中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)

1、【第1頁共8頁】微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造1原函數(shù)法原函數(shù)法此法是將結(jié)論變形并向羅爾定理的結(jié)論靠攏，湊出適當(dāng)?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點：(1)將要證的結(jié)論中的換成；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易?x消除導(dǎo)數(shù)符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導(dǎo)數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)()Fx例1：證明柯西中值定理分析：在柯西中值定理

2、的結(jié)論中令，得()()()()()()fbfafgbgag?????x??，先變形為再兩邊同時積分得()()()()()()fbfafxgbgagx???()()()()()()fbfagxfxgbga???A，令，有故()()()()()()fbfagxfxCgbga????A0C?()()()()0()()fbfafxgxgbga????A為所求輔助函數(shù)()()()()()()()fbfaFxfxgxgbga????A例2：若…是使

3、得的實數(shù)證明方程0a1a2ana1200231naaaan??????…在（0，1）內(nèi)至少有一實根20120nnaaxaxax?????…證：由于2231120120()231nnnnaaaaaxaxaxdxaxxxxCn?????????????……并且這一積分結(jié)果與題設(shè)條件和要證明的結(jié)論有聯(lián)系，所以設(shè)（?。?，則231120()231nnaaaFxaxxxxn???????…0C?1）在[0，1]上連續(xù)()Fx2）在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)(

4、)Fx3）=0，(0)F120(1)0231naaaFan???????…故滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，存在使，即()Fx(01)??()0F??亦即231120()0231nnxaaaaxxxxn?????????…20120nnaaaa????????…【第3頁共7頁】例5：證明拉格朗日中值定理分析：通過弦兩個端點的直線方程AB為，則函數(shù)()()()()fbfayfaxaba?????與直線AB的方程之差即函數(shù)()fx在兩()(

5、)()()[()()]fbfaFxfxfaxaba??????個端點處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例6：若在上連續(xù)且試證在內(nèi)至少有一點，()fx[]ab()()faafbb??()ab?使()f???分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù)的圖形曲線必跨越這一條()yfx?yx?直線，而兩者的交點的橫坐標(biāo)，恰滿?足進而還可由圖知道，對上的同()f???[]ab一自變量值，這兩條曲線縱坐標(biāo)之差構(gòu)x()

6、fxx?成一個新的函數(shù)，它滿足0因()gx()ga()gb而符合介值定理的條件當(dāng)為的一個零點時，恰等價于因?()gx()0g??()f???此即知證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)()()gxfxx??4常數(shù)常數(shù)k值法值法此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點：1）將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為k2）恒等變形使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代a()fab()fb數(shù)式3）觀察分析關(guān)于端點的表達式是否為對稱式若是，則把其中一個端點設(shè)為