=</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt

66、;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　構(gòu)造數(shù)列證明不等式</b></p><p>　　例4.6：若，求證：。</p><p>　　證明：構(gòu)造數(shù)列，使其通項(xiàng)為</

67、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　∵=，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　即是遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，恒有</p><p><b>　　于是。</b></p>

68、<p>　　三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式</p><p>　　例4.7：已知|，，，求證：</p><p>　　簡(jiǎn)析與證明：原不等式即為：……①</p><p>　　將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當(dāng)，，時(shí)，恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù)，(－1＜a＜1)</p><p>　　若原不等式顯然成立。</p><p>

69、;　　若，則是a的一次函數(shù)，在上為單調(diào)函數(shù)</p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　∴，即。</b></p><p>　　此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式</p><p><b>　　兩式相加得：即。</b></p><p><

70、b>　　5 換元法</b></p><p>　　5.1 換元法在解方程中的巧用</p><p>　　在解題過程中，根據(jù)已知條件，引入一個(gè)或幾個(gè)新變量來(lái)替代原來(lái)的某些量，對(duì)新變量求出結(jié)果后，返回去再求原變量的結(jié)果，這種方法叫做換元法。恰當(dāng)?shù)負(fù)Q元會(huì)使問題向著更熟悉、簡(jiǎn)單或容易的方向轉(zhuǎn)化。</p><p><b>　　整體換元</b&

71、gt;</p><p>　　例5.1：已知：，求的值。</p><p>　　解：設(shè)，則與已知聯(lián)立解得，。</p><p>　　由，解得或，∴原式的值為0或2。</p><p><b>　　三角換元</b></p><p>　　例5.2：解不等式。</p><p>　　解：設(shè)

72、，則原不等式可化為，即，解得，</p><p><b>　　∴，∴，</b></p><p>　　∴原不等式的解集為。</p><p><b>　　和差換元</b></p><p>　　例5.3：求函數(shù)的最大值。</p><p><b>　　解：設(shè)則由∴</b

73、></p><p><b>　　由得，</b></p><p><b>　　∴=，</b></p><p><b>　　故當(dāng)時(shí)，最大值為。</b></p><p><b>　　增量換元</b></p><p><b>

74、;　　例5.4：,,</b></p><p><b>　　求證：。</b></p><p><b>　　證明 令，又設(shè)，</b></p><p><b>　　，其中，</b></p><p><b>　　∴，</b></p>&

75、lt;p><b>　　又，由上式得。</b></p><p><b>　　∴，原不等式得證。</b></p><p>　　五、換元法在初中解方程中運(yùn)用也很廣泛，其中在整式方程中：</p><p>　　例5.5：解方程 。</p><p>　　分析：這個(gè)方程的系數(shù)較大，如果利用公式法來(lái)解，運(yùn)算量

76、太大，利用換元法來(lái)解，可以將題目系數(shù)轉(zhuǎn)化得比較簡(jiǎn)單。</p><p>　　解：設(shè)，則原方程變形為：，</p><p><b>　　解得 。</b></p><p><b>　　則有 或 。</b></p><p>　　∴原方程的解為 。</p><p>　　在分式方程中

77、的巧用：</p><p>　　例5.6：解方程 </p><p>　　分析：通過換元法，把看做一個(gè)整體，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。</p><p>　　解：設(shè)，則原方程變形為 。</p><p><b>　　解得。</b></p><p><b>　　當(dāng)，解得 ；</b>

78、;</p><p><b>　　當(dāng)，解得 。</b></p><p>　　經(jīng)檢驗(yàn)：原方程的解為，。</p><p><b>　　6 數(shù)學(xué)思維</b></p><p>　　6.1 數(shù)學(xué)的直覺思維</p><p>　　所謂數(shù)學(xué)直覺思維，就是大腦基于有限的數(shù)據(jù)資料和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，

