關(guān)于拓撲空間分離性的研究文獻綜述

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　關(guān)于拓撲空間分離性的研究 　　　　　　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　前言部分:</b&

2、gt;</p><p>　　拓撲學是近代發(fā)展起來的一個研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學分支。中文名稱起源于希臘語Τοπολογ?α的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出于數(shù)學分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。發(fā)展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質(zhì)和不變量。</p><p>　　舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如

3、果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數(shù)。這些就是拓撲學思考問題的出發(fā)點。簡單地說，拓撲就是研究有形的物體在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。 </p><p>　　拓撲空間（to

4、pological space），賦予拓撲結(jié)構(gòu)的集合。如果對一個非空集合X給予適當?shù)慕Y(jié)構(gòu)，使之能引入微積分中的極限和連續(xù)的概念，這樣的結(jié)構(gòu)就稱為拓撲，具有拓撲結(jié)構(gòu)的空間稱為拓撲空間。引入拓撲結(jié)構(gòu)的方法有多種，如鄰域系、開集系、閉集系、閉包系、內(nèi)部系等不同方法。</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　拓撲學起初叫形勢分析學，這是G.W.萊布尼

5、茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質(zhì)，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質(zhì)，經(jīng)過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結(jié)和嵌入問題就是勢的問題)。隨后波蘭學派和蘇聯(lián)學派對拓撲空間的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問題，1750年發(fā)表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓撲學這個詞（中

6、文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文(位置、形勢)與(學問)。這是萌芽階段。 </p><p>　　1851年起，B.黎曼在復函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的系統(tǒng)研究，在點集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學的研究中黎曼明確提出n維流形的

7、概念(1854)。得出許多拓撲概念， </p><p>　　組合拓撲學的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關(guān)于復函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的，但他的方法有時不夠嚴密，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂

8、數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， </p><p>　　拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。他是在分析學和力學的工作中，實數(shù)的嚴格定義推動G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐式空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點極限點）、開集、閉集、稠密性、連

9、通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對象并討論其中的極限。這終于導致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀之交，已經(jīng)形成了組合拓撲學與點集拓撲學這兩個研究方向。</p><p>　　現(xiàn)將已有的文獻綜述如下：</p><p>　　兒玉之宏,永見啟應在文獻[1]中講到了緊空間，仿緊空間，連

10、通空間。其中緊空間說明的是拓撲空間x的子集族 U稱為x 的覆蓋是指x 可表為U的一切元的并。由開集組成的覆蓋叫開覆蓋。如果T2空間x的每個開覆蓋有一個有限子族仍是x的覆蓋，則x稱為緊空間。n維歐幾里得空間Rn中的有界閉集，即可以包含于某個球內(nèi)的閉集，作為Rn的子空間是緊空間。但Rn本身不是緊空間。任意一族緊空間的積空間仍是緊空間。連續(xù)映射把緊空間映成緊空間，只要映成的空間是T2的。與一個度量空間同胚的拓撲空間叫可度量空間。1924年，蘇

11、聯(lián)拓撲學家∏.C.烏雷松證明了：緊空間是可度量的當且僅當它是第二可數(shù)的。在第二可數(shù)或度量空間范圍內(nèi)，一個空間是緊的當且僅當它是列緊的，即是T2空間且它的每個點列有一個收斂子序列。</p><p>　　仿空間是1944年由法國數(shù)學家J.迪厄多內(nèi)提出的仿緊空間是緊空間的一種重要推廣。空間內(nèi)的一個子集族U稱為局部有限的是指空間內(nèi)每一點有一個鄰域與U內(nèi)至多有限多個元相交。設U、V是空間x的任二開覆蓋,如果U的每個元是V的

