《數學史》20世紀數學概觀(ii)(上)

1、第12章,20世紀數學概觀(Ⅱ),空前發(fā)展的應用數學,,12.1 應用數學的新時代,數學的廣泛滲透與應用，是它一貫的特點，但在數學史上，數學的應用在不同時期的發(fā)展是不平衡的． 18世紀是數學與力學緊密結合的時代；19世紀是純粹數學形成的時代；20世紀則可以說既是純粹數學的時代，又是應用數學的時代． 特別是20世紀40年代以后，數學以空前的廣度與深度向其他科學技術和人類知識領域滲透，加上電子計算機的

2、推助，應用數學的蓬勃發(fā)展已形成為當代數學的一股強大潮流．應用數學的這個新時代具有以下幾方面的特點．,(1)數學的應用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透．,19世紀70、80年代，還是在現代數學發(fā)展的早期，恩格斯曾經對數學應用的狀況作過這樣的估計：“在固體力學中是絕對的，在氣體力學中是近似的，在流體力學中已經比較困難了，在物理學中多半是嘗試性的和相對的，在化學中是最簡單的一次方程式，在生物學中等于零”． 從那以

3、后經過一個多世紀的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的狀況有了根本的改觀．數學正在向包括從粒子物理到生命科學、從航空技術到地質勘探在內的一切科技領域進軍．,數學在物理學中的應用經歷了一系列激動人心的重大事件；現代化學為了描述化學過程已少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數學家都感到棘手的非線性方程；生物學不用數學的時代也已一去不返． 除了自然科學，在經濟學、社會學、歷史學等社會科學部門中，數學方法的應用也在嶄露頭角．與以

4、往時代不同的是，數學在向外滲透過程中越來越多地與其他領域相結合而形成一系列交叉學科，如數學物理、數理化學、生物數學、數理經濟學、數學地質學、數理氣象學、數理語言學、數理心理學、數學考古學，……等等，它們的數目還在增加．,(2)純粹數學幾乎所有的分支都獲得了應用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透．,在20世紀60年代，像拓撲學這樣的抽象數學離實際應用似乎還很遙遠．然而正如我們在下面要講到的，拓撲學在今天的物理學、生物學和經濟學中正在扮演重

5、要角色． 在凝聚態(tài)物理中分類晶體結構的“缺陷”及液晶理論中所用到的某些齊性空間中同倫群的計算，即使對專業(yè)的代數拓撲學家也是很難的問題；,數論曾經被英國數學家哈代看成是“無用”和“清白”的學問，哈代說“至今還沒有人能發(fā)現有什么火藥味的東西是數論或相對論造成的”，并預言“將來很多年也不會有人能夠發(fā)現這類事情”。 但1982年以來，哈代所鐘愛的“清白”學問數論，已經在密碼技術(“公開密鑰”系統(tǒng))、衛(wèi)

6、星信號傳輸、計算機科學和量子場論等許多部門發(fā)揮重要的有時是關鍵的作用．,(3)現代數學對生產技術的應用變得越來越直接．,以往數學工具直接用于生產技術的事例雖有發(fā)生，但數學與生產技術的關系基本上是間接的：常常是先應用于其他科學(如力學、天文學)，再由這些科學提供技術進步的基礎． 20世紀下半葉以來，數學科學與生產技術的相互作用正在加強，數學提供的工具直接影響和推動技術進步的頻率正在加大，并在許多情況下產生巨大的經濟效益

7、．,例如以計算流體力學為基礎的數值模擬已成為飛行器設計的有效工具，類似的數值模擬方法正在被應用于許多技術部門以替代耗資巨大的試驗； 1980年代以來，以調和分析為基礎的小波分析直接應用于通信、石油勘探與圖象處理等廣泛的技術領域；現代大規(guī)模生產的管理決策、產品質量控制等也密切依賴于數學中的線性規(guī)劃算法與統(tǒng)計方法；現代醫(yī)學儀器工業(yè)也離不開數學(如Cr掃描儀、核磁共振儀等研制的理論基礎主要是現代積分理論)，等等，這樣的

8、例子舉不勝舉．,(4)現代數學在向外滲透的過程中，產生了一些相對獨立的應用學科。 這些學科以數學方法與數學理論為基礎，但不同于上面提到的交叉應用分支，其應用對象不只是限于某一門特殊的學科(如物理、化學、生物等)，而是適用于相當廣泛的領域． 這樣的應用學科有數理統(tǒng)計、運籌學、控制論等等．,20世紀數學空前廣泛的應用，是與它的另一個特點即前面已解釋過的更高的抽象化趨勢共軛發(fā)展著． 我們

9、看到，一方面數學的核心領域正變得越來越抽象，一方面數學的應用也變得越來越廣泛． 核心數學創(chuàng)造的許多高度抽象的語言、結構、方法與理論，被反復地證實是其他科學技術和人類生產與社會實踐中普遍適用的工具，這恰恰反映了數學抽象理論與客觀現實世界之間的深刻、復雜而又奇妙的聯(lián)系．數學的高度抽象性與內在統(tǒng)一性，不斷在更高的層次上決定著這門科學應用的廣泛性．,12.2 數學向其他科學的滲透,本節(jié)以數學物理、生物數學與數理經濟學為例來說明

