中學數(shù)學中的一些解題思想和方法的研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　中學數(shù)學中的一些解題思想和方法的研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應

2、用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：數(shù)學思想方法對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的過

3、程中的思維活動，起著指導和調(diào)控的作用。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心就是提高學生對數(shù)學方法和數(shù)學思想的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。</p><p>　　為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本文大致的介紹了中學數(shù)學基本解題方法：配方法、數(shù)形結(jié)合法、化歸法、構(gòu)造法以及數(shù)學的基本思想。</p><p>　　精

4、通解題方法，可以夯實解題基本功，增強解題技巧，提高解題效率，促進對數(shù)學知識的熟練掌握。</p><p>　　關(guān)鍵詞：中學數(shù)學；解題；方法；思想；數(shù)學思維。</p><p>　　Some of the middle school mathematics problem-solving thoughts and methods of research</p><p>　

5、　Abstract:The method of mathematics plays the role of guidance and regulation for people to learn and applied mathematics knowledge to solve the problem in the process of thinking activity. The thought of mathematics is

6、the soul of mathematics. Knowledge is foundation, methods is means, thought is deepening. Enhance mathematics quality core is to improve students' mathematical method and mathematical thought understanding and using.

7、 Mathematics quality integrated embodiment is "ability". In order</p><p>　　Key words: middle school mathematics; Problem solving; method; thought; the thought of mathematics.</p><p>&l

8、t;b>　　目錄</b></p><p>　　1 中學數(shù)學的解題方法和思想1</p><p>　　1.1 中學數(shù)學常見的解題方法和思想1</p><p>　　1.2 數(shù)學解題方法和思想的培養(yǎng)2</p><p><b>　　2 化歸法3</b></p><p>　　

9、2.1 化歸法的概念3</p><p>　　2.2 數(shù)學中的化歸思想3</p><p>　　2.3 化歸法在中學數(shù)學教學解題中的應用5</p><p><b>　　3 數(shù)形結(jié)合6</b></p><p>　　3.1 數(shù)形結(jié)合的思想方法6</p><p>　　3.2 數(shù)形結(jié)合

10、法在解題中的應用7</p><p><b>　　4 構(gòu)造法9</b></p><p>　　4.1 構(gòu)造法的思想方法9</p><p>　　4.2 構(gòu)造法證明不等式11</p><p><b>　　5 換元法12</b></p><p>　　5.1 換元法在

11、解方程中的巧用12</p><p>　　6 數(shù)學思維14</p><p>　　6.1 數(shù)學的直覺思維14</p><p>　　6.2 如何培養(yǎng)數(shù)學直覺思維15</p><p><b>　　總 結(jié)17</b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p>

12、<p><b>　　參考文獻18</b></p><p>　　1 中學數(shù)學的解題方法和思想</p><p>　　1.1 中學數(shù)學常見的解題方法和思想</p><p>　　在中學數(shù)學教學中，數(shù)學解題思想和方法有很多，最常見的有數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造思想、化歸思想、換元思想、集合映射思想、邏輯分類思想等等。又有人稱之為數(shù)形結(jié)合方法、構(gòu)造

13、法、換元法、參數(shù)法等；也有人干脆合二為一，稱數(shù)形結(jié)合思想方法、構(gòu)造思想與方法。時而思想變成了方法，時而方法又成了思想。其實，并非人們不知道思想和方法的區(qū)別，這正說明了數(shù)學思想與數(shù)學方法關(guān)系密切。但是，無論二者關(guān)系如何密切，仍為不同的體系。</p><p>　　方法屬于方法論的范疇，是在思想指導下，進行實踐操作的各種手段和經(jīng)驗的總結(jié)，方法是指向?qū)嵺`的，是理論用于實踐的中介，方法是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段。</p

14、><p>　　思想屬于世界觀的范疇，是人們對自然界、人類社會和思維發(fā)展各領(lǐng)域認識的客觀反映。常常指導人們的實踐活動。思想是相應方法的精神實質(zhì)與理論依據(jù)。</p><p>　　所以，數(shù)學解題思想就是從數(shù)學問題的解決過程中提煉出來，并能反應解題規(guī)律的文字性理論，是對加工處理問題信息時所運用的方法、所采取的手段以及思維活動的本質(zhì)反映。它對問題解決有指導作用。數(shù)學解題方法對解題實踐也有一定的指導作用，

