第十八講等腰三角形

1、第十八講等腰三角形,一、等腰三角形的判定與性質1.判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也_____(簡寫為“___________”).,相等,等角對等邊,2.性質：(1)等腰三角形的兩個底角_____(簡寫為“___________”).(2)等腰三角形頂角的_______、底邊上的高和底邊上的_____互相重合(簡寫成“三線合一”).(3)等腰三角形是_______圖形，底邊上的中線(或底邊上的高或

2、頂角的平分線)所在的直線是它的對稱軸.,相等,等邊對等角,平分線,中線,軸對稱,二、等邊三角形的判定與性質1.判定：(1)三個角_______的三角形是等邊三角形.(2)有一個角等于60°的_____三角形是等邊三角形.2.性質：(1)等邊三角形的三個內角都_____，并且每一個角都等于______.(2)等邊三角形是軸對稱圖形，并且有___條對稱軸.,都相等,等腰,60°,三,相等,三、線段的垂直平分

3、線1.性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離_____.2.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的___________上.,相等,垂直平分線,【思維診斷】(打“√”或“×”)1.等腰三角形一定有兩個角相等.　( )2.有兩個角相等的三角形是等腰三角形.　( )3.等腰三角形的一個底角是鈍角.　( )4.等腰三角形兩腰上的高相等.　( )5.等腰三角形的高、中線與角平分

4、線互相重合.　( )6.等邊三角形的每個角都等于60°.　( )7.MN是過線段AB中點的直線，點P在MN上，則PA=PB.　( ),√,√,×,√,×,√,×,熱點考向一 等腰三角形的性質與判定 【例1】(2013·荊門中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上.(1)求證：BE=CE.(2)若BE的延長線交AC于點F，且B

5、F⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其他條件不變.求證：△AEF≌△BCF.,【思路點撥】(1)等腰三角形三線合一→∠BAE=∠CAE→△ABE≌△ACE→得證(2)證△ABF為等腰直角三角形→AF=BF→證∠EAF=∠CBF→得證,【自主解答】(1)∵AB=AC，D是BC的中點，∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，∴△ABE≌△ACE，∴BE=C

6、E.,(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF為等腰直角三角形，∴AF=BF.由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF.在△AEF和△BCF中，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∠EAF=∠CBF，∴△AEF≌△BCF.,【規(guī)律方法】等腰三角形常用的“兩種判別方法”1.需證明三角形的兩邊相等.2.證明有兩個角相等，用等角對等邊判別.,【真題專練】1.(2014·鹽城中考)

7、若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數(shù)為　(　　)A.40°B.50°C.60°D.70°【解析】選D.因為等腰三角形的兩個底角相等，又因為頂角是40°，所以其底角為 .,2.(2014·玉林、防城港中考)在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為20cm，則AB邊的取值范圍是　(　　)A.1cm<AB<4cm

8、B.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm【解析】選B.∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周長為20cm，∴設AB=AC=xcm，則BC=(20-2x)cm，∴解得5cm<x<10cm.,2x＞20-2x，20-2x＞0，,,3.(2014·呼和浩特中考)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底

9、角的度數(shù)為　　　　　.【解析】如圖分兩種情況：①若三角形為銳角三角形，則底角的度數(shù)為63°；②若三角形為鈍角三角形，則底角為27°.答案：63°或27°,4.(2014·泰安中考)如圖，∠ABC=90°，D，E分別在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M.(1)求證：∠FMC=∠FCM.(2)AD與MC垂直嗎？并說明理由.,

10、【解析】(1)∵△ADE是等腰三角形，F(xiàn)是AE的中點，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM，∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM.,(2)AD⊥MC，理由是：由(1)知∠MFC=90°，F(xiàn)D=FE，F(xiàn)M=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，又

11、∵AD⊥DE，∴AD⊥MC.,熱點考向二 等邊三角形的性質與判定 【例2】(2014·溫州中考)如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.(1)求∠F的度數(shù).(2)若CD=2，求DF的長.,【思路點撥】(1)根據(jù)平行線的性質可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內角和定理即可求解.(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形

12、的性質即可求解.,【自主解答】(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°.,(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形，∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4.,【

13、規(guī)律方法】活用等邊三角形的性質等邊三角形是特殊的等腰三角形，解題時，要靈活運用下列性質：(1)三條邊相等.(2)三個角相等，并且都等于60°.(3)是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸.(4)具有“等邊對等角”及“三線合一”的性質.,【真題專練】1.(2013·黔西南中考)如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　　　　度.,【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠AC

14、B=60°，∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°.答案：15,2.(2014·益陽中考)如圖，將等邊△ABC繞頂點A順時針方向旋轉，使邊AB與AC重合得△ACD，BC的中點E的對應點為F，則∠EAF的度數(shù)是　　　　.【解析】∵△ABC是等邊三角形，E是BC的中點，∴∠CAE=30°.根

15、據(jù)旋轉的性質，知∠CAE=∠DAF=30°，∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°.答案：60°,【方法技巧】判定等邊三角形的方法(1)根據(jù)定義：有三條邊相等的三角形是等邊三角形.(2)根據(jù)判定定理：①有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；②三個角相等的三角形是等邊三角形.,3.(2012·瀘州中考)如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點，以CD為邊作等