10、20世紀數學向其他科學的滲透．,12.2.1 數學物理,物理學應用數學的歷史較長．18世紀是數學與經典力學相結合的黃金時期．19世紀數學應用的重點轉移到電學與電磁學，并且由于劍橋學派的努力而形成了數學物理分支．進入20世紀以后，隨著物理科學的發(fā)展，數學相繼在應用于相對論、量子力學以及基本粒子理論等方面取得了一個又一個突破，極大地豐富了數學物理的內容，同時也反過來刺激了數學自身的進步．,在20世紀初狹義相對論和廣義相對論的創(chuàng)立過程中，數學

11、都建有奇功．1907年，德國數學家閔可夫斯基(H.Minkowski，1864-1909)提出了“閔可夫斯基空間”，即將時間與空間融合在一起的四維時空 ．閔可夫斯基幾何為愛因斯坦狹義相對論提供了合適的數學模型．有了閔可夫斯基時空模型后，愛因斯坦又進一步研究引力場理論以建立廣義相對論．,1912年夏愛因斯坦已經概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實現廣義相對論的目標，還必須尋求理論的數學結構，愛因斯坦為此花費了3年的時

12、間，最后在數學家格羅斯曼(M．Grossmann)介紹下掌握了發(fā)展相對論引力學說所必需的數學工具——以黎曼幾何為基礎的絕對微分學，亦即愛因斯坦后來所稱的張量分析．在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導出了廣義協(xié)變的引力場方程,,就是黎曼度規(guī)張量，愛因斯坦指出：“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結構終于大功告成!”,根據愛因斯坦的理論，時空整體是不均勻的，只是在微小的區(qū)域內可以近似地看作均勻．在數學上，廣義相對論的時

13、空可以解釋為一種黎曼空間，非均勻時空連續(xù)區(qū)可借助于現成的黎曼度量,,來描述．這樣，廣義相對論的數學表述第一次揭示了非歐幾何的現實意義，成為歷史上數學應用最偉大的例子之一．,在數學史上有意義的是，與愛因斯坦建立引力場方程的同時，數學家希爾伯特也沿著另一條道路獨立地得到了引力場方程．,希爾伯特采取公理化方法，從兩條基本公理——世界函數公理和廣義協(xié)變公理出發(fā)，運用當時的一項純數學成果——E．諾特關于連續(xù)群的不變式理論，得出了他的全部理論．

14、 希爾伯特于1915年11月20日向哥廷根科學會提交了關于物理學基礎的第一份報告，其中得到了一組與愛因斯坦5天后發(fā)表的引力場方程等價的方程，因而也成為現代引力理論的奠基人．,希爾伯特在他關于物理學基礎的報告正式出版時說道：“我所獲得的場的微分方程與愛因斯坦稍后發(fā)表的論文中指出的廣義相對論的漂亮理論不謀而合”。 不過這兩位偉大的學者之間卻沒有發(fā)生關于優(yōu)先權的爭執(zhí)，反而進行了一系列友好的通信．希爾伯特將建立廣

15、義相對論的榮譽歸于愛因斯坦，并在1915年頒發(fā)第3屆波約數學獎時主動推薦了愛因斯坦，“因為在他的一切成就中所體現的高度的數學精神．”,“惺惺相惜”,我們知道，20世紀初，普朗克、愛因斯坦、玻爾等創(chuàng)立了量子力學，但到1925年為止，還沒有一種量子理論能以統(tǒng)一的結構來概括這一領域已經積累的知識，當時的量子力學可以說是本質上相互獨立的、有時甚至相互矛盾的部分的混合體． 1925年有了重要進展，由海森堡建立的矩陣力學和由薛定

16、諤發(fā)展的波動力學形成了兩大量子理論，而進一步將這兩大理論融合為統(tǒng)一的體系，便成為當時科學界的當務之急．恰恰在這時，數學又起了意想不到的但卻是決定性的作用．,20世紀數學物理的另一項經典成果是量子力學數學基礎的確立．,1927年，希爾伯特和馮·諾依曼、諾德海姆(L.Nordheim)合作發(fā)表了論文《論量子力學基礎》，開始了用積分方程等分析工具使量子力學統(tǒng)一化的努力．,在隨后兩年中，馮·諾依曼又進一步利用他從希爾伯特關于

17、積分方程的工作中提煉出來的抽象希爾伯特空間理論，去解決量子力學的特征值問題，并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學中經常出現的無界算子情形，從而奠定了量子力學的嚴格的數學基礎． 1932年，馮·諾依曼發(fā)表了總結性著作《量子力學的數學基礎》，完成了量子力學的公理化．,現在越來越清楚，希爾伯特20世紀初關于積分方程的工作以及由此發(fā)展起來的無窮多個變量的理論，確實是量子力學的非常合適的數學工具．

18、 量子力學的奠基人之一海森堡后來說：“量子力學的數學方法原來就是希爾伯特積分方程理論的直接應用，這真是一件特別幸運的事情!” 而希爾伯特本人則深有感觸地回顧道：“無窮多個變量的理論研究，完全是出于純粹數學的興趣．我甚至管這理論叫‘譜分析’，當時根本沒有預料到它后來會在實際的物理光譜理論中獲得應用”．,抽象的數學成果最終成為其他科學新理論的仿佛是定做的工具，在20世紀下半葉又演出了精彩的一幕，這就是大范圍微分幾何在統(tǒng)一

