《數(shù)學(xué)史》20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀(ii)(上)

1、第12章,20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀(Ⅱ),空前發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué),,12.1 應(yīng)用數(shù)學(xué)的新時(shí)代,數(shù)學(xué)的廣泛滲透與應(yīng)用，是它一貫的特點(diǎn)，但在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)的應(yīng)用在不同時(shí)期的發(fā)展是不平衡的． 18世紀(jì)是數(shù)學(xué)與力學(xué)緊密結(jié)合的時(shí)代；19世紀(jì)是純粹數(shù)學(xué)形成的時(shí)代；20世紀(jì)則可以說(shuō)既是純粹數(shù)學(xué)的時(shí)代，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)的時(shí)代． 特別是20世紀(jì)40年代以后，數(shù)學(xué)以空前的廣度與深度向其他科學(xué)技術(shù)和人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，加上電子計(jì)算機(jī)的

2、推助，應(yīng)用數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展已形成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的一股強(qiáng)大潮流．應(yīng)用數(shù)學(xué)的這個(gè)新時(shí)代具有以下幾方面的特點(diǎn)．,(1)數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透．,19世紀(jì)70、80年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過(guò)這樣的估計(jì)：“在固體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在流體力學(xué)中已經(jīng)比較困難了，在物理學(xué)中多半是嘗試性的和相對(duì)的，在化學(xué)中是最簡(jiǎn)單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零”． 從那以

3、后經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的狀況有了根本的改觀．?dāng)?shù)學(xué)正在向包括從粒子物理到生命科學(xué)、從航空技術(shù)到地質(zhì)勘探在內(nèi)的一切科技領(lǐng)域進(jìn)軍．,數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用經(jīng)歷了一系列激動(dòng)人心的重大事件；現(xiàn)代化學(xué)為了描述化學(xué)過(guò)程已少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學(xué)家都感到棘手的非線性方程；生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時(shí)代也已一去不返． 除了自然科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)等社會(huì)科學(xué)部門中，數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用也在嶄露頭角．與以

4、往時(shí)代不同的是，數(shù)學(xué)在向外滲透過(guò)程中越來(lái)越多地與其他領(lǐng)域相結(jié)合而形成一系列交叉學(xué)科，如數(shù)學(xué)物理、數(shù)理化學(xué)、生物數(shù)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)理氣象學(xué)、數(shù)理語(yǔ)言學(xué)、數(shù)理心理學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)，……等等，它們的數(shù)目還在增加．,(2)純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透．,在20世紀(jì)60年代，像拓?fù)鋵W(xué)這樣的抽象數(shù)學(xué)離實(shí)際應(yīng)用似乎還很遙遠(yuǎn)．然而正如我們?cè)谙旅嬉v到的，拓?fù)鋵W(xué)在今天的物理學(xué)、生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中正在扮演重

5、要角色． 在凝聚態(tài)物理中分類晶體結(jié)構(gòu)的“缺陷”及液晶理論中所用到的某些齊性空間中同倫群的計(jì)算，即使對(duì)專業(yè)的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)家也是很難的問(wèn)題；,數(shù)論曾經(jīng)被英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代看成是“無(wú)用”和“清白”的學(xué)問(wèn)，哈代說(shuō)“至今還沒有人能發(fā)現(xiàn)有什么火藥味的東西是數(shù)論或相對(duì)論造成的”，并預(yù)言“將來(lái)很多年也不會(huì)有人能夠發(fā)現(xiàn)這類事情”。 但1982年以來(lái)，哈代所鐘愛的“清白”學(xué)問(wèn)數(shù)論，已經(jīng)在密碼技術(shù)(“公開密鑰”系統(tǒng))、衛(wèi)

6、星信號(hào)傳輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)和量子場(chǎng)論等許多部門發(fā)揮重要的有時(shí)是關(guān)鍵的作用．,(3)現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來(lái)越直接．,以往數(shù)學(xué)工具直接用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的：常常是先應(yīng)用于其他科學(xué)(如力學(xué)、天文學(xué))，再由這些科學(xué)提供技術(shù)進(jìn)步的基礎(chǔ)． 20世紀(jì)下半葉以來(lái)，數(shù)學(xué)科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的相互作用正在加強(qiáng)，數(shù)學(xué)提供的工具直接影響和推動(dòng)技術(shù)進(jìn)步的頻率正在加大，并在許多情況下產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益

7、．,例如以計(jì)算流體力學(xué)為基礎(chǔ)的數(shù)值模擬已成為飛行器設(shè)計(jì)的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于許多技術(shù)部門以替代耗資巨大的試驗(yàn)； 1980年代以來(lái)，以調(diào)和分析為基礎(chǔ)的小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探與圖象處理等廣泛的技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代大規(guī)模生產(chǎn)的管理決策、產(chǎn)品質(zhì)量控制等也密切依賴于數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃算法與統(tǒng)計(jì)方法；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(xué)(如Cr掃描儀、核磁共振儀等研制的理論基礎(chǔ)主要是現(xiàn)代積分理論)，等等，這樣的