15、但它不及數(shù)學解題思想抽象、概括、深刻，指導我們解題實踐活動的范圍也不及解題思想廣泛。數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、邏輯分類等等都是解題方法，不能作為解題思想。</p><p>　　每道數(shù)學題不是只局限于一種解題方法，有時候我們會遇到一題多解，在這種情況下，利用簡單的解題方法可以讓我們在解題過程中節(jié)約很多時間，靈活運用這些解題方法可以把問題變得簡單化。如下面這個例子，可以想到用均值換元法來解題，但我們也可以將它看成是一個幾何問題

16、。</p><p>　　例1.1：實數(shù):、、滿足 ，求的最小值。</p><p>　　方法1：由想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)，，，代入可求。</p><p>　　解：由，設(shè)，，，其中，</p><p><b>　　∴ ＝＝</b></p><p><b>　　=<

17、/b></p><p><b>　　所以的最小值是。</b></p><p>　　方法2：利用數(shù)形結(jié)合法，將方程看作空間內(nèi)的一個平面方程，則就是原點到這個平面距離的平方。若把這部分圖形拿出來分析，也就是在一個四棱錐中，求頂點到地面的距離，最后求得最小值是。</p><p>　　數(shù)學問題的解決就是人們感知問題情景呈現(xiàn)的各種信息后，把問題信息

18、與認知結(jié)構(gòu)相互作用，尋找問題信息與大腦中認知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，從而改變大腦認知結(jié)構(gòu)的過程。所以問題解決的過程中包含著兩種活動。第一種活動，就是加工信息所采取的實踐操作活動，即采取哪些方法和手段進行信息加工。第二種活動，是信息加工的思維活動。即支配我們尋找加工信息的方法、策略的內(nèi)在思維活動。所以，數(shù)學解題思想就是對這兩種活動客觀的、內(nèi)在的、本質(zhì)的反映。我們認為第一種活動的規(guī)律是化歸思想，第二種活動的規(guī)律是尋舊思想。所以，數(shù)學解題思想就是化歸

19、尋舊思想。</p><p>　　1.2 數(shù)學解題方法和思想的培養(yǎng)</p><p>　　中學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數(shù)學思想方法之間的相互關(guān)系。數(shù)學實體內(nèi)部各單元之間相互滲透和維系的關(guān)系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對的數(shù)學思想方法，即對數(shù)學知識整體性的理解。數(shù)學思想方法確立后，便超越了具體的數(shù)學概念和內(nèi)容，只以抽象的形式

20、而存在，控制及調(diào)整具體結(jié)論的建立、聯(lián)系和組織，并以其為指引將數(shù)學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數(shù)學思想方法不僅會對數(shù)學思維活動、數(shù)學審美活動起著指導作角，而且會對個體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學領(lǐng)域向非數(shù)學領(lǐng)域的遷移，實現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍。</p><p>　　1、結(jié)合初中數(shù)學大綱，就初中數(shù)學教材進行數(shù)學思想方法的教學研究。首先，要通過對教材完整的

21、分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統(tǒng)攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數(shù)學方法—提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數(shù)學思想方法，就能運用它們?nèi)ソ鉀Q成千上萬分解多項式因式的問題。</p><p&g

22、t;　　2、以數(shù)學知識為載體，將數(shù)學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內(nèi)容之中。教學計劃的制訂應體現(xiàn)數(shù)學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內(nèi)容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數(shù)學教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則以至單元結(jié)構(gòu)等教學過程進行滲透思想方法的具體設(shè)計。要求通過目標設(shè)計、創(chuàng)設(shè)情境、程序演化、歸納總結(jié)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在知識的發(fā)生和運用過程中貫徹數(shù)學思想方法，形成數(shù)學知識、方法和思想的一體化。</p&g