19、場論中的應用． 廣義相對論的發(fā)展，逐漸促使科學家們去尋求電磁場與引力場的統(tǒng)一表述，這方面第一個大膽的嘗試是數學家外爾(H.Weyl)在1918年提出的規(guī)范場理論，外爾自己稱之為“規(guī)范不變幾何”。統(tǒng)一場論的探索后來又擴展到基本粒子間的強相互作用和弱相互作用．,1954年，物理學家楊振寧和米爾斯(R.L.Mills)提出的“楊-米爾斯理論”，揭示了規(guī)范不變性可能是所有四種(電磁、引力、強、弱)相互作用的共性，開辟了用規(guī)范場

20、論來統(tǒng)一自然界這4種相互作用的新途徑。 數學家們很快就注意到楊—米爾斯理論所需要的數學工具早已存在，物理規(guī)范勢實際上就是微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡，20世紀30、40年代以來已經得到深入的研究。,不僅如此，人們還發(fā)現規(guī)范場的楊—米爾斯方程是一組在數學上有重要意義的非線性偏微分方程．1975年以來，對楊-米爾斯方程的研究取得了許多重要成果，展示了統(tǒng)一場論的誘人前景，同時也推動了數學自身的發(fā)展．,1981年以來興起的“超弦理

21、論”，正成為數學家與物理學家攜手合作的又一個活躍領域，超弦理論也是以引力理論、量子力學和粒子相互作用的統(tǒng)一數學描述為目標，其中用到的數學已涉及微分拓撲、代數幾何、微分幾何、群論與無窮維代數、復分析與黎曼曲面的模理論等．,12.2.2 生物數學,與物理、化學相比，生物學中應用數學相當遲緩．將數學方法引進生物學研究大約始于20世紀初，英國統(tǒng)計學家皮爾遜(K.Pearson，1857-1936)首先將統(tǒng)計學應用于遺傳學與進化論，并于1902年

22、創(chuàng)辦了《生物統(tǒng)計學》(Biometrika)雜志。 統(tǒng)計方法在生物學中的應用變得日益廣泛，1926年，意大利數學家伏爾泰拉(V.Volterra)提出著名的伏爾泰拉方程：,,成功地解釋了生物學家觀察到的地中海不同魚種周期消長的現象(方程中 表示食餌即被食小魚數， 表示捕食者即食肉大魚數)，從此微分方程又成為建立各種生物模型的重要工具． 用微分方程建立生物模型在20世紀50年代曾獲得轟動性

23、成果，這就是描述神經脈沖傳導過程的數學模型霍奇金—哈斯利(Hodgkin-Huxley)方程(1952)和描述視覺系統(tǒng)側抑制作用的哈特萊因—拉特里夫(Hartline-Ratliff)方程(1958)，它們都是復雜的非線性方程組，引起了數學家和生物學家的濃厚興趣．這兩項工作分別獲得1963年和1967年度諾貝爾醫(yī)學生理學獎．,20世紀50年代是數學與生物學結緣的良好時期，也是在這一時期，科學家們發(fā)現了脫氧核糖核酸(即DNA)的雙螺旋結構

24、(如圖，1953，美國生物化學家J.D.沃森和英國物理學家F.H.C．克里克)． 雙螺旋模型的發(fā)現標志著分子生物學的誕生，同時也拉開了抽象的拓撲學與生物學結合的序幕．,,現代實驗技術使生物學家們在電子顯微鏡下看到DNA雙螺旋鏈有纏繞與紐結．采用把DNA的紐結解開再把它們復制出來的辦法去了解DNA的結構，這就使代數拓撲學中的紐結理論有了用武之地。 早在19世紀，高斯就討論過紐結問題，并指出，“對兩條閉曲

25、線或無限長曲線的纏繞情況進行計數，將是位置幾何(即拓撲學)與度量幾何的邊緣領域里的一個主要任務．”一個多世紀后，高斯預言的這項數學任務，竟也成為揭示生命奧秘的DNA結構研究中的一項重要任務．,1969年以來，數學家與物學家合作在計算雙螺旋“環(huán)繞數”(刻畫兩條閉曲線相互纏繞情況的拓撲不變量)方面取得了許多進展(如懷特公式，J.H.White，1969)；1984年，關于紐結的新的不變量——瓊斯(Jones)多項式的發(fā)現，使生物學家有了一種

26、新的工具對他們在DNA的結構中觀察到的紐結進行分類． 另外，1976年以來，數學家與生物學家合作在運用統(tǒng)計學與組合數學來了解DNA鏈中堿基的排序方面也取得了令人鼓舞的成績．,馮·諾依曼說過：“在現代實驗科學中，能否接受數學方法或與數學相近的物理學方法，已越來越成為該學科成功與否的重要標準．” 20世紀60年代，數學方法在醫(yī)學診斷技術中的應用提供了這方面的又一重要例證，這就是CT掃描儀的發(fā)明．

