關(guān)于拓撲空間連通性的研究【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　關(guān)于拓撲空間連通性的研究</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　拓撲學(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個分支。

2、一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學(xué)，或者叫做分析拓撲學(xué)。另一個分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓撲?，F(xiàn)在，這兩個分支又有統(tǒng)一的趨勢。</p><p>　　拓撲學(xué)在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　本文主要著重闡述了L-拓撲空間的連通性這一新內(nèi)容。到目前為止，L-拓撲學(xué)已成為較為成熟且完整的學(xué)科(國內(nèi)外已有

3、這方面的多部著作)。</p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　一般拓撲學(xué)從19世紀(jì)成為一個獨立的科學(xué)分支至今已經(jīng)歷了一百多年的發(fā)展歷史．雖然它的獨立與發(fā)展相對于其他一些古老的數(shù)學(xué)學(xué)科如分析學(xué)、代數(shù)學(xué)，歐氏幾何學(xué)和數(shù)論要晚了許多，但經(jīng)過一百多年，特別是20世紀(jì)40年代到70年代的蓬勃發(fā)展，一般拓撲學(xué)已日趨成熟與完善(參見[1]及其參考文獻)

4、．</p><p>　　“什么是拓撲學(xué)？”這是許多初學(xué)者都會提到的問題。拓撲學(xué)是一種幾何學(xué)，它是研究幾何圖形的。但是拓撲學(xué)所研究的并不是大家最熟悉的普通的幾何性質(zhì)，而是圖形的一種特殊性質(zhì)，即所謂“拓撲性質(zhì)”。盡管拓撲性質(zhì)是圖形的一種很基本的性質(zhì)，它也是具有很強的幾何直觀，卻很難用簡單的語言來準(zhǔn)確地描述，它的確切定義可以用抽象的語言來描述，也可以從幾個例子來直觀地反映。最具特色的問題就是一筆畫問題、七橋問題、地圖著

5、色問題及Euler多面體定理。這些問題定理所涉及到圖形在整體結(jié)構(gòu)上的特性，就是“拓撲性質(zhì)”。它們與幾何圖形的大小、形狀，以及所包含線段的曲直等等都無關(guān)，也就不能用普通的幾何方法來處理，需要有一種新的幾何學(xué)來研究它們，這個學(xué)科就是拓撲學(xué)，也有人形象地稱它為橡皮幾何學(xué)，因為它研究的性質(zhì)在圖形做彈性形變時是不會改變的。而我們把這種變形稱為圖形的“拓撲變換”,它也可以用集合和映射的語言來確切的描述。</p><p>　　

6、由于許多數(shù)學(xué)分支的活動范圍早已突破了歐氏空間的限制，甚至也超出了度量空間的領(lǐng)域，拓撲學(xué)作為這些數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，必須研究更加一般的空間?，F(xiàn)在就要著一種能用來刻畫拓撲性質(zhì)的新的空間結(jié)構(gòu)，以替代歐氏結(jié)構(gòu)和度量結(jié)構(gòu)。而這種新結(jié)構(gòu)就是所謂的拓撲結(jié)構(gòu)。</p><p>　　之前我們已經(jīng)直觀反映了“拓撲性質(zhì)”，現(xiàn)在我們就用抽象語言來具體描述它的幾個重要的性質(zhì)：分離性、可數(shù)性、緊致性和連通性。前面兩種性質(zhì)也可以看作拓撲公理的補充

7、；后兩種性質(zhì)在分析學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)過，它們有很強的幾何直觀性，是拓撲學(xué)中最基礎(chǔ)的性質(zhì)。</p><p>　　拓撲公理只是概括了度量拓撲最基本性質(zhì)，而不是全部性質(zhì)，有時，這種不足會帶來不方便。分離性和可數(shù)性常作為附加性質(zhì)，彌補公理的不足，因此它們本身也稱為公理。有兩個可數(shù)公理和一系列分離公理，文獻[13]主要介紹了兩個可數(shù)公理和四個較常見的分離公理：。</p><p>　　在分析學(xué)中緊致性（在那

8、里它等價于列緊性）早就顯示了它的威力。有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，達到它的最大、最小值，并且是一致連續(xù)的。在證明這些結(jié)論時都用到了同一事實：有界閉區(qū)間上的每個序列有收斂的子序列。這種性質(zhì)后來稱為“列緊性”（自列緊），它可以一字不改地推廣到一般拓撲空間中。</p><p>　　普通的幾何中圖形的“連通”性是一個非常直觀的概念，它幾乎必須給出數(shù)學(xué)定義。譬如，誰都知道，在圓錐曲線中，橢圓和拋物線是連通的，而雙曲線是