23、t;<p>　　3、重視課堂教學實踐，在知識的引進、消化和應用過程中促使學生領(lǐng)悟和提煉數(shù)學思想方法。數(shù)學知識發(fā)生的過程也是其思想方法產(chǎn)生的過程。在此過程中，要向?qū)W生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創(chuàng)設(shè)使認知主體與客體之間激發(fā)作用的環(huán)境和條件，通過對知識發(fā)生過程的展示，使學生的思維和經(jīng)驗全部投人到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，從而主動構(gòu)建科學的認知結(jié)構(gòu)，將數(shù)學思想方法與數(shù)學知識融匯成一體，最終形成獨立

24、探索分析、解決問題的能力。</p><p><b>　　2 化歸法</b></p><p>　　2.1 化歸法的概念</p><p>　　數(shù)學是探求、認識和刻劃自然規(guī)律的重要工具。在學習數(shù)學的各個環(huán)節(jié)中，解題的訓練占有十分重要的地位。它既是掌握所學數(shù)學知識的必要手段，也是培養(yǎng)和提高數(shù)學能力的重要途徑。解題的實質(zhì)就是把數(shù)學的一般原理運用于習題

25、的條件或條件的推論而進行的一系列推理，直到求出習題解答為止的過程。這一過程是一種復雜的思維活動的過程。解決問題的過程，實際是轉(zhuǎn)化的過程，即對問題進行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個（些）已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。如抽象轉(zhuǎn)化為具體，未知轉(zhuǎn)化為已知，立體轉(zhuǎn)化為平面，高次轉(zhuǎn)化為低次，多元轉(zhuǎn)化為一元，超越運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算等等。這就是在數(shù)學方法論中我們學習到的一種新的思維方法--化歸，這種方法與我們常見的分析和綜合、抽象和概括、歸納和演繹

26、、比較和類比等思想方法不同，“化歸”方法在中學數(shù)學教材中是普遍存在，到處可見，與中學數(shù)學教學密切相關(guān)。如在引入“三角形內(nèi)角和定理”時，可把三角形的三個角剪下來，可以拼成一個平角，這就是轉(zhuǎn)化。</p><p>　　所謂“化歸”從字面上可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)。在數(shù)學方法中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學家在解決問題的過程中，不是對問題進行直接攻擊，而是把待解決的問題進行變形，轉(zhuǎn)化，直到歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的

27、問題中去，最終求獲原問題解答的一種手段和方法。張奠宙、過伯祥著的《數(shù)學方法論稿》中指出：“所謂化歸方法，是將一個問題A進行變形，使其歸結(jié)為另一個已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就能解決了”。</p><p>　　化歸思想方法被古住今來許多科學家、實際工作者所重視，十七世紀法國數(shù)學家笛卡爾經(jīng)過長期思考，創(chuàng)造了解析幾何理論，他的理論基礎(chǔ)就是利用坐標系把帶有兩個未知數(shù)的代數(shù)方程看成平面上的一條曲線，從而利用代

28、數(shù)方法研究幾何問題。實際上，笛卡爾正是運用化歸的思想方法才創(chuàng)立了解析幾何學。</p><p>　　2.2 數(shù)學中的化歸思想</p><p>　　“化歸”方法很多，有分割法，映射法，恒等變形法，換元變形法等等，但有一個原則是和原來的問題相比，“化歸”后所得出的問題，應是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。因此“化歸”的方向應是由未知到已知，由難到易，由繁到簡，由一般到特殊。而“化歸”的思想實

29、質(zhì)就在于不應以靜止的眼光，而應以運動、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和制約的觀點去看待問題。即應當善于對所要解決的問題進行變形和轉(zhuǎn)化，這實際上也是在數(shù)學教學中辨證唯物主義觀點的生動體現(xiàn)。</p><p><b>　　1、.映射法</b></p><p>　　映射法是用以實現(xiàn)化歸的一種重要方法，所謂映射，是指在兩類數(shù)學對象或兩個數(shù)學集合的元素之間建立某種“對應關(guān)系”。利