27、 1963—1964年間，美藉南非理論物理學家科馬克發(fā)表了計算人體不同組織對X射線吸收量的數學公式，解決了計算機斷層掃描的理論問題．科馬克的工作促使英國工程師亨斯菲爾德(G.N.Hounsfield)發(fā)明了第一臺計算機X射線斷層掃描儀即CT掃描儀．科馬克和亨斯菲爾德共同榮獲了1979年諾貝爾醫(yī)學生理學獎．,科馬克的計算公式是建立在積分幾何中拉東(J.Radon)變換,,的基礎之上。.如圖，設 是X射線穿入人體組織(

28、圖中平面區(qū)域 )前的強度； 是射線穿出后的強度； 表示點 沿 變化時人體組織對射線的吸收系數(與組織密度等有關)．,,,,,,記,,在 內，直線與 從各個方向相交．若沿這些直線測出 的值，是否能由 定出函數 ?科馬克利用與拉東變換相關的一套計算(卷積反投影等)解決了這一問題，從而能根據測量所得的 值

29、建立函數 ，并進一步用計算機重建人體組織橫斷面圖．,除了數理統(tǒng)計、微分方程、拓撲學和積分論，概率論(馬爾可夫過程等)應用于人口理論和種群理論；布爾代數應用于神經網絡描述；傅里葉分析應用于生物高分子結構分析，…等等，這一切構成了“生物數學”的豐富內容．現代生物數學可以按方法論分成三大部門，即生物統(tǒng)計、生物動力系統(tǒng)和生物控制論．,12.2.3 數理經濟學,20世紀40年代以來，經濟學研究的數學化，導致了數理經濟學的

30、誕生．參與這門交叉學科建立和發(fā)展的有馮·諾依曼等著名數學家．馮·諾依曼與摩根斯頓(O.Morgenstem)合著的《博奕論與經濟行為》(Theory Of Games and Economic Behavior，1944)提出競爭的數學模型并應用于經濟問題，成為現代數理經濟學的開端．20世紀50年代以來，數學方法在西方經濟學中占據了重要地位，以致大部分諾貝爾經濟學獎都授予了與數理經濟學有關的工作．,前蘇聯(lián)數學家康托洛

31、維奇(1912—1986)和美國數學家丹齊格(G.B.Dantzig)各自獨立創(chuàng)建的線性規(guī)劃論(參見12.3)，在20世紀50年代被美藉荷蘭經濟學家?guī)炱章?T.C.Koopmans)應用于經濟學而獲得很大成功．,庫普曼斯1951年發(fā)表《生產和配置的活動分析》，用“活動分析”代替經典經濟中的生產函數．所謂活動分析包含了兩個基本概念：商品和活動．商品用 定義，活動用一組系數 定

32、義 ．例如煉鋼“活動”，產出1噸鋼，消耗2個人工，1噸生鐵，600度電，活動系數形成 活動矢量：,,其中大于0的元素表示產出，小于0的元素表示投入。一種商品可寫成活動的線性式：,,這相當于線性規(guī)劃問題求解．這種活動分析，將“生產”描述為由一系列各具固定投入與產出關系的活動，有利于用數學方法研究資源配置效率與價格體系之間的對應關系．庫普曼斯與康托洛維奇同獲1975年度諾貝爾經濟學獎．,20世

33、紀50年代以來數理經濟學由于公理化方法的引進而取得了重大進展．1959年美藉法國數學家、經濟學家德布洛(G.Debreu)發(fā)表《價格理論》，對一般經濟均衡理論給出了嚴格的公理化表述．從此公理化方法成為現代經濟學研究的基本方法．,一般經濟均衡價格的存在問題是經濟學界長期關注但懸而未決的問題．粗略地講，這問題是問：是否存在一個價格體系，使得消費需求與生產供給相等?這樣的價格體系就叫一般均衡價格體系．,早在1874年，法國經濟家沃拉斯(L.W

34、alras)就已將這個問題歸結為由供給等于需求所決定的方程組的求解，這樣導出的一般是一組復雜的非線性方程，雖經許多數學家和經濟學家不懈的努力，但問題始終沒有解決．,直到1954年，德布洛和另一位美國經濟學家阿羅(K.Arrow)才第一次利用凸集理論、不動點定理等給出了一般經濟均衡的嚴格表述和存在性證明．德布洛的《價格理論》又使這一理論體系公理化．阿羅和德布洛先后獲得1972和1983年度諾貝爾經濟學獎．一般經濟均衡理論在20世紀70年代

35、以后又有了飛速發(fā)展，其研究用到了微分拓撲、代數拓撲、大范圍分析、動力系統(tǒng)等抽象數學工具．,20世紀70年代以后，隨機分析又進入了經濟學領域，特別是1973年布萊克(F.Black)和斯科爾斯(M.S.Scholes)將期權定價問題歸結為一個隨機微分方程的解，從而導出了相當符合實際的著名的期權定價公式，即布萊克—斯科爾斯公式：,,其中,,布萊克—斯科爾斯理論被認為是金融數學方面的一項突破，它后又被默頓(R.C.Merton)進一步完善，不