79、充分調(diào)動(dòng)一切與問題有關(guān)的顯意識(shí)和潛意識(shí)，在敏銳想象和迅速判斷有機(jī)結(jié)合下，從整體上單刀直入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一種思維方式。其實(shí)數(shù)學(xué)直覺思維也是一種很重要的思維形式。直覺思維是人類思維的重要形式，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)；直覺思維是未來(lái)的高科技信息社會(huì)中，能適應(yīng)世界新技術(shù)革命需要，具有開拓、創(chuàng)新意識(shí)的開創(chuàng)性人才所必有的思維品質(zhì)。培養(yǎng)直覺思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。這種思維的實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其結(jié)

80、構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷。直覺是人們自覺或不自覺思考時(shí)突然產(chǎn)生的創(chuàng)造性設(shè)想,縱觀人類科技進(jìn)步發(fā)展史，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺：歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公式就是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺思維的成功典范。因此直覺思維是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)的一個(gè)重要的組成部分。 在目前和今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神，是學(xué)科教學(xué)的

81、重要任務(wù)之一。</p><p>　　在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往過于強(qiáng)調(diào)學(xué)生要“言之有理，言之有據(jù)”，從而忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)，很少讓學(xué)生去感覺、去猜測(cè)，由于數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和系統(tǒng)性的特點(diǎn)，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，同時(shí)，數(shù)學(xué)教師由于長(zhǎng)期受演繹論證的訓(xùn)練，過多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展，也容易忽視直覺思維的存在和作用。在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴(yán)格化

82、、程序化。學(xué)生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對(duì)自己的直覺反而不覺得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來(lái)，學(xué)習(xí)的興趣沒有被調(diào)動(dòng)起來(lái)，得不到思維的真正樂趣。</p><p>　　直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn),從培養(yǎng)直覺思維的必要性來(lái)看,有以下三個(gè)主要特點(diǎn)：</p><p><b>　　簡(jiǎn)約性</b>

83、</p><p>　　直覺思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。</p><p><b>　　創(chuàng)造性</b><

84、/p><p>　　現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對(duì)象整體上的把握，不專意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的、發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無(wú)限擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。</p><p><b>　　自信力

85、</b></p><p>　　學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種：一種是教師的人格魅力，其二是來(lái)自數(shù)學(xué)本身的魅力。不可否認(rèn)情感的重要作用，但筆者的觀點(diǎn)是，興趣更多來(lái)自數(shù)學(xué)本身。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。相比其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個(gè)問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力

86、，從而更加相信自己的能力。</p><p>　　6.2 如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維</p><p>　　一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的?！睌?shù)學(xué)直覺是可以通過訓(xùn)練提高的。</p><p>　?。?)扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉</p><p&g

87、t;　　直覺不是靠“機(jī)遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出思維的火花的。</p><p>　　(2)滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)及審美觀念</p><p>　　直覺的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建瓴的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等。美感和美的意

88、識(shí)是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識(shí)，審美能力越強(qiáng)，則數(shù)學(xué)直覺能力也越強(qiáng)。</p><p><b>　　(3)重視解題教學(xué)</b></p><p>　　教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學(xué)生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來(lái)，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實(shí)施開放性

89、問題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個(gè)角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。</p><p>　　(4)設(shè)置直覺思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)</p><p>　　這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定,對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì),愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維,以免挫傷學(xué)生直覺思維的

90、積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo),解除學(xué)生心中的疑惑,使學(xué)生對(duì)自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感?！案杏X走”是教師經(jīng)常講的一句話，其實(shí)這句話里已蘊(yùn)涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應(yīng)該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學(xué)中明確的提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，從整體上分析問題的特征，重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)。</p><p><b>　　總 結(jié)</b></p>

91、;<p>　　數(shù)學(xué)解題思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學(xué)基本概念和各知識(shí)點(diǎn)所代表的實(shí)體同抽象的數(shù)學(xué)思想方法之間的相互關(guān)系。對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，根據(jù)個(gè)人知識(shí)水平不同他們所采取的解題思想與方法也會(huì)不同。這就要求教師在教授學(xué)生知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)他們發(fā)散性思維。</p><p>　　數(shù)學(xué)解題思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較

92、，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)解題思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)解題思想方法也還是對(duì)你起作用。</p><p>　　本文大致介紹了常用的幾種解題思想與方法，并且在一些例題中體現(xiàn)了各種解