30、用映射法解決問題的過程為：首先通過映射將原來的問題轉(zhuǎn)化為問題A，然后，在求得問題A的解答以后，再通過逆映射求得原問題的解。映射法是實現(xiàn)化歸的一種重要方法，如由于建立了直角坐標系，使平面上的點與有序?qū)崝?shù)對，曲線與方程建立了對應關(guān)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。此外復數(shù)與復平面上的點、向量也建立起一一對應關(guān)系，把向量引進了代數(shù)，使復數(shù)的代表運算可用向量的幾何運算來進行。</p><p><b>　　恒等變形法

31、</b></p><p>　　在數(shù)學解題中，恒等變形占有十分重要的位置，特別是在求解方程或證明一些整除性問題時，利用恒等變形以實現(xiàn)由未知向已知的化歸，使我們比較容易地求得問題的解。</p><p>　　例2.1：解下列方程</p><p>　　分析：解上面兩個方程，先利用恒等變形把它化為容易求解的方程。</p><p><b

32、>　　可變?yōu)椤?lt;/b></p><p>　　例2.2：求證（）能被6整除。</p><p>　　分析：把原式進行恒等變形，得到=從而，只需證明三個連續(xù)自然數(shù)之積能被6整除即可，而這個問題是大家熟知的。</p><p>　　轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法。數(shù)學中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想方法體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)

33、與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化等等。轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學思想方法的靈魂。目標簡單化、和諧統(tǒng)一性、目標具體化、標準形式化和低層次化都是化歸的原則；各映射法、分割法和變形法都是轉(zhuǎn)化的策略；一般化與特殊化的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、實際問題數(shù)學化、常量與變量的轉(zhuǎn)化等都是化歸的基本策略。正如前面所給出的，實現(xiàn)化歸的方法是多種多樣的。</p><p>　　2.3 化歸法在中學數(shù)

34、學教學解題中的應用</p><p>　　一、將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識</p><p>　　將未知的問題向已知的知識轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題。這種轉(zhuǎn)化經(jīng)?？蛇_到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復雜的三角函數(shù)的最值問題有時也可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題

35、，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等。</p><p>　　例2.3：求函數(shù)的最值</p><p><b>　　分析：引入代換，則</b></p><p>　　將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題，極易求解。</p><p><b>　　解：設(shè),則</b></p><p&g

36、t;<b>　　∴</b></p><p><b>　　∵ </b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　且當t=即x=2kπ+時，ymax=+(k為整數(shù))</p><p>　　當t=?1即x=或kπ時，ymin=?1(k為奇數(shù))</p>

37、<p>　　二、將復雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為簡單問題。</p><p>　　復雜問題簡單化是數(shù)學解題中很常規(guī)的思考方法。若能恰當轉(zhuǎn)化，可使問題迅速獲解。如果我們引導學生注意分析問題，對問題進行逆向思考，不僅可以加深學生對可逆知識的理解，而且可以提高他們思維的靈活性。</p><p>　　例2.4：求的最大值</p><p>　　分析：該題若運用公式展開相當繁鎖，難

38、以得出結(jié)果，若做以下轉(zhuǎn)化，則非常巧妙。</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　這樣的最大值即可得到。</p><p><b>　　三、數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化</b></p><p>　　注意數(shù)形的相互

39、轉(zhuǎn)化，使數(shù)形達到和諧的統(tǒng)一，以增強直觀性和形象性及深刻了解數(shù)學的內(nèi)涵，便于發(fā)現(xiàn)和解決實質(zhì)問題。某些代數(shù)問題、三角問題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念，復雜的數(shù)量關(guān)系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論。</p><p>　　例2.5：求函數(shù)f(x)=的最大值。</p><p>　　分析：將函數(shù)式變形，得：</p><p>　　

40、上式可看作“在拋物線y=x2上的點P(x,x2)到點A(3,2)，B(0,1)的距離之差”</p><p>　　如圖：由知，當P在AB的延長線上的P0處時，f(x)取到最大值|AB|</p><p>　　所以fmax(x)=。 圖（1）</p><p><b>　　3 數(shù)形結(jié)合</b></p&

41、gt;<p>　　3.1 數(shù)形結(jié)合的思想方法</p><p>　　數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。</p><p>　　所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形 之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的