36、僅在金融活動中行之有效，產生巨大利益，而且在數學上對隨機分析、隨機控制、偏微分方程、非線性分析、數值分析和數理統(tǒng)計等領域的發(fā)展也帶來極大的推動．默頓和斯科爾斯榮獲1997年度諾貝爾經濟學獎(應分享這一榮譽的布萊克不幸在兩年前去世)．,12.3 獨立的應用學科,數學向另一門科學滲透到一定階段，就會形成像我們在上一節(jié)中介紹的那樣一些交叉分支，這類分支大量地、系統(tǒng)地應用各種數學工具，但一般說來，它們在數學方法上并不獨立．

37、20世紀應用數學發(fā)展的一個獨特景觀，是產生了一批具有自己的數學方法、相對獨立的應用學科．這些學科大都在第二次世界大戰(zhàn)期間形成(如運籌學、控制論等)，或者是經過二戰(zhàn)而有了飛躍的發(fā)展(如數理統(tǒng)計)．,12.3.1 數理統(tǒng)計,簡單的統(tǒng)計古來就有．在18、19世紀出現了統(tǒng)計推斷思想的萌芽并有一定發(fā)展，但以概率論為基礎、以統(tǒng)計推斷為主要內容的現代意義的數理統(tǒng)計學，則到20世紀才告成熟．,1763年，英國人貝葉斯(J.Bayes)發(fā)表《論機會學說問

38、題的求解》，其中的“貝葉斯定理”給出了在已知結果正后，對所有原因 計算其條件概率(后驗概率) 的公式，可以看作最早的一種統(tǒng)計推斷程序． 拉普拉斯和高斯等利用貝葉斯公式估計參數，特別是高斯由于計算行星軌道的需要建立了以“最小二乘法”為基礎的誤差分析(1794-1809)．這些都促使統(tǒng)計學擺脫對觀測數據的單純描述而向強調推斷的階段過渡．,英國生物學家和統(tǒng)計學家K．皮爾遜在現代數理統(tǒng)計的建立

39、上起了重要作用．皮爾遜在19世紀末、20世紀初發(fā)展了他老師高爾頓(F.Galton)首先提出的“相關”與“回歸”的理論，成功地創(chuàng)立了生物統(tǒng)計學(1901)．皮爾遜提出了“總體”的概念，明確指出統(tǒng)計學不是研究樣本本身而是要根據樣本對總體進行推斷，并根據這一思想提出了“擬合優(yōu)度檢驗”，即檢驗作為樣本取出的個體是否“擬合”從理論上確定的總體分布的問題．這是假設檢驗的先聲．皮爾遜為此還發(fā)展了 分布。,皮爾遜的工作是所謂“大樣本統(tǒng)計”的

40、前驅．他的學生戈塞特(W.S.Gosset)1908年以筆名“學生”發(fā)表的“學生分布”(即 分布)則開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計理論．小樣本理論強調樣本必須從總體中隨機地抽取，即必須是隨機樣本，從而使統(tǒng)計學研究對象從群體現象轉變?yōu)殡S機現象.,,現代數理統(tǒng)計學作為一門獨立學科的奠基人是英國數學家費希爾(R．A．Fisher，1890—1962)。,,費希爾,費希爾畢業(yè)于劍橋大學，做過中學教員，曾長期在農業(yè)試驗站工作，在將統(tǒng)計學應用于農業(yè)與遺

41、傳學方面有豐富的積累．在1920和1930,年代，費希爾提出了許多重要的統(tǒng)計方法，開辟了一系列統(tǒng)計學的分支領域．,他發(fā)展了正態(tài)總體下各種統(tǒng)計量的抽樣分布，將已有的相關、回歸理論建造為系統(tǒng)的相關分析與回歸分析；1925年他與葉茨(F.Yates)合作創(chuàng)立了試驗設計這一重要的統(tǒng)計分支，與這種試驗設計相適應的數據分析方法——方差分析，也是費希爾在1923年提出的．試驗設計倡導用統(tǒng)計方法設計試驗方案，以提高試驗效率，節(jié)省人力物力，因而產生了巨大

42、的社會影響．,費希爾也是另一門重要統(tǒng)計分支假設檢驗的先驅之一，他引進了顯著性檢驗概念．費希爾關于檢驗程序的推導方法是直觀的，在數學上尚不夠精煉．1928—1938年間，原藉羅馬尼亞的美國統(tǒng)計學家內曼(J．Neyman，1894—1981)與K．皮爾遜的兒子小皮爾遜(E.S.Pearson，1895—1980)合作，發(fā)展了假設檢驗的嚴格的數學理論，將所有可能的總體分布族看作一個集合，引進“檢驗功效函數”的概念作為判斷檢驗程序好壞的標準，從

43、而使統(tǒng)計推斷的思想變得更加明確．,費希爾實際上還開辟了多元統(tǒng)計分析的方向，他關于多元正態(tài)總體的統(tǒng)計分析，就是一種狹義的多元分析．1928年維夏特(J．Wishart)導出了“維夏特分布”，將這一方向發(fā)展為統(tǒng)計學中的一個獨立分支．多元統(tǒng)計分析的奠基人還有中國數學家許寶騍和美國數學家霍太林(H.Hotelling)等．,費希爾自1933年起任倫敦大學學院教授，在那里領導了一個有世界影響的數理統(tǒng)計學派．在20世紀30、40年代，費希爾和他的學