12、某個元的子集，則稱U加細V或U是V的一個加細。一個T2空間稱為仿緊空間是指對于它的每個開覆蓋V，存在一個局部有限的開覆蓋U加細V。緊空間和度量空間都是仿緊空間。</p><p>　　連通空間是有一類簡單的幾何圖形只由“一片”所組成，這就是連通空間的直觀含義。拓撲空間稱為連通空間是指它不能表示為兩個不相交的不空開集的并。等價地，從它到由兩個點組成的離散空間的每個連續(xù)函數(shù)是常值的，即每一點的像皆相同。Rn是連通空間。

13、R1內(nèi)的連通子空間恰好是區(qū)間，包括帶一個或兩個端點的或不帶端點的，有限或無限的。每個緊連通空間稱為連續(xù)統(tǒng)。</p><p>　　Colin Adams Robert Franzosa在文獻[2]中通過大量例子和插圖，用生動的語言深入淺出地闡述了拓撲學這門重要的、充滿魅力的數(shù)學課程。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓撲學這門重要的、充滿魅力的課程的基本內(nèi)容；后七章作為第二部分，論述了拓撲學的概念在其他

14、數(shù)學領(lǐng)域、科學以及工程方面的作用和意義。本書作為拓撲學的入門課程，適用于對拓撲學的應用感興趣的各專業(yè)本科生與研究生。本書分為兩部分，前七章作為第一部分，介紹了拓撲學這門重要的、充滿魅力的課程的基本內(nèi)容；后七章作為第二部分，論述了拓撲學的概念在各領(lǐng)域的作用和意義，這些領(lǐng)域包括數(shù)字圖像處理、遺傳工程、地理信息系統(tǒng)、機器人學、醫(yī)學（心臟搏動模型）、生物化學、化學、經(jīng)濟學、化學圖論、電子線路設計和宇宙學等。 在展開內(nèi)容時，先提供一個簡

15、短的、引人入勝的背景知識介紹，為引進有關(guān)的概念作鋪墊，并激發(fā)讀者學習和以后進一步鉆研的興趣。 提供了許多例子和插圖，并用生動的語言深入淺出地闡述了這門通常被認為是很抽象的、很艱深的、望而生畏的數(shù)學課程。 注重啟發(fā)學生的思維，有利于科學獨創(chuàng)性的培養(yǎng)。除了反</p><p>　　梁基華，蔣繼光在文獻[3]中介紹了關(guān)于拓撲空間的基礎(chǔ)知識。首先介紹了集，第一章介紹了映射與序結(jié)構(gòu)，其中包括集及其運算，映射

16、，序關(guān)系，笛卡兒與選擇公理4點介紹。第2章介紹了拓撲空間，其中分為拓撲、基與鄰域，閉包、內(nèi)部與分離性，連續(xù)映射與同胚，拓撲空間中的極限——網(wǎng)與濾子的收斂，積空間5點介紹。第三章介紹了幾類重要的拓撲空間，分為度量空間，具有函數(shù)分離性的空間，緊空間，連通空間與道路連通空間4點介紹。第五章介紹了拓撲與序結(jié)構(gòu)，連續(xù)格與拓撲，Sober空間與特殊序，局部緊空間，拓撲表示定理4點介紹。</p><p>　　吉智方, 雙　龍,

17、 王瑞英在文獻[4]中是將分明拓撲學中的楊忠道定理推廣到LF拓撲學中, 其一般形式應敘述為: “在L-Fuzzy 拓撲空間中, 如果任意LF 分子的導集為閉集, 則任意LF 集的導集為閉集?！? 此定理已為筆者所證明并已投稿。) 這里所說的導集, 是[ 1] 中所定義的并為大家普遍認可的導集概念。此外, 定理條件中的“LF 分子”也可改為“LF 點”, 為了區(qū)別“LF 分子”、“LF 點”兩種情形, 將定理分別稱為“分子式楊忠道定理”和