9、不連通的。然而，對于復(fù)雜一些的圖形，單憑直觀就不行了，必須深化認識?，F(xiàn)在，把連通性作為拓撲概念給出，必須深化認識?，F(xiàn)在，把連通性作為拓撲概念給出嚴(yán)格的定義。直觀上的連通，可以有兩個含義：其一是圖形不能分割稱互不“粘連”的兩部分；其二是圖形上任何兩點可以用圖形上的線連結(jié)。在拓撲學(xué)中，這兩種含義分別抽象稱“連通性”和“道路連通性”兩個概念。</p><p>　　從拓撲上解釋“空間X分割成互不粘連的兩部分“A和B”，就

10、是說，A和B是互不相交的非空子集，并且A和B都不包含對方的聚點，也就是說A和B是不相交的閉集（從而也是開集）。于是得到連通性的定義：</p><p>　　拓撲空間X稱為連通的，如果它不能分解為兩個非空不相交開集的并。顯然，連通與下面幾種說法是等價的：</p><p>　　X不能分解為兩個非空不相交閉集的并；</p><p>　　X沒有既開又閉的非空真子集；</

11、p><p>　　X的既開又閉的子集只有X和。（文獻[13]是這樣定義的）</p><p>　　其他文獻在定義連通空間時會引入隔離的概念。如文獻[14]：</p><p>　　設(shè)A和B是拓撲空間X中的兩個子集。如果，則稱子集A和B是隔離的。從而連通空間可以如下定義：</p><p>　　設(shè)X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集A和B使得，則

12、稱X是一個不連通空間；否則，則稱X是一個連通空間。它也有如下的等價條件：</p><p>　　X中存在著兩個非空的閉子集A和B使得成立；</p><p>　　X中存在著兩個非空的開子集A和B使得成立；</p><p>　　X中存在著一個既開又閉的非空真子集。</p><p>　　不難發(fā)現(xiàn)，不管怎么定義，它們所要最終闡述的事都是同一件，只是他們

13、用了不同語言來涵蓋這件事而已。</p><p>　　較之于連通空間的概念，道路連通空間這個概念似乎覺得更符合我們的直覺因而易于理解些，首先，“道路”定義如下:</p><p>　　設(shè)X是一個拓撲空間,從單位閉區(qū)間到X中的每一個連續(xù)映射叫做X中的一條道路，并且此時分別成為道路的起點和終點。當(dāng)時，則稱是x到y(tǒng)的一條道路。起點和終點相同的道路成為閉路，并且這時，它的起點（也就是它的終點）稱為閉路

14、的基點。</p><p>　　定義完“道路”我們就可以這樣定義道路連通空間：</p><p>　　設(shè)X是一個拓撲空間,如果對于任何x.y.存在這X的一條從x到y(tǒng)的道路（或曲線），我們則稱X是一個道路連通空間。</p><p>　　以上便是幾個重要的拓撲性質(zhì)。然而在文獻[16]的最后一章節(jié)中，介紹從序論角度研究拓撲的一些基本方法和結(jié)果對于一個拓撲空間X，它的拓撲關(guān)于幾

15、何的包含序是完備格。人們可以通過對完備格的研究來獲得對拓撲空間的認識，從連續(xù)格與局部緊性之間的相互刻畫，將看到這一方法的有效性。(參見[16]及其參考文獻)</p><p>　　另一方面，從序結(jié)構(gòu)出發(fā)，我們可構(gòu)造若干有趣的拓撲空間，并應(yīng)用序論的技巧和成果對這些空間的拓撲性進行研究，獲得拓撲學(xué)中有普遍意義的成果。 </p><p>　　格上拓撲學(xué)將拓撲結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)融為一體，它有兩個比較成熟的

16、研究分支：</p><p>　　Local理論和L一拓撲學(xué)．Local理論的特點是無點式的，其論證常常是構(gòu)造性的而不是訴諸于選擇公里，具有很濃的構(gòu)造性色彩．工一拓撲空間的研究從1968年c．L．Chang[2]提出Fuzzy拓撲空間概念的第一篇論文算起，至今已有30多年．在這30多年中，它的研究已從初始的模仿性研究逐漸走上了創(chuàng)新的道路，層次結(jié)構(gòu)的特點使它具有了不同于一般拓撲學(xué)的特點、風(fēng)格，與完備格代數(shù)結(jié)構(gòu)的緊密聯(lián)

17、系又賦予了它以新的生命力．</p><p>　　在L-拓撲學(xué)發(fā)展的初期，一部分學(xué)者沿用無點式方法，也曾獲得過許多漂亮而有創(chuàng)造性的結(jié)果，其中以C．K．Wong[3]的局部化及B．button[4，5]一致化研究尤為突出．但是，由于其研究工作不涉及點，不可避免的會有許多局限性．如對局部性質(zhì)的討論、對Moore-Smith收斂理論的建立以及嵌入理論的研究等都難以展開．</p><p>　　事實上

18、，在中自然存在一種“點”，即所謂的fuzzy點．因此在L-拓撲</p><p>　　學(xué)發(fā)展的初期，許多學(xué)者都力圖沿著有點式方向工作，他們沿用一般拓撲學(xué)中的</p><p>　　鄰域方法來研究L-拓撲，但在相當(dāng)長的時間內(nèi)無大的進展．1977年劉應(yīng)明院士</p><p>　　[15]在分析了C．K．Wong的Fuzzy點及其鄰域系理論的弊端以后，修改了Fuzzy點及其對

