關(guān)于拓?fù)淇臻g分離性的研究文獻綜述

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　關(guān)于拓?fù)淇臻g分離性的研究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　前言部分:</b&

2、gt;</p><p>　　拓?fù)鋵W(xué)是近代發(fā)展起來的一個研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱起源于希臘語Τοπολογ?α的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。發(fā)展至今，拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量。</p><p>　　舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如

3、果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點。簡單地說，拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。 </p><p>　　拓?fù)淇臻g（to

4、pological space），賦予拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的集合。如果對一個非空集合X給予適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，使之能引入微積分中的極限和連續(xù)的概念，這樣的結(jié)構(gòu)就稱為拓?fù)洌哂型負(fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間稱為拓?fù)淇臻g。引入拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法有多種，如鄰域系、開集系、閉集系、閉包系、內(nèi)部系等不同方法。</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢分析學(xué)，這是G.W.萊布尼

5、茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質(zhì)，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質(zhì)，經(jīng)過20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結(jié)和嵌入問題就是勢的問題)。隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問題，1750年發(fā)表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)這個詞（中

6、文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文(位置、形勢)與(學(xué)問)。這是萌芽階段。 </p><p>　　1851年起，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢分析學(xué)。從此開始了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，在點集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中黎曼明確提出n維流形的

7、概念(1854)。得出許多拓?fù)涓拍睿?</p><p>　　組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓?fù)鋵W(xué)問題的，但他的方法有時不夠嚴(yán)密，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂

8、數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊栴}，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴(yán)密，過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， </p><p>　　拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，實數(shù)的嚴(yán)格定義推動G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐式空間中的點集的研究，得出許多拓?fù)涓拍?，如聚點極限點）、開集、閉集、稠密性、連

9、通性等。在點集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點集拓?fù)鋵W(xué)這兩個研究方向。</p><p>　　現(xiàn)將已有的文獻綜述如下：</p><p>　　兒玉之宏,永見啟應(yīng)在文獻[1]中講到了緊空間，仿緊空間，連

10、通空間。其中緊空間說明的是拓?fù)淇臻gx的子集族 U稱為x 的覆蓋是指x 可表為U的一切元的并。由開集組成的覆蓋叫開覆蓋。如果T2空間x的每個開覆蓋有一個有限子族仍是x的覆蓋，則x稱為緊空間。n維歐幾里得空間Rn中的有界閉集，即可以包含于某個球內(nèi)的閉集，作為Rn的子空間是緊空間。但Rn本身不是緊空間。任意一族緊空間的積空間仍是緊空間。連續(xù)映射把緊空間映成緊空間，只要映成的空間是T2的。與一個度量空間同胚的拓?fù)淇臻g叫可度量空間。1924年，蘇

11、聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)家∏.C.烏雷松證明了：緊空間是可度量的當(dāng)且僅當(dāng)它是第二可數(shù)的。在第二可數(shù)或度量空間范圍內(nèi)，一個空間是緊的當(dāng)且僅當(dāng)它是列緊的，即是T2空間且它的每個點列有一個收斂子序列。</p><p>　　仿空間是1944年由法國數(shù)學(xué)家J.迪厄多內(nèi)提出的仿緊空間是緊空間的一種重要推廣?？臻g內(nèi)的一個子集族U稱為局部有限的是指空間內(nèi)每一點有一個鄰域與U內(nèi)至多有限多個元相交。設(shè)U、V是空間x的任二開覆蓋,如果U的每個元是V的

12、某個元的子集，則稱U加細V或U是V的一個加細。一個T2空間稱為仿緊空間是指對于它的每個開覆蓋V，存在一個局部有限的開覆蓋U加細V。緊空間和度量空間都是仿緊空間。</p><p>　　連通空間是有一類簡單的幾何圖形只由“一片”所組成，這就是連通空間的直觀含義。拓?fù)淇臻g稱為連通空間是指它不能表示為兩個不相交的不空開集的并。等價地，從它到由兩個點組成的離散空間的每個連續(xù)函數(shù)是常值的，即每一點的像皆相同。Rn是連通空間。