8、例子舉不勝舉．,(4)現(xiàn)代數(shù)學(xué)在向外滲透的過(guò)程中，產(chǎn)生了一些相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科。 這些學(xué)科以數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，但不同于上面提到的交叉應(yīng)用分支，其應(yīng)用對(duì)象不只是限于某一門特殊的學(xué)科(如物理、化學(xué)、生物等)，而是適用于相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域． 這樣的應(yīng)用學(xué)科有數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論等等．,20世紀(jì)數(shù)學(xué)空前廣泛的應(yīng)用，是與它的另一個(gè)特點(diǎn)即前面已解釋過(guò)的更高的抽象化趨勢(shì)共軛發(fā)展著． 我們

9、看到，一方面數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域正變得越來(lái)越抽象，一方面數(shù)學(xué)的應(yīng)用也變得越來(lái)越廣泛． 核心數(shù)學(xué)創(chuàng)造的許多高度抽象的語(yǔ)言、結(jié)構(gòu)、方法與理論，被反復(fù)地證實(shí)是其他科學(xué)技術(shù)和人類生產(chǎn)與社會(huì)實(shí)踐中普遍適用的工具，這恰恰反映了數(shù)學(xué)抽象理論與客觀現(xiàn)實(shí)世界之間的深刻、復(fù)雜而又奇妙的聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)的高度抽象性與內(nèi)在統(tǒng)一性，不斷在更高的層次上決定著這門科學(xué)應(yīng)用的廣泛性．,12.2 數(shù)學(xué)向其他科學(xué)的滲透,本節(jié)以數(shù)學(xué)物理、生物數(shù)學(xué)與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)為例來(lái)說(shuō)明

10、20世紀(jì)數(shù)學(xué)向其他科學(xué)的滲透．,12.2.1 數(shù)學(xué)物理,物理學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的歷史較長(zhǎng)．18世紀(jì)是數(shù)學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相結(jié)合的黃金時(shí)期．19世紀(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到電學(xué)與電磁學(xué)，并且由于劍橋?qū)W派的努力而形成了數(shù)學(xué)物理分支．進(jìn)入20世紀(jì)以后，隨著物理科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)相繼在應(yīng)用于相對(duì)論、量子力學(xué)以及基本粒子理論等方面取得了一個(gè)又一個(gè)突破，極大地豐富了數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容，同時(shí)也反過(guò)來(lái)刺激了數(shù)學(xué)自身的進(jìn)步．,在20世紀(jì)初狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的創(chuàng)立過(guò)程中，數(shù)學(xué)

11、都建有奇功．1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基(H.Minkowski，1864-1909)提出了“閔可夫斯基空間”，即將時(shí)間與空間融合在一起的四維時(shí)空 ．閔可夫斯基幾何為愛因斯坦狹義相對(duì)論提供了合適的數(shù)學(xué)模型．有了閔可夫斯基時(shí)空模型后，愛因斯坦又進(jìn)一步研究引力場(chǎng)理論以建立廣義相對(duì)論．,1912年夏愛因斯坦已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實(shí)現(xiàn)廣義相對(duì)論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花費(fèi)了3年的時(shí)

12、間，最后在數(shù)學(xué)家格羅斯曼(M．Grossmann)介紹下掌握了發(fā)展相對(duì)論引力學(xué)說(shuō)所必需的數(shù)學(xué)工具——以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對(duì)微分學(xué)，亦即愛因斯坦后來(lái)所稱的張量分析．在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程,,就是黎曼度規(guī)張量，愛因斯坦指出：“由于這組方程，廣義相對(duì)論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成!”,根據(jù)愛因斯坦的理論，時(shí)空整體是不均勻的，只是在微小的區(qū)域內(nèi)可以近似地看作均勻．在數(shù)學(xué)上，廣義相對(duì)論的時(shí)

13、空可以解釋為一種黎曼空間，非均勻時(shí)空連續(xù)區(qū)可借助于現(xiàn)成的黎曼度量,,來(lái)描述．這樣，廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)表述第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一．,在數(shù)學(xué)史上有意義的是，與愛因斯坦建立引力場(chǎng)方程的同時(shí)，數(shù)學(xué)家希爾伯特也沿著另一條道路獨(dú)立地得到了引力場(chǎng)方程．,希爾伯特采取公理化方法，從兩條基本公理——世界函數(shù)公理和廣義協(xié)變公理出發(fā)，運(yùn)用當(dāng)時(shí)的一項(xiàng)純數(shù)學(xué)成果——E．諾特關(guān)于連續(xù)群的不變式理論，得出了他的全部理論．