42、思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關(guān)系；②函數(shù)與圖像的對應關(guān)系；③曲線與方程的對應關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。</p><p>　　數(shù)形結(jié)合的思想是學習和研究數(shù)學重要的基本思想之一。它不僅是一種好的解題方法，能使學生在運用它解題時，獲得意想不到的效果，而且可以培養(yǎng)學生思維能力，可以幫助提高學生發(fā)現(xiàn)

43、問題，分析問題，解決問題的能力。形與數(shù)的結(jié)合是一種重要的解題策略，它能使學生對問題易于理解，易于聯(lián)想，易于推測，對解決問題，會起到啟發(fā)、簡化或驗證的作用。</p><p><b>　　例3.1：設(shè)</b></p><p><b>　　求</b></p><p>　　分析：分別先確定集合A，B的元素，</p>

44、<p>　　， 圖（2）</p><p>　　然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案：</p><p><b>　　，（公共部分）</b></p><p>　　， （整個數(shù)軸都被覆蓋）</p><p>　　

45、，(除去重合部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　， (除去覆蓋部分剩下的區(qū)域)</p><p>　　上面的例子，我們?nèi)糁庇^地去求，很難得出正確答案，但是一旦和數(shù)軸結(jié)合起來，這些幾何問題就可以迎刃而解。</p><p>　　3.2 數(shù)形結(jié)合法在解題中的應用</p><p>　　一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決

46、集合的問題。</p><p>　　利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題。一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。若利用韋恩圖法則能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題。例如：</p><p>　　例3.2：有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時參加數(shù)、理 小組的8人，同時參加數(shù)、化小組的6人，

47、同時參加理、化小組的7人，問：同時參加數(shù)、理、化小組的有多少人？</p><p>　　分析：我們可用圓A、B、C分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如圖1），則三圓</p><p>　　的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)。用n表示集合的元素，則有：</p><p><b>　　即：</b></p><p>　　∴，即同

48、時參加數(shù)理化小組的有1人。</p><p><b>　?。▓D3）</b></p><p>　　二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題。</p><p>　　利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題。利用二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標是方程f(x)=0的實根，根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點情況就可以確定方程f(x)=0的實根的情況，于是我

49、們利用函數(shù)y=f(x)的圖像可以直觀解決問題。例如：</p><p>　　例3.3：、求不等式的解集</p><p>　　分析：我們先聯(lián)想對應的二次函數(shù)</p><p>　　的圖像草圖，拋物線開口向下，</p><p>　　與軸沒有交點，很明顯，無論取任何值時</p><p><b>　　都有。即,∴<

50、/b></p><p>　　的解集為空集。而的解集為全體實數(shù)。 圖（4）</p><p>　　因此，我們要求一元二次不等式的解集時，只要聯(lián)想對應的二次函數(shù)的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點情況，便可直觀地看出所求不等式地解集。</p><p>　　利用數(shù)形結(jié)合思想比較函數(shù)值的大小。</p><p>　　一些數(shù)值大小的比較

51、，我們可轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)的函數(shù)值，利用它們圖像的直觀性進行比較．例如：</p><p>　　例3.4：試判斷三個數(shù)間的大小順序。</p><p>　　分析：這三個數(shù)我們可以看成三個函數(shù)： 在時，</p><p>　　所對應的函數(shù)值．在同一坐標系內(nèi)做出這三個函數(shù)的圖像(圖3，從圖像可以直觀地看出當時，所對應的三個點的位置， 從而可得出結(jié)論：。</p>&l

52、t;p><b>　　（圖5）</b></p><p><b>　　4 構(gòu)造法</b></p><p>　　4.1 構(gòu)造法的思想方法</p><p>　　數(shù)學的學習過程，離不開解題。美國數(shù)學家哈爾莫斯也曾說過“數(shù)學真正的組成部分應該是問題和解，問題才是數(shù)學的心臟”。在數(shù)學教育中，解題活動可以說是最基本的活動形式。一

53、個好的問題的解決方式往往有多種。用構(gòu)造法解題是一種即古老又年輕的科學方法，如歐拉“七橋問題”的解決，歷史上許多數(shù)學家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學中的難題。</p><p>　　“構(gòu)造法”即構(gòu)造性解題方法，是根據(jù)數(shù)學問題的條件或結(jié)論的特征，以問題中的數(shù)學元素為“元件”，數(shù)學關(guān)系為“框架”，構(gòu)造出新的數(shù)學對象或數(shù)學模型，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到簡便解決的方法。這里所說的“元件”可以是函數(shù)、數(shù)列、向量、曲線定義、幾何圖形、向量、

