在發(fā)明中學習-----線性代數(shù)概念的引入

1、在發(fā)明中學習 ----- 線性代數(shù) 概念的引入,李尚志 中國科學技術大學,隨風潛入夜:知識的引入,之一、線性方程組的解法 加減消去法?方程的線性組合 ? 原方程組的解是新方程的解是否有“增根”？ ? 互為線性組合:等價變形 ? 初等變換 ? 高斯消去法,,只用到系數(shù)的運算? 行向量表示方程?數(shù)組向量 矩陣表示方程組?矩陣的初等變換只用到系數(shù)的加減乘除?數(shù)域,之二、

2、線性相關與線性無關,一、方程個數(shù)的真與假 方程組 有幾個方程？ 3個? 2個?,,某個方程是其余方程的線性組合 ? 線性相關,例1 如下向量 u，v，w 是否共面?,(1) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (3,2,6).,(2) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w= (1,-3,13).,(3) u= (1,1,1);

3、 v = (2,1,5); w= (1,-3,6).,有解 λ1 = - 7, λ2 = 4, -7u+4v = w,解 (1) 易見 u+v =w, 這三個向量共面.,(2) 解方程組求實數(shù)λ1, λ2 使,(3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w = (1,-3,6).方程組 λ1 u+ λ2 v = w無解。還需解 λ1 u+ λ3 w = v, 仍無解。還需解 λ2 v + λ3 w = u

4、, 仍無解。解三個方程太繁瑣！只須解一個方程 λ1 u+ λ2 v+ λ3 w = 0有(無)非零解??線性相(無)關,對任意向量 a, b, gλ1 a+ λ2 b+ λ3 g = 0有(無)非零解??線性相(無)關當λ3 不為 0, 當λ2不為 0, 當λ1不為 0,,二、線性相關(無關)的定義,V是數(shù)域F上向量空間,u1,…,um 是V中向量. 如果存在 F 中不全為0的數(shù)

5、 使,(2.1),就稱向量組 u1,…,um 線性相關.,反之,如果(2.1) 僅當,成立,就稱向量組 u1,…,um 線性無關.,可以看成關于未知數(shù) 的方程。方程有(無)非零解 ?? 向量組線性相(無)關,例2. 求方程的實數(shù)解,則原方程為: u + v = w 我們有: -7u2+ 4v2 = w2將原方程代入:-7u2+ 4v2 = (u+v)2整理得 - 8u2-2uv+3v2 = 0 分

6、解因式得 (v-2u)(3v+4u) = 0v=2u,,解:令,方程組線性相關 ?有多余的方程（是其余方程的線性組合）刪去多余的方程 ---- 打假將打假進行到底?極大線性無關組剩下的方程的個數(shù)---- 秩rank,三、極大線性無關組，秩,秩的唯一性,方程組(A1 , A2 , A3) 與(B1 , B2) 互為線性組合A1= a11B1+a12 B2 A2= a21B1+a22 B2 A3=

7、 a31B1+a32 B2x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 = 0 : (a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a32x3)B2 = 0 未知數(shù)個數(shù)3 > 方程個數(shù)2 ? 方程組有非零解 (x1, x2, x3) ? A1 , A2 , A3 線性相關. 方程可以換成任意對象,只要仍有加法和數(shù)乘且滿足運算律,證明仍成立 ? 抽象向量空間,四、

8、線性相關(無關)的重要應用 --- 基、坐標與維數(shù),在3維幾何向量組成的空間V中, 我們?nèi)?個不共面的向量α1, α2, α3組成一組基, 將空間中每個向量u唯一地寫成α1, α2, α3 的線性組合:α=xα1+yα2+zα3 將3個系數(shù)組成的數(shù)組(x,y,z)稱為α的坐標, 用來代表α.,為什么V中每個向量α都能寫成這三個向量α1, α2, α3的線性組合? 為什么系數(shù)x,y,z是唯一的? 在

9、任意域F的線性空間V中能否類似地找到一組向量α1, α2,…, αn組成一組基, 使得V中的每個向量α都能唯一地寫成這組向量的線性組合, 從而可以將線性組合的系數(shù)組成坐標來代表這個向量? 如果能, 這組基α1, α2,…, αn應當滿足什么樣的條件?,例3 設V是數(shù)域F上線性空間, {u1, u2,…, un }是V中的向量組成的向量組. 假如V中向量u能寫成u1, u2,…, un 的線性組合 u =

10、 x1u1+x2u2+…+xnun (4.1)在什么情況下, 由 u = x1u1+x2u2+…+xnun = y1u1+y2u2+…+ynun可以推出 xi = yi, i = 1,2,…,n從而線性組合式 (2.5) 中的系數(shù)x1,x2,…,xn由u唯一決定?,解,當且僅當u1, u2,…, un線性無關時, 由 (

11、4.3) 可得,x1u1+x2u2+…+xnun = y1u1+y2u2+…+ynun (4.2),(x1-y1)u1+(x2-y2)u2+…+(xn-yn)un = 0 (4.3),由此可知, 當且僅當u1, u2,…, un線性無關時, 凡是能由u1,u2,…,un線性組合出來的向量,u = x1u1+x2 u2+…+xnun,,此線性組合表達式中的系數(shù)x1,x2,…,x

12、n就由u唯一決定, 可以組成坐標(x1,x2,…,xn) 來表示向量u .,為了將V中所有的向量都用坐標來表示, 還需要選取這樣的線性無關向量組{u1, u2,…, un}, 使V中所有的向量都能表示成u1, u2, … , un的線性組合.,定義 設V是數(shù)域F上的線性空間. 如果V上存在一組由有限個向量組成的線性無關向量組,α=x1α1+x2α2+…+xnαn, (4.4),B ={α1, α2,…,αn},使 V 中每

13、個α 都能寫成 B 中向量的線性組合,則V稱為有限維線性空間, B稱為V的一組基,B中向量個數(shù) n 稱為V的維數(shù)。表達式(4.4) 中的線性組合系數(shù)組成的數(shù)組(x1,x2,…,xn) 稱為 α 在基B下的坐標。,例 4 已知向量組 u1,u2,u3線性無關.試判斷 u1+u2,u2+u3,u3+u1線性相關還是線性無關,解法1 設數(shù)λ1 ,λ2 ,λ3滿足條件,(4.5),(4.6),由于u1,u2,u3線性無關, (4.6)

14、成立僅當,(4.7),解法2 以u1,u2,u3為子空間的基, 將所要判斷的向量寫成坐標 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).,,方程組(4.7) 只有零解. u1, u2, u3 線性無關。,五、齊次線性方程組的解集,齊次線性方程組,可寫成 (5.2),(5.1),其中,,?,齊次線性方程組的解集是子空間。 解空間維數(shù)