22用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程

1、<p>　　26.2　用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程（1）</p><p><b>　　教學(xué)目標(biāo)： </b></p><p>　　1．通過探索，使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系。</p><p>　　2．使學(xué)生能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)解決實(shí)際問題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。</p><p&g

2、t;　　3．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。</p><p><b>　　重點(diǎn)難點(diǎn)：</b></p><p>　　重點(diǎn)：使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實(shí)際問題是教學(xué)的重點(diǎn)。</p><p>　　難點(diǎn)：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想是教學(xué)的難點(diǎn)．<

3、;/p><p><b>　　教學(xué)過程：</b></p><p><b>　　一、引言</b></p><p>　　在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，如拱橋跨度、拱高計(jì)算等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究和解決這些問題，具有很現(xiàn)實(shí)的意義。本節(jié)課，請(qǐng)同學(xué)們共同研究，嘗試解決以下幾個(gè)問題。</p>

4、<p><b>　　二、探索問題</b></p><p>　　問題1：某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m。水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。</p><p>　　根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m

5、)之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x2＋2x＋。</p><p>　　(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少?</p><p>　　(2)如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)?</p><p><b>　　教學(xué)要點(diǎn)</b></p><p>　　1．讓學(xué)生討論、交流，如何將文學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言

6、，得出問題(1)就是求函數(shù)y＝－x2＋2x＋最大值，問題(2)就是求如圖(2)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；</p><p>　　2．學(xué)生解答，教師巡視指導(dǎo)；</p><p>　　3．讓一兩位同學(xué)板演，教師講評(píng)。</p><p>　　問題2：一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測得，當(dāng)水面寬AB＝1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開水面1.5m處，涵洞寬

7、ED是多少?是否會(huì)超過1m?</p><p><b>　　教學(xué)要點(diǎn)</b></p><p>　　1．教師分析：根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長度。在如圖(3)的直角坐標(biāo)系中，即只要求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因?yàn)辄c(diǎn)D在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)。</p><p>　

8、　2．讓學(xué)生完成解答，教師巡視指導(dǎo)。</p><p>　　3．教師分析存在的問題，書寫解答過程。</p><p>　　解：以AB的垂直平分線為y軸，以過點(diǎn)O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。</p><p>　　這時(shí)，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，開口向下，所以可設(shè)它的 函數(shù)關(guān)系式為：y＝ax2 (a＜0) (1)</p>

9、<p>　　因?yàn)锳B與y軸相交于C點(diǎn)，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0.8，－2.4)。</p><p>　　因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以：a＝－</p><p>　　因此，函數(shù)關(guān)系式是 y＝－x2 (2)</p><p>　　因?yàn)镺F＝1.5m，設(shè)

10、FD＝x1m(x1＞0)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x1，－1.5)。因?yàn)辄c(diǎn)D的坐標(biāo)在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(2)，得 －1.5＝－x12 x12＝ x1＝±</p><p>　　x1＝－不符合假設(shè)，舍去，所以x1＝。</p><p>　　ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)</p><p>　

11、　所以涵洞ED是m，會(huì)超過1m。</p><p>　　問題3：畫出函數(shù)y＝x2－x－3/4的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題。</p><p>　　(1)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么；</p><p>　　(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y＝0?這里x的取值與方程x2－x－＝0有什么關(guān)系?</p><p>　　(3)你能從中得到什么啟發(fā)?</p>

12、<p><b>　　教學(xué)要點(diǎn)</b></p><p>　　1．先讓學(xué)生回顧函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的畫法，按列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)y＝x2－x－的圖象。</p><p>　　2．教師巡視，與學(xué)生合作、交流。</p><p>　　3．教師講評(píng)，并畫出函數(shù)圖象，如圖(4)所示。</p><p>　　4．

13、教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，回答(1)提出的問題，得到圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－，0)和(，0)。</p><p>　　5．讓學(xué)生完成(2)的解答。教師巡視指導(dǎo)并講評(píng)。</p><p>　　6．對(duì)于問題(3)，教師組織學(xué)生分組討論、交流，各組選派代表發(fā)表意見，全班交流，達(dá)成共識(shí)：從“形”的方面看，函數(shù)y＝x2－x－的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程x2－x－＝0的解；從“數(shù)”的方面看，當(dāng)

14、二次函數(shù)y＝x2－x－的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程x2－x－＝0的解。更一般地，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2＋bx＋c＝0的解；當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程ax2＋bx＋c＝0的解，這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。</p><p>　　三、試一試 根據(jù)問題3的圖象回答下列問題。</p><

15、p>　　(1)當(dāng)x取何值時(shí)，y＜0?當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0?</p><p>　　(當(dāng)－＜x＜時(shí)，y＜0；當(dāng)x＜－或x＞時(shí)，y＞0)</p><p>　　(2)能否用含有x的不等式來描述(1)中的問題? (能用含有x的不等式采描述(1)中的問題，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?)</p><p>　　想一想：二次函數(shù)與一元二次不等

16、式有什么關(guān)系?</p><p>　　讓學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系，討論、交流，達(dá)成共識(shí)：</p><p>　　(1)從“形”的方面看，二次函數(shù)y＝ax2＋bJ＋c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。</p><p>　　(2)從“數(shù)”的

17、方面看，當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。</p><p>　　四、課堂練習(xí)： P23練習(xí)1、2。</p><p>　　五、小結(jié)： 1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)

18、，你有什么收獲?有什么困惑?</p><p>　　2．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無交點(diǎn)，試說明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情況。</p><p><b>　　六、作業(yè)： </b></p><p>　　1. 二次函數(shù)y＝x2－3x－18的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，求兩交

19、點(diǎn)間的距離。</p><p>　　2．已知函數(shù)y＝x2－x－2。</p><p>　　(1)先確定其圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出圖象</p><p>　　(2)觀察圖象確定：x取什么值時(shí)，①y＝0，②y＞0；③y＜0。</p><p>　　3．學(xué)校建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置