54、復數(shù)與命題等，甚至于構(gòu)造類比問題使問題轉(zhuǎn)化，并得到明確解決，構(gòu)造“元件”是手段，轉(zhuǎn)化問題是策略，解出數(shù)學問題是目的。在中學數(shù)學課的教學中，引導學生運用構(gòu)造法解題不僅能提高學生的解題 能力，更重要的是通過這種解題方法的運用可豐富學生的想像力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維能力。應用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵有二：一是要有明確的方向，即要明確為了解決什么問題而建立一個相應的構(gòu)造；二是要弄清條件 的本質(zhì)特點，以便重新進行邏輯整合。</p><

55、p>　　用構(gòu)造法解題時，被構(gòu)造的對象是多種多樣的，按它的內(nèi)容可分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復數(shù)、圖形、圖表、幾何變換、對應、數(shù)學模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現(xiàn)是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結(jié)規(guī)律：在運用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造的目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造。</p><p><b>　　一、構(gòu)造

56、輔助數(shù)與式</b></p><p>　　在求解某些數(shù)學問題時，利用矛盾的對立統(tǒng)一性，充分揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，探索構(gòu)造適宜的數(shù)或式，來架設(shè)解題的通道。</p><p>　　例4.1：當時，求的值.</p><p>　　解：由條件得 所以</p><p><b>　　構(gòu)造的因式</b></p>

57、;<p><b>　　y===</b></p><p><b>　　==1</b></p><p><b>　　二、構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　在求解某些數(shù)學問題時，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解

58、題手段。構(gòu)造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構(gòu)造，始終“盯住”要證、要解的目標。</p><p>　　例4.2：證明：如果，那么</p><p><b>　　證明：構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　易證在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增</p><p><

59、;b>　　∴+</b></p><p>　　==lg1 = 0，</p><p><b>　　∴ 即：，</b></p><p>　　又是增函數(shù)，∴ 即。</p><p><b>　　三、構(gòu)造方程</b></p><p>　　方程，作為中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一

60、，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識密切相關(guān)。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法。構(gòu)造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結(jié)為3個步驟：</p><p>　　A . 將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；</p><p>　　B. 解這個方

61、程或討論這個方程的有關(guān)性質(zhì)（常用判別式與韋達定理），得出相應結(jié)論；</p><p>　　C. 將方程的相應結(jié)論再返回為原問題的結(jié)論。</p><p>　　例4.3：已知，求證：</p><p>　　分析：設(shè)法構(gòu)造一個一元二次方程，使以其系數(shù)或常數(shù)項的面目出現(xiàn)，再由得到不等式。</p><p>　　設(shè)， 易證，再求得，就是方程的兩個實根,由&l

62、t;/p><p>　　四、構(gòu)造幾何圖形（體）</p><p>　　例4.4：求函數(shù)的值域</p><p><b>　　解析：</b></p><p>　　其幾何意義是平面內(nèi)動點P（，0）到兩定點</p><p>　　M（2，3）和 N（5，-1）的距離之和（如圖6）為求其值域只要求其最值即可，<

63、/p><p>　　知當M，N，P三點共線（即P在線段MN上）時， 圖（6）</p><p>　　取得最小值，，無最大值，</p><p>　　故得函數(shù)的值域為 。</p><p>　　4.2 構(gòu)造法證明不等式 </p><p>　　在我們的學習過程中，常遇到一些不

64、等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，在已學過的知識的基礎(chǔ)上進行廣泛的聯(lián)想，構(gòu)造一個與不等式相關(guān)的數(shù)學模型，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。</p><p><b>　　構(gòu)造向量證明不等式</b></p><p><b>　　例4.5：求證：<

65、/b></p><p>　　簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，</p><p>　　將左邊看成模的平方，又,為使為常數(shù)，</p><p>　　根據(jù)待定系數(shù)法又可構(gòu)造</p><p><b>　　于是=</b></p><p><b>　　因為<