14、 希爾伯特于1915年11月20日向哥廷根科學(xué)會(huì)提交了關(guān)于物理學(xué)基礎(chǔ)的第一份報(bào)告，其中得到了一組與愛因斯坦5天后發(fā)表的引力場(chǎng)方程等價(jià)的方程，因而也成為現(xiàn)代引力理論的奠基人．,希爾伯特在他關(guān)于物理學(xué)基礎(chǔ)的報(bào)告正式出版時(shí)說(shuō)道：“我所獲得的場(chǎng)的微分方程與愛因斯坦稍后發(fā)表的論文中指出的廣義相對(duì)論的漂亮理論不謀而合”。 不過(guò)這兩位偉大的學(xué)者之間卻沒有發(fā)生關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)執(zhí)，反而進(jìn)行了一系列友好的通信．希爾伯特將建立廣

15、義相對(duì)論的榮譽(yù)歸于愛因斯坦，并在1915年頒發(fā)第3屆波約數(shù)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)主動(dòng)推薦了愛因斯坦，“因?yàn)樵谒囊磺谐删椭兴w現(xiàn)的高度的數(shù)學(xué)精神．”,“惺惺相惜”,我們知道，20世紀(jì)初，普朗克、愛因斯坦、玻爾等創(chuàng)立了量子力學(xué)，但到1925年為止，還沒有一種量子理論能以統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)來(lái)概括這一領(lǐng)域已經(jīng)積累的知識(shí)，當(dāng)時(shí)的量子力學(xué)可以說(shuō)是本質(zhì)上相互獨(dú)立的、有時(shí)甚至相互矛盾的部分的混合體． 1925年有了重要進(jìn)展，由海森堡建立的矩陣力學(xué)和由薛定

16、諤發(fā)展的波動(dòng)力學(xué)形成了兩大量子理論，而進(jìn)一步將這兩大理論融合為統(tǒng)一的體系，便成為當(dāng)時(shí)科學(xué)界的當(dāng)務(wù)之急．恰恰在這時(shí)，數(shù)學(xué)又起了意想不到的但卻是決定性的作用．,20世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的另一項(xiàng)經(jīng)典成果是量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的確立．,1927年，希爾伯特和馮·諾依曼、諾德海姆(L.Nordheim)合作發(fā)表了論文《論量子力學(xué)基礎(chǔ)》，開始了用積分方程等分析工具使量子力學(xué)統(tǒng)一化的努力．,在隨后兩年中，馮·諾依曼又進(jìn)一步利用他從希爾伯特關(guān)于

17、積分方程的工作中提煉出來(lái)的抽象希爾伯特空間理論，去解決量子力學(xué)的特征值問(wèn)題，并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的無(wú)界算子情形，從而奠定了量子力學(xué)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)． 1932年，馮·諾依曼發(fā)表了總結(jié)性著作《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，完成了量子力學(xué)的公理化．,現(xiàn)在越來(lái)越清楚，希爾伯特20世紀(jì)初關(guān)于積分方程的工作以及由此發(fā)展起來(lái)的無(wú)窮多個(gè)變量的理論，確實(shí)是量子力學(xué)的非常合適的數(shù)學(xué)工具．

18、 量子力學(xué)的奠基人之一海森堡后來(lái)說(shuō)：“量子力學(xué)的數(shù)學(xué)方法原來(lái)就是希爾伯特積分方程理論的直接應(yīng)用，這真是一件特別幸運(yùn)的事情!” 而希爾伯特本人則深有感觸地回顧道：“無(wú)窮多個(gè)變量的理論研究，完全是出于純粹數(shù)學(xué)的興趣．我甚至管這理論叫‘譜分析’，當(dāng)時(shí)根本沒有預(yù)料到它后來(lái)會(huì)在實(shí)際的物理光譜理論中獲得應(yīng)用”．,抽象的數(shù)學(xué)成果最終成為其他科學(xué)新理論的仿佛是定做的工具，在20世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，這就是大范圍微分幾何在統(tǒng)一

19、場(chǎng)論中的應(yīng)用． 廣義相對(duì)論的發(fā)展，逐漸促使科學(xué)家們?nèi)で箅姶艌?chǎng)與引力場(chǎng)的統(tǒng)一表述，這方面第一個(gè)大膽的嘗試是數(shù)學(xué)家外爾(H.Weyl)在1918年提出的規(guī)范場(chǎng)理論，外爾自己稱之為“規(guī)范不變幾何”。統(tǒng)一場(chǎng)論的探索后來(lái)又?jǐn)U展到基本粒子間的強(qiáng)相互作用和弱相互作用．,1954年，物理學(xué)家楊振寧和米爾斯(R.L.Mills)提出的“楊-米爾斯理論”，揭示了規(guī)范不變性可能是所有四種(電磁、引力、強(qiáng)、弱)相互作用的共性，開辟了用規(guī)范場(chǎng)