44、派可以說占據了數理統(tǒng)計學研究的主導地位．,1946年，瑞典數學家克拉默(H.Cramer)發(fā)表了《統(tǒng)計學的數學方法》，用測度論系統(tǒng)總結了數理統(tǒng)計的發(fā)展，標志著現代數理統(tǒng)計學的成熟．,第二次世界大戰(zhàn)期間，數理統(tǒng)計學研究中一些重要的新動向，在很大程度上決定了這門學科在戰(zhàn)后的發(fā)展方向．其中最有影響的是美藉羅馬尼亞數學家沃爾德(A.Wald，1902-1950)提出的序貫分析和統(tǒng)計決策理論．,序貫分析的要旨是在統(tǒng)計推斷中以“序貫抽樣方案”來代替

45、傳統(tǒng)的固定抽樣方案．所謂序貫抽樣就是分步抽樣：先抽少量樣本，根據結果再決定是否停止抽樣還是繼續(xù)抽樣，以及抽多少樣本．而在經典統(tǒng)計中，抽樣的多少是事先確定的，全部數據只影響最后結果．采用序貫抽樣可以使整個推斷程序在達到一定精度時自動停止，因此有很大的優(yōu)越性．沃爾德是為了解決二戰(zhàn)中軍方提出的實際問題而研究出序貫分析這一嶄新的統(tǒng)計方法的．他在1947年發(fā)表了《序貫分析》專著，使序貫分析在戰(zhàn)后發(fā)展為數理統(tǒng)計中一個重要分支．,統(tǒng)計決策理論也引起了

46、戰(zhàn)后數理統(tǒng)計思想的革新．經典統(tǒng)計主要著眼于推斷，至于所獲得的論斷會產生什么后果，應采取何種對策或行動，則被認為不屬于統(tǒng)計的范疇．沃爾德的統(tǒng)計決策理論則將后者也納人統(tǒng)計的內容，用博奕的觀點看待數理統(tǒng)計問題．他還定義了統(tǒng)計推斷程序的風險函數，用以判別推斷程序的好壞．沃爾德1950年發(fā)表《統(tǒng)計決策函數》一書，就在這一年，他因飛機失事不幸早逝．,沃爾德在他的統(tǒng)計研究中積極地利用先驗概率與貝葉斯定理，這與費希爾學派回避摒棄先驗概率的做法大相徑庭，

47、因而引起極大反響．在20世紀下半葉，數學家們圍繞著先驗概率和貝葉斯定理展開的更為激烈的爭論，對整個數理統(tǒng)計的發(fā)展有深遠影響．,12.3.2 運籌學,運籌學(Operations Research)原意為“作戰(zhàn)研究”，其策源地在英國．,第二次世界大戰(zhàn)中英國空軍發(fā)現空防雷達送來的信息需要加以協(xié)調，才能使雷達、戰(zhàn)斗機系統(tǒng)在配合上達到滿意的作戰(zhàn)效果．當時負責英國海岸雷達系統(tǒng)的羅(A．P．Rowe)建議進行這方面的研究并起名為“Operation

48、al Research”，英國空軍還成立了專門的運籌小組．不久美國軍隊也開展了類似的研究并改稱“Operations Research”（運籌一詞，出自《漢書﹒高帝本紀》：“運籌帷幄之中，決勝千里之外?！保?運籌研究在1940年英國對付德軍空襲的戰(zhàn)斗中建有奇功，在如搜尋潛艇、深水炸彈投放方案、兵力分配等方面也都發(fā)揮了功效．到二戰(zhàn)結束時，在英、美等國軍隊中服務的運籌學工作者已超過700人。戰(zhàn)后由于這些人的倡導，運籌學被引人民用部門，研究

49、內容不斷擴充而形成為一門蓬勃發(fā)展的新興的應用學科．目前，它已包括有數學規(guī)劃論、博奕論、排隊論、決策分析、圖論、可靠性數學理論、庫存論、搜索論等許多分支，統(tǒng)籌與優(yōu)選也可列入運籌學的范疇，運籌學就是運用這些數學方法來解決生產、國防、商業(yè)和其他領域中的安排、籌劃、控制、管理等有關的問題．,數學規(guī)劃論是運籌學中一個基本而又龐大的領域，其中線性規(guī)劃論則是發(fā)展最早和比較成熟的分支．,有一類實際問題需要將某些對象最大化(如利潤、安全等)或最小化(如支

50、出、風險等)，數學規(guī)劃就是為這類實際問題提供數學模型的一種方法，具體地說，數學規(guī)劃尋求函數 在規(guī)定 必須滿足一定條件時的極小(或極大)值． 稱為“目標函數”，必須滿足的條件稱為“約束條件”．如果目標函數和約束條件都是線性的，就叫線性規(guī)劃，即,,約束條件為,,線性規(guī)劃問題在孕育整個運籌學的數學理論方面扮演