66、;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　構(gòu)造數(shù)列證明不等式</b></p><p>　　例4.6：若，求證：。</p><p>　　證明：構(gòu)造數(shù)列，使其通項為</

67、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　∵=，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　即是遞增數(shù)列，所以當時，恒有</p><p><b>　　于是。</b></p>

68、<p>　　三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式</p><p>　　例4.7：已知|，，，求證：</p><p>　　簡析與證明：原不等式即為：……①</p><p>　　將a看作自變量，于是問題轉(zhuǎn)化為只須證：當，，時，恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù)，(－1＜a＜1)</p><p>　　若原不等式顯然成立。</p><p>

69、;　　若，則是a的一次函數(shù)，在上為單調(diào)函數(shù)</p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　∴，即。</b></p><p>　　此題還可由題設(shè)構(gòu)造不等式</p><p><b>　　兩式相加得：即。</b></p><p><

70、b>　　5 換元法</b></p><p>　　5.1 換元法在解方程中的巧用</p><p>　　在解題過程中，根據(jù)已知條件，引入一個或幾個新變量來替代原來的某些量，對新變量求出結(jié)果后，返回去再求原變量的結(jié)果，這種方法叫做換元法。恰當?shù)負Q元會使問題向著更熟悉、簡單或容易的方向轉(zhuǎn)化。</p><p><b>　　整體換元</b&

71、gt;</p><p>　　例5.1：已知：，求的值。</p><p>　　解：設(shè)，則與已知聯(lián)立解得，。</p><p>　　由，解得或，∴原式的值為0或2。</p><p><b>　　三角換元</b></p><p>　　例5.2：解不等式。</p><p>　　解：設(shè)

72、，則原不等式可化為，即，解得，</p><p><b>　　∴，∴，</b></p><p>　　∴原不等式的解集為。</p><p><b>　　和差換元</b></p><p>　　例5.3：求函數(shù)的最大值。</p><p><b>　　解：設(shè)則由∴</b

73、></p><p><b>　　由得，</b></p><p><b>　　∴=，</b></p><p><b>　　故當時，最大值為。</b></p><p><b>　　增量換元</b></p><p><b>

74、;　　例5.4：,,</b></p><p><b>　　求證：。</b></p><p><b>　　證明 令，又設(shè)，</b></p><p><b>　　，其中，</b></p><p><b>　　∴，</b></p>&

75、lt;p><b>　　又，由上式得。</b></p><p><b>　　∴，原不等式得證。</b></p><p>　　五、換元法在初中解方程中運用也很廣泛，其中在整式方程中：</p><p>　　例5.5：解方程 。</p><p>　　分析：這個方程的系數(shù)較大，如果利用公式法來解，運算量

76、太大，利用換元法來解，可以將題目系數(shù)轉(zhuǎn)化得比較簡單。</p><p>　　解：設(shè)，則原方程變形為：，</p><p><b>　　解得 。</b></p><p><b>　　則有 或 。</b></p><p>　　∴原方程的解為 。</p><p>　　在分式方程中

77、的巧用：</p><p>　　例5.6：解方程 </p><p>　　分析：通過換元法，把看做一個整體，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。</p><p>　　解：設(shè)，則原方程變形為 。</p><p><b>　　解得。</b></p><p><b>　　當，解得 ；</b>

78、;</p><p><b>　　當，解得 。</b></p><p>　　經(jīng)檢驗：原方程的解為，。</p><p><b>　　6 數(shù)學思維</b></p><p>　　6.1 數(shù)學的直覺思維</p><p>　　所謂數(shù)學直覺思維，就是大腦基于有限的數(shù)據(jù)資料和知識經(jīng)驗，

79、充分調(diào)動一切與問題有關(guān)的顯意識和潛意識，在敏銳想象和迅速判斷有機結(jié)合下，從整體上單刀直入地領(lǐng)悟數(shù)學對象的本質(zhì)，洞察數(shù)學結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一種思維方式。其實數(shù)學直覺思維也是一種很重要的思維形式。直覺思維是人類思維的重要形式，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)；直覺思維是未來的高科技信息社會中，能適應世界新技術(shù)革命需要，具有開拓、創(chuàng)新意識的開創(chuàng)性人才所必有的思維品質(zhì)。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。這種思維的實質(zhì)是對數(shù)學對象及其結(jié)