20、論來(lái)統(tǒng)一自然界這4種相互作用的新途徑。 數(shù)學(xué)家們很快就注意到楊—米爾斯理論所需要的數(shù)學(xué)工具早已存在，物理規(guī)范勢(shì)實(shí)際上就是微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，20世紀(jì)30、40年代以來(lái)已經(jīng)得到深入的研究。,不僅如此，人們還發(fā)現(xiàn)規(guī)范場(chǎng)的楊—米爾斯方程是一組在數(shù)學(xué)上有重要意義的非線性偏微分方程．1975年以來(lái)，對(duì)楊-米爾斯方程的研究取得了許多重要成果，展示了統(tǒng)一場(chǎng)論的誘人前景，同時(shí)也推動(dòng)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展．,1981年以來(lái)興起的“超弦理

21、論”，正成為數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家攜手合作的又一個(gè)活躍領(lǐng)域，超弦理論也是以引力理論、量子力學(xué)和粒子相互作用的統(tǒng)一數(shù)學(xué)描述為目標(biāo)，其中用到的數(shù)學(xué)已涉及微分拓?fù)?、代?shù)幾何、微分幾何、群論與無(wú)窮維代數(shù)、復(fù)分析與黎曼曲面的模理論等．,12.2.2 生物數(shù)學(xué),與物理、化學(xué)相比，生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)相當(dāng)遲緩．將數(shù)學(xué)方法引進(jìn)生物學(xué)研究大約始于20世紀(jì)初，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(K.Pearson，1857-1936)首先將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于遺傳學(xué)與進(jìn)化論，并于1902年

22、創(chuàng)辦了《生物統(tǒng)計(jì)學(xué)》(Biometrika)雜志。 統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)中的應(yīng)用變得日益廣泛，1926年，意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉(V.Volterra)提出著名的伏爾泰拉方程：,,成功地解釋了生物學(xué)家觀察到的地中海不同魚種周期消長(zhǎng)的現(xiàn)象(方程中 表示食餌即被食小魚數(shù)， 表示捕食者即食肉大魚數(shù))，從此微分方程又成為建立各種生物模型的重要工具． 用微分方程建立生物模型在20世紀(jì)50年代曾獲得轟動(dòng)性

23、成果，這就是描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型霍奇金—哈斯利(Hodgkin-Huxley)方程(1952)和描述視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的哈特萊因—拉特里夫(Hartline-Ratliff)方程(1958)，它們都是復(fù)雜的非線性方程組，引起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的濃厚興趣．這兩項(xiàng)工作分別獲得1963年和1967年度諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)．,20世紀(jì)50年代是數(shù)學(xué)與生物學(xué)結(jié)緣的良好時(shí)期，也是在這一時(shí)期，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了脫氧核糖核酸(即DNA)的雙螺旋結(jié)構(gòu)

24、(如圖，1953，美國(guó)生物化學(xué)家J.D.沃森和英國(guó)物理學(xué)家F.H.C．克里克)． 雙螺旋模型的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著分子生物學(xué)的誕生，同時(shí)也拉開了抽象的拓?fù)鋵W(xué)與生物學(xué)結(jié)合的序幕．,,現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)使生物學(xué)家們?cè)陔娮语@微鏡下看到DNA雙螺旋鏈有纏繞與紐結(jié)．采用把DNA的紐結(jié)解開再把它們復(fù)制出來(lái)的辦法去了解DNA的結(jié)構(gòu)，這就使代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的紐結(jié)理論有了用武之地。 早在19世紀(jì)，高斯就討論過(guò)紐結(jié)問(wèn)題，并指出，“對(duì)兩條閉曲

25、線或無(wú)限長(zhǎng)曲線的纏繞情況進(jìn)行計(jì)數(shù)，將是位置幾何(即拓?fù)鋵W(xué))與度量幾何的邊緣領(lǐng)域里的一個(gè)主要任務(wù)．”一個(gè)多世紀(jì)后，高斯預(yù)言的這項(xiàng)數(shù)學(xué)任務(wù)，竟也成為揭示生命奧秘的DNA結(jié)構(gòu)研究中的一項(xiàng)重要任務(wù)．,1969年以來(lái)，數(shù)學(xué)家與物學(xué)家合作在計(jì)算雙螺旋“環(huán)繞數(shù)”(刻畫兩條閉曲線相互纏繞情況的拓?fù)洳蛔兞?方面取得了許多進(jìn)展(如懷特公式，J.H.White，1969)；1984年，關(guān)于紐結(jié)的新的不變量——瓊斯(Jones)多項(xiàng)式的發(fā)現(xiàn)，使生物學(xué)家有了一種