13、R1內(nèi)的連通子空間恰好是區(qū)間，包括帶一個或兩個端點的或不帶端點的，有限或無限的。每個緊連通空間稱為連續(xù)統(tǒng)。</p><p>　　Colin Adams Robert Franzosa在文獻[2]中通過大量例子和插圖，用生動的語言深入淺出地闡述了拓?fù)鋵W(xué)這門重要的、充滿魅力的數(shù)學(xué)課程。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓?fù)鋵W(xué)這門重要的、充滿魅力的課程的基本內(nèi)容；后七章作為第二部分，論述了拓?fù)鋵W(xué)的概念在其他

14、數(shù)學(xué)領(lǐng)域、科學(xué)以及工程方面的作用和意義。本書作為拓?fù)鋵W(xué)的入門課程，適用于對拓?fù)鋵W(xué)的應(yīng)用感興趣的各專業(yè)本科生與研究生。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓?fù)鋵W(xué)這門重要的、充滿魅力的課程的基本內(nèi)容；后七章作為第二部分，論述了拓?fù)鋵W(xué)的概念在各領(lǐng)域的作用和意義，這些領(lǐng)域包括數(shù)字圖像處理、遺傳工程、地理信息系統(tǒng)、機器人學(xué)、醫(yī)學(xué)（心臟搏動模型）、生物化學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、化學(xué)圖論、電子線路設(shè)計和宇宙學(xué)等。 在展開內(nèi)容時，先提供一個簡

15、短的、引人入勝的背景知識介紹，為引進有關(guān)的概念作鋪墊，并激發(fā)讀者學(xué)習(xí)和以后進一步鉆研的興趣。 提供了許多例子和插圖，并用生動的語言深入淺出地闡述了這門通常被認(rèn)為是很抽象的、很艱深的、望而生畏的數(shù)學(xué)課程。 注重啟發(fā)學(xué)生的思維，有利于科學(xué)獨創(chuàng)性的培養(yǎng)。除了反</p><p>　　梁基華，蔣繼光在文獻[3]中介紹了關(guān)于拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)知識。首先介紹了集，第一章介紹了映射與序結(jié)構(gòu)，其中包括集及其運算，映射

16、，序關(guān)系，笛卡兒與選擇公理4點介紹。第2章介紹了拓?fù)淇臻g，其中分為拓?fù)?、基與鄰域，閉包、內(nèi)部與分離性，連續(xù)映射與同胚，拓?fù)淇臻g中的極限——網(wǎng)與濾子的收斂，積空間5點介紹。第三章介紹了幾類重要的拓?fù)淇臻g，分為度量空間，具有函數(shù)分離性的空間，緊空間，連通空間與道路連通空間4點介紹。第五章介紹了拓?fù)渑c序結(jié)構(gòu)，連續(xù)格與拓?fù)洌琒ober空間與特殊序，局部緊空間，拓?fù)浔硎径ɡ?點介紹。</p><p>　　吉智方, 雙　龍,

17、 王瑞英在文獻[4]中是將分明拓?fù)鋵W(xué)中的楊忠道定理推廣到LF拓?fù)鋵W(xué)中, 其一般形式應(yīng)敘述為: “在L-Fuzzy 拓?fù)淇臻g中, 如果任意LF 分子的導(dǎo)集為閉集, 則任意LF 集的導(dǎo)集為閉集。”( 此定理已為筆者所證明并已投稿。) 這里所說的導(dǎo)集, 是[ 1] 中所定義的并為大家普遍認(rèn)可的導(dǎo)集概念。此外, 定理條件中的“LF 分子”也可改為“LF 點”, 為了區(qū)別“LF 分子”、“LF 點”兩種情形, 將定理分別稱為“分子式楊忠道定理”和

18、“點式楊忠道定理”。由于LF 分子是LF 點, 而LF 點不必是LF 分子,所以分子式楊忠道定理優(yōu)于點式楊忠道定理。在此之前, 已有若干作者以不同形式推廣了楊忠道定理: 文[ 2] 在L= [ 0, 1] 及文[ 3] 在L 是標(biāo)準(zhǔn)分子格的限制下證明了分子式楊忠道定理;文[ 4] 在對Fuzzy 格L 不再附加條件的情況下證明了點式楊忠道定理; 文[ 5] 引進了另一種導(dǎo)集——N 導(dǎo)集的概念, 證明了N 導(dǎo)集的點式楊忠道定理; 文[ 6