16、邊三角形CDE，使點E，A在直線DC的同側，連接AE.求證：AE∥BC.,【解題指南】先證明∠BCD=∠ACE，再根據(jù)SAS證明△DBC≌△EAC，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行證明AE∥BC.,【證明】∵△ABC和△EDC是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC，∴△DBC≌△EAC(

17、S.A.S.)，∴∠DBC=∠EAC.又∵∠DBC=∠ACB=60°，∴∠ACB=∠EAC，∴AE∥BC.,熱點考向三 線段垂直平分線的性質與判定 【例3】(2013·泰州中考)如圖，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則△ABD的周長為　　　　cm.,【思路點撥】由BC的垂直平分線l與AC相交于點D知BD=CD，所以AD+BD=AD+CD=AC.【自主解答】∵B

18、C的垂直平分線l與AC相交于點D，∴BD=DC，∴△ABD的周長=AB+AC=6cm.答案：6,【規(guī)律方法】線段垂直平分線的應用特征1.線段垂直平分線中的兩組線段相等：(1)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.(2)被垂直平分的線段，被分為兩條相等的線段.2.當出現(xiàn)“垂直平分”字眼或題目中有垂直，且垂足是中點時，要聯(lián)想到線段垂直平分線的性質.,【真題專練】1.(2013·仙桃中考)如圖，在△ABC中，A

19、B=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為　(　　)A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm,【解析】選C.連接MA，NA.∵AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120&#

20、176;，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN= BC=2cm.,2.(2014·賀州中考)如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，則∠A的度數(shù)是　　　.,【解析】∵MN是AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴

21、∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°.答案：50°,【知識歸納】線段垂直平分線的兩個條件線段的垂直平分線必須滿足兩個條件：①經(jīng)過線段的中點；②垂直于線段.這兩個條件缺一不可.,3.(2014·白銀中考

22、)如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.(1)用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE，交AC于點D，交AB于點E.(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明).(2)連接BD，求證：BD平分∠CBA.,【解析】(1)如圖所示，DE就是要求作的AB邊上的垂直平分線.(2)∵DE是AB邊上的垂直平分線，∠A=30°∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°.∵∠C=90°，,∴∠AB

23、C=90°-∠A=90°-30°=60°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠CBA.,【知識歸納】線段垂直平分線與角平分線的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：1.都有“平分、距離相等”的特點.2.線段的垂直平分線是線段的對稱軸；角平分線所在的直線是角的對稱軸.區(qū)別：線段的垂直平分線是一條直線；角平分線是一條射線.,命題

24、新視角 坐標系中的等腰三角形【例】(2013·昆明中考)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2，3)，在坐標軸上找一點P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有　　　　個.,【審題視點】,【自主解答】如圖所示，使得△AOP是等腰三角形的點P共有8個.答案：8,【規(guī)律方法】抓住關鍵，尋找第三個頂點在直角坐標系中尋找等腰三角形第三個頂點的關鍵：1.底邊垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，由此尋找等腰三角形底邊所對

25、的頂點.2.以頂點為圓心，以腰長為半徑畫圓，尋找底邊的另一個端點.,【真題專練】1.(2013·萊蕪中考)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為(1， )，M為坐標軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為　(　　)A.4B.5C.6D.8,【解析】選C.連接OA，因為點A的坐標為(1， )，O為原點，所以OA=2，以O為等腰三角形的頂點時，則以點O為圓心，2為半徑畫圓

26、，則☉O與坐標軸共有4個交點；以A為等腰三角形的頂點時，則以點A為圓心，2為半徑畫圓，則☉A只與x軸正半軸，y軸正半軸相交，有2個交點，其中與x軸正半軸的交點與以O為圓心，以2為半徑的圓與x軸的正半軸的交點重合；以M為等腰三角形的頂點時，則作OA的垂直平分線交y軸于一點，交x軸于一點，其中與x軸的交點與上述重合.綜上，故滿足條件的點M的個數(shù)為6.,2.(2013·玉林中考)如圖，在平面直角坐標系中，O是原點，已知A

27、(4，3)，P是坐標軸上的一點，若以O，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有　　　　個，寫出其中一個點P的坐標是　　　　.,【解析】如圖所示，滿足條件的點P有8個.分別為(5，0)(8，0)(0，5)(0，6)(-5，0)(0，-5) .答案：8　(5，0)(答案不唯一，寫出8個中的一個即可),3.(2013·涼山中考)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C的坐

28、標分別為(10，0)，(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為　　　　　　.,【解析】由題意，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況：(1)如答圖①所示，PD=OD=5，點P在點D的左側.過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得 ∴OE=OD-DE=5-3=2，∴此時點P坐標為(2，4).,(2

29、)如答圖②所示，OP=OD=5.過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4.在Rt△POE中，由勾股定理，得 ，∴此時點P坐標為(3，4).,(3)如答圖③所示，PD=OD=5，點P在點D的右側.過點P作PE⊥x軸于點E，則PE=4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得 ，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此時點P坐標為(8，4).綜上所

30、述，點P的坐標為：(2，4)或(3，4)或(8，4).答案：(2，4)或(3，4)或(8，4),【易錯提醒】注意分類討論思想在幾何問題中的應用.本題符合題意的等腰三角形有三種情形，注意不要遺漏.,【典例】(2012·龍東中考)等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為　　　　.,【誤區(qū)警示】,【規(guī)避策略】(1)確定底和腰.當已知等腰三角形的兩邊時，要先確定哪條邊作腰或底邊，分情況進行討論.(2)注意高的位置.當?shù)妊?/p>