26、新的工具對(duì)他們?cè)贒NA的結(jié)構(gòu)中觀察到的紐結(jié)進(jìn)行分類． 另外，1976年以來(lái)，數(shù)學(xué)家與生物學(xué)家合作在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與組合數(shù)學(xué)來(lái)了解DNA鏈中堿基的排序方面也取得了令人鼓舞的成績(jī)．,馮·諾依曼說(shuō)過(guò)：“在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物理學(xué)方法，已越來(lái)越成為該學(xué)科成功與否的重要標(biāo)準(zhǔn)．” 20世紀(jì)60年代，數(shù)學(xué)方法在醫(yī)學(xué)診斷技術(shù)中的應(yīng)用提供了這方面的又一重要例證，這就是CT掃描儀的發(fā)明．

27、 1963—1964年間，美藉南非理論物理學(xué)家科馬克發(fā)表了計(jì)算人體不同組織對(duì)X射線吸收量的數(shù)學(xué)公式，解決了計(jì)算機(jī)斷層掃描的理論問(wèn)題．科馬克的工作促使英國(guó)工程師亨斯菲爾德(G.N.Hounsfield)發(fā)明了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描儀即CT掃描儀．科馬克和亨斯菲爾德共同榮獲了1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)．,科馬克的計(jì)算公式是建立在積分幾何中拉東(J.Radon)變換,,的基礎(chǔ)之上。.如圖，設(shè) 是X射線穿入人體組織(

28、圖中平面區(qū)域 )前的強(qiáng)度； 是射線穿出后的強(qiáng)度； 表示點(diǎn) 沿 變化時(shí)人體組織對(duì)射線的吸收系數(shù)(與組織密度等有關(guān))．,,,,,,記,,在 內(nèi)，直線與 從各個(gè)方向相交．若沿這些直線測(cè)出 的值，是否能由 定出函數(shù) ?科馬克利用與拉東變換相關(guān)的一套計(jì)算(卷積反投影等)解決了這一問(wèn)題，從而能根據(jù)測(cè)量所得的 值

29、建立函數(shù) ，并進(jìn)一步用計(jì)算機(jī)重建人體組織橫斷面圖．,除了數(shù)理統(tǒng)計(jì)、微分方程、拓?fù)鋵W(xué)和積分論，概率論(馬爾可夫過(guò)程等)應(yīng)用于人口理論和種群理論；布爾代數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；傅里葉分析應(yīng)用于生物高分子結(jié)構(gòu)分析，…等等，這一切構(gòu)成了“生物數(shù)學(xué)”的豐富內(nèi)容．現(xiàn)代生物數(shù)學(xué)可以按方法論分成三大部門，即生物統(tǒng)計(jì)、生物動(dòng)力系統(tǒng)和生物控制論．,12.2.3 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué),20世紀(jì)40年代以來(lái)，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化，導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的

30、誕生．參與這門交叉學(xué)科建立和發(fā)展的有馮·諾依曼等著名數(shù)學(xué)家．馮·諾依曼與摩根斯頓(O.Morgenstem)合著的《博奕論與經(jīng)濟(jì)行為》(Theory Of Games and Economic Behavior，1944)提出競(jìng)爭(zhēng)的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，成為現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的開端．20世紀(jì)50年代以來(lái)，數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了重要地位，以致大部分諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)都授予了與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的工作．,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛

31、維奇(1912—1986)和美國(guó)數(shù)學(xué)家丹齊格(G.B.Dantzig)各自獨(dú)立創(chuàng)建的線性規(guī)劃論(參見12.3)，在20世紀(jì)50年代被美藉荷蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章?T.C.Koopmans)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)而獲得很大成功．,庫(kù)普曼斯1951年發(fā)表《生產(chǎn)和配置的活動(dòng)分析》，用“活動(dòng)分析”代替經(jīng)典經(jīng)濟(jì)中的生產(chǎn)函數(shù)．所謂活動(dòng)分析包含了兩個(gè)基本概念：商品和活動(dòng)．商品用 定義，活動(dòng)用一組系數(shù) 定

32、義 ．例如煉鋼“活動(dòng)”，產(chǎn)出1噸鋼，消耗2個(gè)人工，1噸生鐵，600度電，活動(dòng)系數(shù)形成 活動(dòng)矢量：,,其中大于0的元素表示產(chǎn)出，小于0的元素表示投入。一種商品可寫成活動(dòng)的線性式：,,這相當(dāng)于線性規(guī)劃問(wèn)題求解．這種活動(dòng)分析，將“生產(chǎn)”描述為由一系列各具固定投入與產(chǎn)出關(guān)系的活動(dòng)，有利于用數(shù)學(xué)方法研究資源配置效率與價(jià)格體系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．庫(kù)普曼斯與康托洛維奇同獲1975年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)．,20世