18、“點式楊忠道定理”。由于LF 分子是LF 點, 而LF 點不必是LF 分子,所以分子式楊忠道定理優(yōu)于點式楊忠道定理。在此之前, 已有若干作者以不同形式推廣了楊忠道定理: 文[ 2] 在L= [ 0, 1] 及文[ 3] 在L 是標準分子格的限制下證明了分子式楊忠道定理;文[ 4] 在對Fuzzy 格L 不再附加條件的情況下證明了點式楊忠道定理; 文[ 5] 引進了另一種導集——N 導集的概念, 證明了N 導集的點式楊忠道定理; 文[ 6

19、] 也引進了自己的導集概念并證明了相應的點式楊忠道定理, 而對于相應的分子式楊忠道定理是否成立, 則作</p><p>　　文中, 我們證明了強導集的點式楊忠道定理, 并用反例說明強導集的分子式楊忠道定理不成立。如無特殊申明, 文中術(shù)語與記號均源于[ 1] 。</p><p>　　尤龍在文獻[5]中定義拓撲空間的分離性, 證明 拓撲空間、 拓撲空間與LF 拓撲空間的其他幾個分離性是協(xié)調(diào)的,

20、 并考察它們的性質(zhì)。在文[ 1] 中, 作者給出了LF 拓撲空間的一種分離公理, 即空間。設 是 拓撲空間, 若對任二 點和, 當 時, 有和 使, 或成立, 則稱 為強半正則空間, 稱ST1 的強半正則空間為空間。</p><p>　　郝俊玲在文獻[6]中通過一個例子說明定理設 是誘導的 拓撲空間, 則下列條件等價:( 1) 是 拓撲空間;( 2) 是拓撲空間;( 3) 是拓撲空間。證明中用到的一個結(jié)論是

21、錯誤的, 并給出該定理的一種正確證明。</p><p>　　方進明在文獻[7]中研究了L 記完備的完全分配格, 不要求其有逆序?qū)蠈? X 是非空的經(jīng)典集合. 記x 上所有集全體. 或, 分別記L和中非零并既約全體, 或中的元有時均稱作點. ,稱作是上的余拓撲是指: (1) (2 ) 對有限并及任意交運算封閉. 序?qū)Φ姆Q作是 拓撲空間. 稱作是點的遠域,若存在,使得且.點x中的全體遠域記作,. 顯然 是中的理

22、想, 而是理想基.</p><p>　　模糊緊性理論是L2fuzzy拓撲學中最重要的研究內(nèi)容之一, 許多學者對其進行了一系列的研究, 特別是王國俊教授提出的良緊性[ 1] 概念, 由于它充分反映了模糊拓撲層次結(jié)構(gòu)的特點, 保持了一般拓撲空間中緊性的各種基本性質(zhì), 因而被國內(nèi)外學者廣泛采納。本文在引入并討論L2fuzzy預開集、預半開集等概念的基礎(chǔ)上, 從層次結(jié)構(gòu)入手引入L2拓撲空間中的p2良緊性和ps2良緊性,

23、并給出了良緊性和良緊性的分子式、覆蓋式、具有有限交性質(zhì)的集族式等多種方式的特征刻劃。同時還證明了良緊性(良緊性) 對預閉子集(預半閉子集) 遺傳, 良緊子集在 連續(xù)映射下的像保持等基本性質(zhì)。馬保國;王延軍;姜金平在文獻[9]中首先討論了L2拓撲空間中的預開集、預半開集等概念, 然后利用這些概念在L2拓撲空間中提出了良緊集的概念, 研究了它們的基本特征, 討論了它們的一些基本性質(zhì)。</p><p>　　王昭海, 吳

24、洪博在文獻[10]中對點集拓撲學中由導集運算決定拓撲的方法進行了討論, 主要結(jié)果是, 設X是一個集合, 是集值映射, 若滿足: , ( 1) , ( 2) , ( 3) , ( 4)</p><p>　　, 則存在X 的唯一拓撲T, 使得在拓撲空間</p><p><b>　　中, , .</b></p><p>　　仿緊性是一般拓撲學中