19、] 也引進了自己的導(dǎo)集概念并證明了相應(yīng)的點式楊忠道定理, 而對于相應(yīng)的分子式楊忠道定理是否成立, 則作</p><p>　　文中, 我們證明了強導(dǎo)集的點式楊忠道定理, 并用反例說明強導(dǎo)集的分子式楊忠道定理不成立。如無特殊申明, 文中術(shù)語與記號均源于[ 1] 。</p><p>　　尤龍在文獻[5]中定義拓?fù)淇臻g的分離性, 證明 拓?fù)淇臻g、 拓?fù)淇臻g與LF 拓?fù)淇臻g的其他幾個分離性是協(xié)調(diào)的,

20、 并考察它們的性質(zhì)。在文[ 1] 中, 作者給出了LF 拓?fù)淇臻g的一種分離公理, 即空間。設(shè) 是 拓?fù)淇臻g, 若對任二 點和, 當(dāng) 時, 有和 使, 或成立, 則稱 為強半正則空間, 稱ST1 的強半正則空間為空間。</p><p>　　郝俊玲在文獻[6]中通過一個例子說明定理設(shè) 是誘導(dǎo)的 拓?fù)淇臻g, 則下列條件等價:( 1) 是 拓?fù)淇臻g;( 2) 是拓?fù)淇臻g;( 3) 是拓?fù)淇臻g。證明中用到的一個結(jié)論是

21、錯誤的, 并給出該定理的一種正確證明。</p><p>　　方進明在文獻[7]中研究了L 記完備的完全分配格, 不要求其有逆序?qū)蠈?yīng). X 是非空的經(jīng)典集合. 記x 上所有集全體. 或, 分別記L和中非零并既約全體, 或中的元有時均稱作點. ,稱作是上的余拓?fù)涫侵? (1) (2 ) 對有限并及任意交運算封閉. 序?qū)Φ姆Q作是 拓?fù)淇臻g. 稱作是點的遠域,若存在,使得且.點x中的全體遠域記作,. 顯然 是中的理

22、想, 而是理想基.</p><p>　　模糊緊性理論是L2fuzzy拓?fù)鋵W(xué)中最重要的研究內(nèi)容之一, 許多學(xué)者對其進行了一系列的研究, 特別是王國俊教授提出的良緊性[ 1] 概念, 由于它充分反映了模糊拓?fù)鋵哟谓Y(jié)構(gòu)的特點, 保持了一般拓?fù)淇臻g中緊性的各種基本性質(zhì), 因而被國內(nèi)外學(xué)者廣泛采納。本文在引入并討論L2fuzzy預(yù)開集、預(yù)半開集等概念的基礎(chǔ)上, 從層次結(jié)構(gòu)入手引入L2拓?fù)淇臻g中的p2良緊性和ps2良緊性,

23、并給出了良緊性和良緊性的分子式、覆蓋式、具有有限交性質(zhì)的集族式等多種方式的特征刻劃。同時還證明了良緊性(良緊性) 對預(yù)閉子集(預(yù)半閉子集) 遺傳, 良緊子集在 連續(xù)映射下的像保持等基本性質(zhì)。馬保國;王延軍;姜金平在文獻[9]中首先討論了L2拓?fù)淇臻g中的預(yù)開集、預(yù)半開集等概念, 然后利用這些概念在L2拓?fù)淇臻g中提出了良緊集的概念, 研究了它們的基本特征, 討論了它們的一些基本性質(zhì)。</p><p>　　王昭海, 吳

24、洪博在文獻[10]中對點集拓?fù)鋵W(xué)中由導(dǎo)集運算決定拓?fù)涞姆椒ㄟM行了討論, 主要結(jié)果是, 設(shè)X是一個集合, 是集值映射, 若滿足: , ( 1) , ( 2) , ( 3) , ( 4)</p><p>　　, 則存在X 的唯一拓?fù)銽, 使得在拓?fù)淇臻g</p><p><b>　　中, , .</b></p><p>　　仿緊性是一般拓?fù)鋵W(xué)中