33、紀(jì)50年代以來(lái)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)由于公理化方法的引進(jìn)而取得了重大進(jìn)展．1959年美藉法國(guó)數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布洛(G.Debreu)發(fā)表《價(jià)格理論》，對(duì)一般經(jīng)濟(jì)均衡理論給出了嚴(yán)格的公理化表述．從此公理化方法成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本方法．,一般經(jīng)濟(jì)均衡價(jià)格的存在問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)學(xué)界長(zhǎng)期關(guān)注但懸而未決的問(wèn)題．粗略地講，這問(wèn)題是問(wèn)：是否存在一個(gè)價(jià)格體系，使得消費(fèi)需求與生產(chǎn)供給相等?這樣的價(jià)格體系就叫一般均衡價(jià)格體系．,早在1874年，法國(guó)經(jīng)濟(jì)家沃拉斯(L.W

34、alras)就已將這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為由供給等于需求所決定的方程組的求解，這樣導(dǎo)出的一般是一組復(fù)雜的非線性方程，雖經(jīng)許多數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家不懈的努力，但問(wèn)題始終沒有解決．,直到1954年，德布洛和另一位美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅(K.Arrow)才第一次利用凸集理論、不動(dòng)點(diǎn)定理等給出了一般經(jīng)濟(jì)均衡的嚴(yán)格表述和存在性證明．德布洛的《價(jià)格理論》又使這一理論體系公理化．阿羅和德布洛先后獲得1972和1983年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)．一般經(jīng)濟(jì)均衡理論在20世紀(jì)70年代

35、以后又有了飛速發(fā)展，其研究用到了微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)?、大范圍分析、?dòng)力系統(tǒng)等抽象數(shù)學(xué)工具．,20世紀(jì)70年代以后，隨機(jī)分析又進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，特別是1973年布萊克(F.Black)和斯科爾斯(M.S.Scholes)將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)微分方程的解，從而導(dǎo)出了相當(dāng)符合實(shí)際的著名的期權(quán)定價(jià)公式，即布萊克—斯科爾斯公式：,,其中,,布萊克—斯科爾斯理論被認(rèn)為是金融數(shù)學(xué)方面的一項(xiàng)突破，它后又被默頓(R.C.Merton)進(jìn)一步完善，不

36、僅在金融活動(dòng)中行之有效，產(chǎn)生巨大利益，而且在數(shù)學(xué)上對(duì)隨機(jī)分析、隨機(jī)控制、偏微分方程、非線性分析、數(shù)值分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的發(fā)展也帶來(lái)極大的推動(dòng)．默頓和斯科爾斯榮獲1997年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)(應(yīng)分享這一榮譽(yù)的布萊克不幸在兩年前去世)．,12.3 獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科,數(shù)學(xué)向另一門科學(xué)滲透到一定階段，就會(huì)形成像我們?cè)谏弦还?jié)中介紹的那樣一些交叉分支，這類分支大量地、系統(tǒng)地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)工具，但一般說(shuō)來(lái)，它們?cè)跀?shù)學(xué)方法上并不獨(dú)立．

37、20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)獨(dú)特景觀，是產(chǎn)生了一批具有自己的數(shù)學(xué)方法、相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科．這些學(xué)科大都在第二次世界大戰(zhàn)期間形成(如運(yùn)籌學(xué)、控制論等)，或者是經(jīng)過(guò)二戰(zhàn)而有了飛躍的發(fā)展(如數(shù)理統(tǒng)計(jì))．,12.3.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì),簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)古來(lái)就有．在18、19世紀(jì)出現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)推斷思想的萌芽并有一定發(fā)展，但以概率論為基礎(chǔ)、以統(tǒng)計(jì)推斷為主要內(nèi)容的現(xiàn)代意義的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，則到20世紀(jì)才告成熟．,1763年，英國(guó)人貝葉斯(J.Bayes)發(fā)表《論機(jī)會(huì)學(xué)說(shuō)問(wèn)

38、題的求解》，其中的“貝葉斯定理”給出了在已知結(jié)果正后，對(duì)所有原因 計(jì)算其條件概率(后驗(yàn)概率) 的公式，可以看作最早的一種統(tǒng)計(jì)推斷程序． 拉普拉斯和高斯等利用貝葉斯公式估計(jì)參數(shù)，特別是高斯由于計(jì)算行星軌道的需要建立了以“最小二乘法”為基礎(chǔ)的誤差分析(1794-1809)．這些都促使統(tǒng)計(jì)學(xué)擺脫對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的單純描述而向強(qiáng)調(diào)推斷的階段過(guò)渡．,英國(guó)生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家K．皮爾遜在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的建立

39、上起了重要作用．皮爾遜在19世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)展了他老師高爾頓(F.Galton)首先提出的“相關(guān)”與“回歸”的理論，成功地創(chuàng)立了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)(1901)．皮爾遜提出了“總體”的概念，明確指出統(tǒng)計(jì)學(xué)不是研究樣本本身而是要根據(jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷，并根據(jù)這一思想提出了“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”，即檢驗(yàn)作為樣本取出的個(gè)體是否“擬合”從理論上確定的總體分布的問(wèn)題．這是假設(shè)檢驗(yàn)的先聲．皮爾遜為此還發(fā)展了 分布。,皮爾遜的工作是所謂“大樣本統(tǒng)計(jì)”的

