《數學史》第13章20世紀數學概觀(ⅲ)

1、第13章,20世紀數學概觀(Ⅲ),現代數學成果十例,,13.1 哥德爾不完全性定理 哥德爾是奧地利著名數學家,不完備性定理是他在1931年于《論及有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題》中提出來的。 這一理論使數學基礎研究發(fā)生了劃時代的變化,更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑,哥德爾,哥德爾（1906—1978）生于捷克的布爾諾，卒于美國普林斯頓。早年在維也納大學攻

2、讀修讀理論物理、基礎數學，后來又轉研數理邏輯、集合論。但1940年代中就將注意力投放在哲學上，并參加哲學小組活動。 1930年獲博士學位。其博士論文證明了「狹謂詞演算的有效公式皆可證」。之后在維也納大學工作。 1938年到美國普林斯頓高等研究院任職，1948年加入美國籍。1953年成為該所教授。,,哥德爾發(fā)展了馮·諾伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要貢獻在邏輯學和數學基礎方面。 在20世

3、紀初，他證明了哥德爾不完全性定理,這一著名結果發(fā)表在1931年的論文中。 他還致力于連續(xù)統(tǒng)假設的研究，在1930年采用一種不同的方法得到了選擇公理的相容性證明。3年以后又證明了（廣義）連續(xù)統(tǒng)假設的相容性定理，并于1940年發(fā)表。他的工作對公理集合論有重要影響，而且直接導致了集合和序數上的遞歸論的產生。,性格,哥德爾是個要求嚴格的人。因此，他很多的想法在生前都沒有正式發(fā)表甚至記錄，要逝世后從其手稿找出。 　　他

4、不喜歡談論自己或受到注目。哥德爾曾要求王浩在死后才可以發(fā)表一篇有關他的傳記。他在學術研究之外的東西，都不公開發(fā)表意見。 　　他亦討厭旅行。 　　他自幼多病，而且從小便患了疑病癥。他還患過抑郁癥。后來他在普林斯頓的醫(yī)院絕食而死，因為他認為那些食物有毒。,國籍,雖然他的傳記列出很多國家，他通常被視為奧地利人。 他出生在奧匈帝國的布爾諾，在十二歲時成為捷克斯洛伐克公民，在二十三歲時成為奧地利公民。當希特勒吞并奧地

5、利時，哥德爾自動成為德國人。 1948年4月，哥德爾夫婦宣誓成為美國公民。在獲得美國公民前接受面試時，若不是愛因斯坦等老朋友的拼命阻止，哥德爾對美國憲法較真的探究將使例行的審核程序難以進行下去。,,哥德爾第一不完全定理　　設系統(tǒng)S包含有一階謂詞邏輯與初等數論，如果S是一致的，則下文的T與非T在S中均不可證。 哥德爾第二不完全定理　　如果系統(tǒng)S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。,,第

6、一不完備性定理　　任意一個包含算術系統(tǒng)在內的形式系統(tǒng)中，都存在一個命題，它在這個系統(tǒng)中既不能被證明也不能被否定。 第二不完備性定理 任意一個包含算術系統(tǒng)的形式系統(tǒng)自身不能證明它本身的無矛盾性。,但是哥德爾不完全性定理的影響遠遠超出了數學的范圍。它不僅使數學、邏輯學發(fā)生革命性的變化，引發(fā)了許多富有挑戰(zhàn)性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。 2002年8月17日，著名宇宙

7、學家霍金在北京舉行的國際弦理論會議上發(fā)表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認為建立一個單一的描述宇宙的大統(tǒng)一理論是不太可能的，這一推測也正是基于哥德爾不完全性定理。,哥德爾不完全性定理的影響,哥德爾不完全性定理的影響,哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數學家兩千年來的信念。 他告訴我們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。某種意義上，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。 無怪

8、乎大數學家外爾發(fā)出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”,13.2 高斯-博內公式的推廣,,,高斯－博內公式有許多重要應用，其中之一就是關于曲面上向量場奇點的龐加萊定理: 設S是緊致無邊界的可定向曲面。對于S上任何只有孤立奇點的向量場,它在所有奇點處的指標之和等于S的歐拉示性數。因為球面（以及與球面同胚的閉曲面）的歐拉示性數為2,所以球面上的向量場

9、必有奇點。 這一點可比喻如下：若把地球上各地的風速看成一個向量場，則任何時候地球上總有一個地方沒有風。,,陳省身生于1911年，15歲考上南開大學，是第一位獲得國際數學界最高榮譽“沃爾夫數學獎”的華人。 1943年，32歲的陳省身完成了關于高斯-博內公式的簡單內蘊證明， 這篇論文被譽為數學史上劃時代的論文，他因此被國際數學界尊稱為“微分幾何之父”。 1985