51、了重要角色，并且至今仍是這門學科的中心課題．,線性規(guī)劃的先驅者是前蘇聯(lián)數學家康托洛維奇，他在1938年就給出了像尋求用8種型號的機床完成5種類型產品加工的最合理運行計劃這樣的問題的數學處理，1939年發(fā)表《生產組織與計劃中的數學方法》，是最早的線性規(guī)劃著作．但康托洛維奇的工作當時在西方國家很少有人了解．,1947年，美國的丹齊克又獨立地發(fā)展了線性規(guī)劃理論，線性規(guī)劃這一名稱就是他首先使用的．特別是，丹齊克設計了一種叫單純形法的算法，作為求

52、解線性規(guī)劃問題的計算工具． 我們知道，線性規(guī)劃問題的約束條件在幾何上對應于一個凸多面體(也叫多胞形)，單純形法的實質就是從多胞形的一個頂點出發(fā)，然后在多胞形的表面沿著邊從一個頂點向另一個頂點移動，每到達一個新的頂點，按照一定的判別方法來決定究竟取哪條路線繼續(xù)移動，直至達到最大(小)化頂點．單純形法在實用上非常有效，因而使線性規(guī)劃論有了發(fā)展的基礎．,從算法理論分析，單純形算法屬于指數型算法，即一種“非有效”算法．由于在

53、一些實際的線性規(guī)劃問題中目標函數和約束條件往往涉及成千上萬個變量，因此數學家們還希望能找到更快的計算方法． 直觀上看，如果不是沿多胞形表面的邊前進，而是直接穿過多胞形內部去尋找最優(yōu)點應該更快．因此從1970年代起，數學家們就開始尋找這樣的“內點法”．,起先這種努力并不順利，數學家們雖然找到了幾種內點法，但在實用中卻沒有顯示出比單純形法有優(yōu)越之處． 19E4年，美國貝爾實驗室28歲的數學家卡瑪卡(N.K

54、armarkar)終于發(fā)明了一種多項式時間的線性規(guī)劃算法，這種計算方法在許多場合遠遠勝過了單純形法．這種算法現在就叫“卡瑪卡算法”，卡瑪卡為了得到他的算法，利用了與高維多面體有關的高度抽象的數學成果．,通過探討目標函數和約束條件的不同情況，數學家們得到了線性規(guī)劃論沿不同方向的推廣．如果目標函數或約束條件中出現非線性表示，就稱為非線性規(guī)劃． 1951年庫恩(H.W.Kuhn)和塔克爾(A.W.Tucker)對一般的約

55、束非線性規(guī)劃問題得到了局部極值點的“庫恩—塔克爾條件”，他們的論文標題即為《非線性規(guī)劃》，可以看作是這一分支學科的發(fā)端.,繼線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃之后建立的另一個數學規(guī)劃論同時也是運籌學的基本分支是動態(tài)規(guī)劃，其奠基人是貝爾曼(R.Bellman，1920-1984)．貝爾曼1957年發(fā)表的專著《動態(tài)規(guī)劃》，標志著動態(tài)規(guī)劃學科的建立．動態(tài)規(guī)劃尋求使包含有時間變量的目標函數取最大或最小值的策略，即最優(yōu)策略． 貝爾曼提出最優(yōu)化

56、原理：“一個最優(yōu)策略應具備如下性質，就是無論初始狀態(tài)和初始決策如何，對于作為這一初始決策的結果所產生的狀態(tài)，以后的決策序列必須構成最優(yōu)策略”。這一原理表達了動態(tài)規(guī)劃的基本思想，因此動態(tài)規(guī)劃從一開始就與控制理論密切相關．,12.3.3 控制論,控制論也是在第二次世界大戰(zhàn)期間新興的應用學科．控制論的創(chuàng)始人維納(N.Wiener，1894—1964)，在第二次世界大戰(zhàn)中接受了一項與火力控制有關的研究：設計一種能有效地指揮高射炮的裝置．

57、 飛機的高速度使以往的火力瞄準方法都顯得陳舊無用．為了擊中目標，要使投射物與射擊目標在未來的某個時刻同時到達空間某處．因此必須找到某種能預測飛機未來位置的方法。這就是所謂的“預報問題”(predicting)，是維納控制論的主要來源之一．,控制論的另一個實際來源是通信“濾波問題”(filtering)．在通信過程中一個信息往往被外來干擾(噪聲)所混雜． 長期以來，設計一種能過濾噪聲、復原信息的裝置——濾波器，便

58、是通信工程師和數學家合作的一個課題，維納從1930年代起就對這方面的問題予以關注．,維納,維納 (Norbert Wiener，1894-1964) 美國數學家，控制論的創(chuàng)始人。維納1894年11月26日生于密蘇里州的哥倫比亞，1964年3月18日卒于斯德哥爾摩。 維納在其50年的科學生涯中，先后涉足哲學、數學、物理學和工程學，最后轉向生物學，在各個領域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚過的、本世紀多才多

59、藝和學識淵博的科學巨人。 他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。他的主要著作有《控制論》(1948)、《維納選集》(1964)和《維納數學論文集》(1980)。維納還有兩本自傳《昔日神童》和《我是一個數學家》。,維納趣事,20世紀著名數學家諾伯特·維納，從小就智力超常，三歲時就能讀寫，十四歲時就大學畢業(yè)了。幾年后，他又通過了博士論文答辯，成為美國哈佛大學的科學博士。 　　在博士學位的授予儀式上，執(zhí)