40、前驅(qū)．他的學(xué)生戈塞特(W.S.Gosset)1908年以筆名“學(xué)生”發(fā)表的“學(xué)生分布”(即 分布)則開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論．小樣本理論強(qiáng)調(diào)樣本必須從總體中隨機(jī)地抽取，即必須是隨機(jī)樣本，從而使統(tǒng)計(jì)學(xué)研究對(duì)象從群體現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象.,,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的奠基人是英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)希爾(R．A．Fisher，1890—1962)。,,費(fèi)希爾,費(fèi)希爾畢業(yè)于劍橋大學(xué)，做過(guò)中學(xué)教員，曾長(zhǎng)期在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)站工作，在將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)與遺

41、傳學(xué)方面有豐富的積累．在1920和1930,年代，費(fèi)希爾提出了許多重要的統(tǒng)計(jì)方法，開辟了一系列統(tǒng)計(jì)學(xué)的分支領(lǐng)域．,他發(fā)展了正態(tài)總體下各種統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，將已有的相關(guān)、回歸理論建造為系統(tǒng)的相關(guān)分析與回歸分析；1925年他與葉茨(F.Yates)合作創(chuàng)立了試驗(yàn)設(shè)計(jì)這一重要的統(tǒng)計(jì)分支，與這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)相適應(yīng)的數(shù)據(jù)分析方法——方差分析，也是費(fèi)希爾在1923年提出的．試驗(yàn)設(shè)計(jì)倡導(dǎo)用統(tǒng)計(jì)方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，以提高試驗(yàn)效率，節(jié)省人力物力，因而產(chǎn)生了巨大

42、的社會(huì)影響．,費(fèi)希爾也是另一門重要統(tǒng)計(jì)分支假設(shè)檢驗(yàn)的先驅(qū)之一，他引進(jìn)了顯著性檢驗(yàn)概念．費(fèi)希爾關(guān)于檢驗(yàn)程序的推導(dǎo)方法是直觀的，在數(shù)學(xué)上尚不夠精煉．1928—1938年間，原藉羅馬尼亞的美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家內(nèi)曼(J．Neyman，1894—1981)與K．皮爾遜的兒子小皮爾遜(E.S.Pearson，1895—1980)合作，發(fā)展了假設(shè)檢驗(yàn)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，將所有可能的總體分布族看作一個(gè)集合，引進(jìn)“檢驗(yàn)功效函數(shù)”的概念作為判斷檢驗(yàn)程序好壞的標(biāo)準(zhǔn)，從

43、而使統(tǒng)計(jì)推斷的思想變得更加明確．,費(fèi)希爾實(shí)際上還開辟了多元統(tǒng)計(jì)分析的方向，他關(guān)于多元正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)分析，就是一種狹義的多元分析．1928年維夏特(J．Wishart)導(dǎo)出了“維夏特分布”，將這一方向發(fā)展為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支．多元統(tǒng)計(jì)分析的奠基人還有中國(guó)數(shù)學(xué)家許寶騍和美國(guó)數(shù)學(xué)家霍太林(H.Hotelling)等．,費(fèi)希爾自1933年起任倫敦大學(xué)學(xué)院教授，在那里領(lǐng)導(dǎo)了一個(gè)有世界影響的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派．在20世紀(jì)30、40年代，費(fèi)希爾和他的學(xué)

44、派可以說(shuō)占據(jù)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的主導(dǎo)地位．,1946年，瑞典數(shù)學(xué)家克拉默(H.Cramer)發(fā)表了《統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法》，用測(cè)度論系統(tǒng)總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展，標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的成熟．,第二次世界大戰(zhàn)期間，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中一些重要的新動(dòng)向，在很大程度上決定了這門學(xué)科在戰(zhàn)后的發(fā)展方向．其中最有影響的是美藉羅馬尼亞數(shù)學(xué)家沃爾德(A.Wald，1902-1950)提出的序貫分析和統(tǒng)計(jì)決策理論．,序貫分析的要旨是在統(tǒng)計(jì)推斷中以“序貫抽樣方案”來(lái)代替