10、年，陳省身創(chuàng)辦南開大學陳省身數學研究所，培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的青年數學家，為我國的數學事業(yè)做出了重大貢獻。2000年，89歲的陳省身葉落歸根，定居母校南開大學，九旬高齡時仍親自為本科生講課、指導研究生。,,13.3 米爾諾怪球,米爾諾,約翰·米爾諾（1931－），美國數學家。他的主要貢獻在于微分拓撲、K-理論和動力系統(tǒng)及其著作。他曾獲得1962年度菲爾茲獎、1989年度沃爾夫獎及2011年度阿貝爾獎。,生平,米爾諾出

11、生于美國新澤西州奧蘭治。在普林斯頓大學就讀本科期間，證明了Fary–Milnor定理。之后，他在進入普林斯頓大學的研究生院，并完成了論文《Isotopy of Links》。獲得博士學位后，他繼續(xù)在普林斯頓工作。 　　1962年，米爾諾因他在微分拓撲領域的工作獲得菲爾茲獎。之后，他又獲得了美國國家科學獎章（1967年）、Leroy P Steele Prize（1982年，2004年，2011年）、沃爾夫獎（1989年）。他還著有許

12、多出色的書籍。這些書通俗，簡潔而又嚴謹。 　　2011年，他因其“在拓撲，幾何和代數的開拓性發(fā)現” 獲得了阿貝爾獎。作為回應，他告訴《新科學家》，“這感覺非常好”(“It feels very good”)，并說“早上6點的電話總是讓人感到意外?！?,微分拓撲學在20世紀50年代由于米爾諾等的工作而進入了黃金時期。 此前，數學家們都以為在流形上只存在一種微分結構。但1956年，美國數學家米爾諾卻在七維球面

13、上找到了28種不同的微分結構。這一令人震驚的結論為這種七維流形贏來了“米爾諾怪球”的著稱。 米爾諾怪球觸發(fā)的微分拓撲學的發(fā)展可以說是奇峰迭起。其中尤以4維歐幾里得空間微分流形的有關結論最為引人注目。,,1980年以前，數學家們已經證明了，除4維外，所有的歐幾里得空間都只具有一種微分結構。1982年，英國牛津大學的數學家唐納爾遜證明了在4維歐幾里得空間上存在著與通常不同的微分結構。也就是說世界數學家和物理學

14、家們從牛頓時代以來所慣用的微分結構并不是唯一可能的。 不久又有人證明了在4維歐幾里得空間上可以有無窮多種微分結構，通常的微分結構只不過是其中之一。究竟是什么原因造成了四維時空的與眾不同。數學家們目前還不能回答這個事關重大的問題。,,13.4 阿蒂亞-辛格指標定理 阿蒂亞-辛格指標定理可以 敘述為： “對任何一個線性橢圓微分算子D，下面的公式成立： D的分析指標 = D的

15、拓撲 指標?！?阿蒂亞-辛格指標定理,M.F.阿蒂亞生于英國，阿蒂亞給出了阿蒂亞-辛格指標定理，解決了李群表示論等，把不動點原理推廣到一般形式。 阿蒂亞1929年4月22日生于倫敦，1949年入劍橋三一學院學習，1952年畢業(yè)，1955年獲博士學位，1954—1958年任研究員，1958—1961年任講師，1961年去牛津大學任高級講師，1963—1969年任塞維爾幾何講座教授：1969一1972年任美國普林

16、斯頓高等研究院數學教授。 1973年回牛津任皇家學會研究教授，199O年回劍橋任三一學院院長。,,阿蒂亞-辛格指標定理,阿蒂亞的最重大貢獻是同辛格在1963年證明了指標定理，把拓撲不變量通過解析不變量來表示。由這個定理可以推出許多數學上的重要定理，其證明也涉及數學上諸多領域，特別是偏微分算子和他參與建立的K理論。 K理論是第一個重要的廣義上同調理論。有廣泛應用，英國拓撲學家亞

17、當斯（J.Adams）曾用來解決球面上獨立向量場的數目問題。 到1970年阿蒂亞啟動新一輪研究，即規(guī)范理論和拓撲與幾何關系，進而導致20世紀最后25年低維拓撲及幾何和理論物理如量子場論與弦論的奇妙關系的發(fā)現，它把拓樸、幾何和物理都帶到一個全新的境界。,,阿蒂亞是英國倫敦皇家學會會員，美國國家科學院和法國科學院外籍院士，1983年獲爵上稱號，1990—1995年任皇家學會會長，1990年他任新建牛頓數學科 學

18、研究所首任所長，在這些位置上對科學政策、教育與研究方向發(fā)揮重大作用。,,13.5 孤立子與非線性偏微分方程 （1965）,,13.6 四色問題（1976）,,13.7 分形與混沌（1977）,,13.8 有限單群分類（1980）,,13.9 費馬大定理的證明（1994）,,13.10 若干著名未覺猜想的進展,13.11 未來的挑戰(zhàn),13.11.1 龐加萊猜想；13.1