80、構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷。直覺是人們自覺或不自覺思考時突然產(chǎn)生的創(chuàng)造性設(shè)想,縱觀人類科技進步發(fā)展史，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺：歐幾里得幾何學的五個公式就是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個直覺思維的成功典范。因此直覺思維是學生學習素養(yǎng)的一個重要的組成部分。 在目前和今后的數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的直覺思維能力，發(fā)展學生創(chuàng)新精神，是學科教學的

81、重要任務之一。</p><p>　　在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，教師往往過于強調(diào)學生要“言之有理，言之有據(jù)”，從而忽略了對學生數(shù)學直覺思維能力的培養(yǎng)，很少讓學生去感覺、去猜測，由于數(shù)學知識的嚴謹性、抽象性和系統(tǒng)性的特點，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，同時，數(shù)學教師由于長期受演繹論證的訓練，過多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展，也容易忽視直覺思維的存在和作用。在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化

82、、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學習的興趣沒有被調(diào)動起來，得不到思維的真正樂趣。</p><p>　　直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點,從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看,有以下三個主要特點：</p><p><b>　　簡約性</b>

83、</p><p>　　直覺思維是對思維對象從整體上考察，調(diào)動自己的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。</p><p><b>　　創(chuàng)造性</b><

84、/p><p>　　現(xiàn)代社會需要創(chuàng)造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經(jīng)驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的、發(fā)散的，使人的認知結(jié)構(gòu)向外無限擴展，因而具有反常規(guī)律的獨創(chuàng)性。</p><p><b>　　自信力

85、</b></p><p>　　學生對數(shù)學產(chǎn)生興趣的原因有兩種：一種是教師的人格魅力，其二是來自數(shù)學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數(shù)學本身。成功可以培養(yǎng)一個人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會產(chǎn)生一種強大的學習鉆研動力

86、，從而更加相信自己的能力。</p><p>　　6.2 如何培養(yǎng)數(shù)學直覺思維</p><p>　　一個人的數(shù)學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺也是不斷提高的?！睌?shù)學直覺是可以通過訓練提高的。</p><p>　?。?)扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉</p><p&g

87、t;　　直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底，是不會迸發(fā)出思維的火花的。</p><p>　　(2)滲透數(shù)學的哲學觀點及審美觀念</p><p>　　直覺的產(chǎn)生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴的把握事物的本質(zhì)。這些哲學觀點包括數(shù)學中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉(zhuǎn)化、對稱性等。美感和美的意

88、識是數(shù)學直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數(shù)學直覺能力也越強。</p><p><b>　　(3)重視解題教學</b></p><p>　　教學中選擇適當?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性

89、問題教學，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。</p><p>　　(4)設(shè)置直覺思維的意境和動機誘導</p><p>　　這就要求教師轉(zhuǎn)變教學觀念,把主動權(quán)還給學生。對于學生的大膽設(shè)想給予充分肯定,對其合理成分及時給予鼓勵,愛護、扶植學生的自發(fā)性直覺思維,以免挫傷學生直覺思維的

90、積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導,解除學生心中的疑惑,使學生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感?！案杏X走”是教師經(jīng)常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征，重視數(shù)學思維方法的教學。</p><p><b>　　總 結(jié)</b></p>

91、;<p>　　數(shù)學解題思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的橋梁。中學數(shù)學知識結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數(shù)學思想方法之間的相互關(guān)系。對于同一道數(shù)學題，根據(jù)個人知識水平不同他們所采取的解題思想與方法也會不同。這就要求教師在教授學生知識的同時培養(yǎng)他們發(fā)散性思維。</p><p>　　數(shù)學解題思想方法與數(shù)學基礎(chǔ)知識相比較

92、，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是數(shù)學內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學解題思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學解題思想方法也還是對你起作用。</p><p>　　本文大致介紹了常用的幾種解題思想與方法，并且在一些例題中體現(xiàn)了各種解