25、的一個重要概念, 如何將其推廣到不分明拓撲學中, 已有許多較系統(tǒng)的研究工作(見3一7)王國俊在[7]中把[5]中的仿緊性與強仿緊性分別稱為1型強F仿緊性與2型強F仿緊性。這兩種類型的強F仿緊性是分別基于局部有限族與強局部有限族的概念提出的。它們皆是強F緊性的直接推廣且是一般拓撲中相應概念的好的推廣。作者史福貴，鄭崇友在文獻[11]中引入了一種新的強F仿緊性----3型強F仿緊性, 它是基于局部有限族的概念提出的, 這種局部有限族概念可用

26、來刻劃強F可數(shù)緊性。3型強F仿緊性仍是一般拓撲學中仿緊性的好的推廣且對閉子集遺傳。強F可數(shù)緊的3型強F仿緊集是強F緊集。強F緊集與3型強F仿緊集的乘積是型強仿緊集。在文種引入的層正則空間中, 有性質(zhì)的集是型強仿緊集。此外, 2型強仿緊集必是3型強仿緊的。</p><p>　　李堯龍在文獻[12]中定義了L - fuzzy 拓撲空間中的相對與相對 分離性, 討論了相對T1 與相對T2 分離性的一系列性質(zhì), 證明了相

27、對 與相對 分離性是遺傳的、傳遞的( 弱) 同胚不變的, 并且具有可乘性, 并對相對 與 分離性, 相對 與 分離性作了比較。</p><p><b>　　總結(jié)部分</b></p><p>　　數(shù)學是一門基礎(chǔ)學科，我們生活的方方面面無不有數(shù)學的影子在里面，它不僅指導我們進行生產(chǎn)，學習，同時對我們認識自然，了解事物的本質(zhì)都有著積極的作用。</p><

28、p>　　對拓撲空間分離性的研究而言，它為其它多門科學研究提供了一個嶄新的數(shù)學工具，并且還有巨大的發(fā)展空間。</p><p><b>　　四、主要參考文獻：</b></p><p>　　[1].兒玉之宏,永見啟應.拓撲空間論[M]. 科技出版社,2001.</p><p>　　[2].Colin Adams Robert Franzosa.

29、拓撲學基礎(chǔ)及應用[M]. 機械工業(yè)出版社，2010.4</p><p>　　[3]. 梁基華，蔣繼光.拓撲學基礎(chǔ)[M].高等教育出版社，2005.</p><p>　　[4]. John L.Kelley ,Gengeral Topology[M]. Beijing World Publishing Corporation,2000.</p><p>　　[5].

30、吉智方, 雙　龍, 王瑞英L-Fuzzy 拓撲空間中強導集的楊忠道定理X[J] 　　</p><p>　　模　糊　系　統(tǒng)　與　數(shù)　學，2001．9，15（3）40-41</p><p>　　[6]. 尤　飛; T212LF 拓撲空間和ST 212LF 拓撲空間的分離性X [J]長春師范學院學報;2001．12，１５（４）：７３－７４</p><p>　　[7].郝俊

31、玲; 關(guān)于“T212LF 拓撲空間和ST 212LF 拓撲空間的分離性”的一點注記X[J] 模糊系統(tǒng)與數(shù)學，2003.6，17（2）：109-110 </p><p>　　[8].方進明；極小正則LF拓撲空間《數(shù)學年刊Ａ輯（中文版）》2000.5，21（A）585-586</p><p>　　[9].馬保國;王延軍;姜金平;; L2拓撲空間中的p2良緊性* [J];重慶師范大學學報(自然科

32、學版);2006.4，23（4）10-11 </p><p>　　[10]王昭海;吳洪博; 由導集運算定義拓撲的方法a [J];純粹數(shù)學與應用數(shù)學;2006．02，22（2）21-22</p><p>　　[11]. 史福貴，鄭崇友. 一拓撲空間中一種新型的強仿緊性；模糊系統(tǒng)與數(shù)[J].；1995．03，9 （3）40-48</p><p>　　[12].李堯龍;