25、的一個重要概念, 如何將其推廣到不分明拓?fù)鋵W(xué)中, 已有許多較系統(tǒng)的研究工作(見3一7)王國俊在[7]中把[5]中的仿緊性與強仿緊性分別稱為1型強F仿緊性與2型強F仿緊性。這兩種類型的強F仿緊性是分別基于局部有限族與強局部有限族的概念提出的。它們皆是強F緊性的直接推廣且是一般拓?fù)渲邢鄳?yīng)概念的好的推廣。作者史福貴，鄭崇友在文獻[11]中引入了一種新的強F仿緊性----3型強F仿緊性, 它是基于局部有限族的概念提出的, 這種局部有限族概念可用

26、來刻劃強F可數(shù)緊性。3型強F仿緊性仍是一般拓?fù)鋵W(xué)中仿緊性的好的推廣且對閉子集遺傳。強F可數(shù)緊的3型強F仿緊集是強F緊集。強F緊集與3型強F仿緊集的乘積是型強仿緊集。在文種引入的層正則空間中, 有性質(zhì)的集是型強仿緊集。此外, 2型強仿緊集必是3型強仿緊的。</p><p>　　李堯龍在文獻[12]中定義了L - fuzzy 拓?fù)淇臻g中的相對與相對 分離性, 討論了相對T1 與相對T2 分離性的一系列性質(zhì), 證明了相

27、對 與相對 分離性是遺傳的、傳遞的( 弱) 同胚不變的, 并且具有可乘性, 并對相對 與 分離性, 相對 與 分離性作了比較。</p><p><b>　　總結(jié)部分</b></p><p>　　數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，我們生活的方方面面無不有數(shù)學(xué)的影子在里面，它不僅指導(dǎo)我們進行生產(chǎn)，學(xué)習(xí)，同時對我們認(rèn)識自然，了解事物的本質(zhì)都有著積極的作用。</p><

28、p>　　對拓?fù)淇臻g分離性的研究而言，它為其它多門科學(xué)研究提供了一個嶄新的數(shù)學(xué)工具，并且還有巨大的發(fā)展空間。</p><p><b>　　四、主要參考文獻：</b></p><p>　　[1].兒玉之宏,永見啟應(yīng).拓?fù)淇臻g論[M]. 科技出版社,2001.</p><p>　　[2].Colin Adams Robert Franzosa.

29、拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M]. 機械工業(yè)出版社，2010.4</p><p>　　[3]. 梁基華，蔣繼光.拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社，2005.</p><p>　　[4]. John L.Kelley ,Gengeral Topology[M]. Beijing World Publishing Corporation,2000.</p><p>　　[5].

30、吉智方, 雙　龍, 王瑞英L-Fuzzy 拓?fù)淇臻g中強導(dǎo)集的楊忠道定理X[J] 　　</p><p>　　?！『∠怠〗y(tǒng)　與　數(shù)　學(xué)，2001．9，15（3）40-41</p><p>　　[6]. 尤　飛; T212LF 拓?fù)淇臻g和ST 212LF 拓?fù)淇臻g的分離性X [J]長春師范學(xué)院學(xué)報;2001．12，１５（４）：７３－７４</p><p>　　[7].郝俊

31、玲; 關(guān)于“T212LF 拓?fù)淇臻g和ST 212LF 拓?fù)淇臻g的分離性”的一點注記X[J] 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2003.6，17（2）：109-110 </p><p>　　[8].方進明；極小正則LF拓?fù)淇臻g《數(shù)學(xué)年刊Ａ輯（中文版）》2000.5，21（A）585-586</p><p>　　[9].馬保國;王延軍;姜金平;; L2拓?fù)淇臻g中的p2良緊性* [J];重慶師范大學(xué)學(xué)報(自然科

32、學(xué)版);2006.4，23（4）10-11 </p><p>　　[10]王昭海;吳洪博; 由導(dǎo)集運算定義拓?fù)涞姆椒╝ [J];純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué);2006．02，22（2）21-22</p><p>　　[11]. 史福貴，鄭崇友. 一拓?fù)淇臻g中一種新型的強仿緊性；模糊系統(tǒng)與數(shù)[J].；1995．03，9 （3）40-48</p><p>　　[12].李堯龍;