19、一個Fuzzy集的從屬關(guān)系，首次打破傳統(tǒng)的屬于關(guān)系和鄰域方法，引入了“重于”這一新的Fuzzy點和Fuzzy集之間的從屬關(guān)系，這樣的“重于”關(guān)系滿足一條基本原則一擇一原則[7]，相應(yīng)地，引入了“重域“的概念，從而為L一拓撲學(xué)的點式處理打開了大門．隨后王國俊教授引入了。遠域”的概念，沿著這一方向，有點式L-拓撲學(xué)的研究取得了很大進展，獲得了豐富多彩的成果．到目前為止，L-拓撲學(xué)已成為較為成熟且完整的學(xué)科(國內(nèi)外已有這方面的多部著作，參見文

20、獻[8,9，10，11]等)．</p><p>　　文獻[12]以拓撲空間的局部緊性、L-拓撲空間的局部良緊性以及連通性為基礎(chǔ)，研究拓撲空間的局部仿緊性、L-拓撲空間的局部仿緊性以及連通性．結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容安排如下：</p><p>　　第一章作為預(yù)備部分，給出了全文將要用到的一些概念、符號和結(jié)果．</p><p>　　第二章給出了拓撲空間的三種局部仿緊性的定義，證明

21、了這三種局部仿緊性在正則空間范疇中是等價的；分別討論了它們對開、閉子空間的遺傳性、在連續(xù)的既開又閉映射下的不變性以及可和性等；證明了這三種局部仿緊性均可加強分離性．</p><p>　　第三章給出了L-拓撲空間的六種局部仿緊性的定義，研究了這六種局部仿緊性之間的蘊涵關(guān)系，證明了本文第二章所定義的拓撲空間的局部仿緊性的一些重要結(jié)果對局部仿緊L-拓撲空間仍成立，并將局部良緊工一拓撲空間的某些好的性質(zhì)推廣到相應(yīng)的局部仿

22、緊L-拓撲空間．結(jié)果表明前四種局部仿緊性既是閉遺傳的又是開遺傳的，后兩種局部仿緊性是閉遺傳的．這些局部仿緊性在某種序同態(tài)下是保持不變的．</p><p>　　第四章研究了L-拓撲空間的連通性．定義了L-拓撲空間的連通性和連通分支的概念，討論了它們的一些性質(zhì)，給出連通的一些等價刻畫，證明了連通L-拓撲空間是比連通L-拓撲空間更廣泛的一類空間．在F格L的最大元l是分子時，得到了連通性是可積性質(zhì)的結(jié)論．作為特例，I-單

23、位區(qū)間和I-實直線是連通的．</p><p>　　事實上，文獻[12]首先回顧了一般拓撲、L-拓撲的基本概念，定義了拓撲空間中的三種局部仿緊性，證明了這三種局部仿緊性在正則空間范疇中是等價的；分別討論了它們對開、閉子空間的遺傳性、在連續(xù)的既開又閉映射下的不變性以及可和性等；證明了這三種局部仿緊性均可加強分離性．</p><p>　　其次給出了L-拓撲空間的六種局部仿緊性的定義，研究了這六種

24、局部仿緊性之間的蘊涵關(guān)系，證明了本文第二章所定義的拓撲空間的局部仿緊性的一些重要結(jié)果對局部仿緊L-拓撲空間仍成立，并將局部良緊L-拓撲空間的某些好的性質(zhì)推廣到相應(yīng)的局部仿緊L-拓撲空間．結(jié)果表明前四種局部仿緊性既是閉遺傳的又是開遺傳的，后兩種局部仿緊性是閉遺傳的．這些局部仿緊性在某種序同</p><p>　　態(tài)下是保持不變的．最后研究了L-拓撲空間的連通性．定義了工一拓撲空間的連通性和L-連通分支的概念，討論了它

25、們的一些性質(zhì)，給出連通的一些等價刻畫，證明了連通L-拓撲空間是比連通L-拓撲空間更廣泛的一類空間．在F格L的最大元1是分子時，得到了連通性是可積性質(zhì)的結(jié)論．</p><p>　　不難發(fā)現(xiàn)拓撲與序結(jié)構(gòu)的相互結(jié)合，不僅為研究拓撲學(xué)提供了了新的角度，同時也加強了拓撲學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，拓廣了拓撲學(xué)應(yīng)用的途徑。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p&g

26、t;<p>　　本文主要介紹了拓撲空間的相關(guān)知識，重點闡述拓撲空間一種重要性質(zhì)：連通性。再由序結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)造出L-拓撲空間。討論L-拓撲空間的連通性的相關(guān)知識。到目前為止，L-拓撲學(xué)已成為較為成熟且完整的學(xué)科(國內(nèi)外已有這方面的多部著作。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1]Rysard Engelking．Gen

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