60、行主席看到一臉稚氣的維納，頗為驚訝，于是就當面詢問他的年齡。維納不愧為數學神童，他的回答十分巧妙：“我今年歲數的立方是個四位數，歲數的四次方是個六位數，這兩個數，剛好把十個數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。這意味著全體數字都向我俯首稱臣，預祝我將來在數學領域里一定能干出一番驚天動地的大事業(yè)?！?　　維納此言一出，四座皆驚，大家都被他的這道妙題深深地吸引住了。整個會場上的人，都在議論他的年齡問題。,,其實這

61、個問題不難解答，但是需要一點數字“靈感”。不難發(fā)現，21的立方是四位數，而22的立方已經是五位數了，所以維納的年齡最多是21歲；同樣道理，18的四次方是六位數，而17的四次方則是五位數了，所以維納的年齡至少是18歲。這樣，維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個數中的一個。 　　剩下的工作就是一一篩選了。20的立方是8000，有3個重復數字0，不合題意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合題意

62、。最后只剩下一個18，是不是正確答案呢？驗算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好不重不漏地用完了十個阿拉伯數字，多么完美的組合！ 　　這個年僅18歲的少年博士，后來果然成就了一番大事業(yè)：他成為信息論的前驅和控制論的奠基人。,趣事,有一次維納的一個學生看見維納正在郵局寄東西，很想自我介紹一番。在麻省理工學院真正能與維納直接說上幾句話、握握手，還是十分難得的。但這位學生不知道怎樣接近他為好。

63、 這時，只見維納來來回回踱著步，陷于沉思之中。這位學生更擔心了，生怕打斷了先生的思維，而損失了某個深刻的數學思想。但最終還是鼓足勇氣，靠近這個偉人：“早上好， 維納教授！”維納猛地一抬頭，拍了一下前額，說道：“對，維納！”原來維納正欲往郵簽上寫寄件人姓名，但忘記了自己的名字……。,在維納之前，預報問題與濾波問題一直被看作不同的問題分別討論．維納的獨到之處恰恰在于他看出了這兩類問題與其他一些類似的問題可以用統(tǒng)計的觀點給出統(tǒng)一處理

64、，從而建立起控制理論． 維納注意到，一項信息，不論它是以電的、機械的還是神經的方式傳送，都可以看作依時間分布的可測量事件的序列，即統(tǒng)計學家所稱的時間序列．預報問題，在數學上相當于用某種算符去運算某個信息的過去以預測其未來；而濾波問題則相當于用某種算符作用于被混雜的信息以恢復原來的信息．,維納認識到，在大多數情形，完全精確的預報與復原都是不可能的．他提出來的任務，是尋求問題的最優(yōu)解． “最優(yōu)”的意義

65、是使產生的結果與理論解之間的誤差最小，而這里“誤差”是用一個可以由已知時間序列的統(tǒng)計性質導出的均方差表達式來衡量．這樣維納就將預報、濾波等問題的求解歸結為特定數學算符的最優(yōu)設計，以及實現這些算符的物理裝置的最優(yōu)設計．,這種設計過程，依賴于數學中變分法的極小化技術，同時取決于所處理信息的時間序列的統(tǒng)計學．維納廣泛地利用了調和分析與數理統(tǒng)計等數學領域中成熟的工具，建立起一整套最優(yōu)設計的方法，逐步形成了系統(tǒng)的控制理論．,維納的最優(yōu)設計過程涉及

66、到一個很重要的概念叫“反饋”(feedback)，即將每一步輸出的結果與理論值之誤差重新作為輸入對系統(tǒng)進行調節(jié)，使之實現最優(yōu)狀態(tài)．“反饋”并不是一個新概念，但維納指出過度的反饋會引起系統(tǒng)的激烈振蕩不穩(wěn)，而這個問題以往沒有解決．維納依靠生理學家特別是墨西哥國立心臟學研究所的羅森勃呂特(A.Rosenblueth)等的幫助解決了這個問題，并對反饋機制作出了嚴 格的解釋，使之成為維納控制論的一個中心概念．,為了建立控制論，維納從1940年代初

67、開始，與電工學家、生理學家、計算機設計家、通信工程師以及其他數學家展開了極其廣泛的合作(在這些合作者中有一位是維納的學生，來自中國的濾波器設計家李郁榮)．1948年，維納終于出版了他的名著《控制論》(Cybernetics)，宣告了控制論這門學科的誕生．維納在導言中說明Cybernetics(控制論)這個詞是,,從希臘語 （掌舵人)變來的，船舶的操舵儀是反饋機構的一種最早形式．,維納,

68、維納在發(fā)明控制論以前已經是大名鼎鼎的數學家了．他發(fā)展了廣義調和分析；他對概率論布朗運動的研究使人們常常把這類運動稱為“維納過程”，等等．這些純數學的成果，無疑是他建立控制論的堅實理論基礎．,維納本人后來談到，他之所以能夠創(chuàng)立控制論，一方面固然是他有機會接觸和熟悉像火力控制這樣的實際問題，另一方面則在于他此前已發(fā)展了調和分析的理論工具． 維納是數學史上的一名神童，他14歲大學畢業(yè)，同時成為哈佛大學研究生；18歲獲得博士學