45、傳統(tǒng)的固定抽樣方案．所謂序貫抽樣就是分步抽樣：先抽少量樣本，根據(jù)結(jié)果再?zèng)Q定是否停止抽樣還是繼續(xù)抽樣，以及抽多少樣本．而在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中，抽樣的多少是事先確定的，全部數(shù)據(jù)只影響最后結(jié)果．采用序貫抽樣可以使整個(gè)推斷程序在達(dá)到一定精度時(shí)自動(dòng)停止，因此有很大的優(yōu)越性．沃爾德是為了解決二戰(zhàn)中軍方提出的實(shí)際問(wèn)題而研究出序貫分析這一嶄新的統(tǒng)計(jì)方法的．他在1947年發(fā)表了《序貫分析》專著，使序貫分析在戰(zhàn)后發(fā)展為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要分支．,統(tǒng)計(jì)決策理論也引起了

46、戰(zhàn)后數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想的革新．經(jīng)典統(tǒng)計(jì)主要著眼于推斷，至于所獲得的論斷會(huì)產(chǎn)生什么后果，應(yīng)采取何種對(duì)策或行動(dòng)，則被認(rèn)為不屬于統(tǒng)計(jì)的范疇．沃爾德的統(tǒng)計(jì)決策理論則將后者也納人統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，用博奕的觀點(diǎn)看待數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題．他還定義了統(tǒng)計(jì)推斷程序的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，用以判別推斷程序的好壞．沃爾德1950年發(fā)表《統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)》一書，就在這一年，他因飛機(jī)失事不幸早逝．,沃爾德在他的統(tǒng)計(jì)研究中積極地利用先驗(yàn)概率與貝葉斯定理，這與費(fèi)希爾學(xué)派回避摒棄先驗(yàn)概率的做法大相徑庭，

47、因而引起極大反響．在20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家們圍繞著先驗(yàn)概率和貝葉斯定理展開的更為激烈的爭(zhēng)論，對(duì)整個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展有深遠(yuǎn)影響．,12.3.2 運(yùn)籌學(xué),運(yùn)籌學(xué)(Operations Research)原意為“作戰(zhàn)研究”，其策源地在英國(guó)．,第二次世界大戰(zhàn)中英國(guó)空軍發(fā)現(xiàn)空防雷達(dá)送來(lái)的信息需要加以協(xié)調(diào)，才能使雷達(dá)、戰(zhàn)斗機(jī)系統(tǒng)在配合上達(dá)到滿意的作戰(zhàn)效果．當(dāng)時(shí)負(fù)責(zé)英國(guó)海岸雷達(dá)系統(tǒng)的羅(A．P．Rowe)建議進(jìn)行這方面的研究并起名為“Operation

48、al Research”，英國(guó)空軍還成立了專門的運(yùn)籌小組．不久美國(guó)軍隊(duì)也開展了類似的研究并改稱“Operations Research”（運(yùn)籌一詞，出自《漢書﹒高帝本紀(jì)》：“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外。”）．,運(yùn)籌研究在1940年英國(guó)對(duì)付德軍空襲的戰(zhàn)斗中建有奇功，在如搜尋潛艇、深水炸彈投放方案、兵力分配等方面也都發(fā)揮了功效．到二戰(zhàn)結(jié)束時(shí)，在英、美等國(guó)軍隊(duì)中服務(wù)的運(yùn)籌學(xué)工作者已超過(guò)700人。戰(zhàn)后由于這些人的倡導(dǎo)，運(yùn)籌學(xué)被引人民用部門，研究

49、內(nèi)容不斷擴(kuò)充而形成為一門蓬勃發(fā)展的新興的應(yīng)用學(xué)科．目前，它已包括有數(shù)學(xué)規(guī)劃論、博奕論、排隊(duì)論、決策分析、圖論、可靠性數(shù)學(xué)理論、庫(kù)存論、搜索論等許多分支，統(tǒng)籌與優(yōu)選也可列入運(yùn)籌學(xué)的范疇，運(yùn)籌學(xué)就是運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法來(lái)解決生產(chǎn)、國(guó)防、商業(yè)和其他領(lǐng)域中的安排、籌劃、控制、管理等有關(guān)的問(wèn)題．,數(shù)學(xué)規(guī)劃論是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)基本而又龐大的領(lǐng)域，其中線性規(guī)劃論則是發(fā)展最早和比較成熟的分支．,有一類實(shí)際問(wèn)題需要將某些對(duì)象最大化(如利潤(rùn)、安全等)或最小化(如支

50、出、風(fēng)險(xiǎn)等)，數(shù)學(xué)規(guī)劃就是為這類實(shí)際問(wèn)題提供數(shù)學(xué)模型的一種方法，具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)規(guī)劃尋求函數(shù) 在規(guī)定 必須滿足一定條件時(shí)的極小(或極大)值． 稱為“目標(biāo)函數(shù)”，必須滿足的條件稱為“約束條件”．如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，就叫線性規(guī)劃，即,,約束條件為,,線性規(guī)劃問(wèn)題在孕育整個(gè)運(yùn)籌學(xué)的數(shù)學(xué)理論方面扮演

51、了重要角色，并且至今仍是這門學(xué)科的中心課題．,線性規(guī)劃的先驅(qū)者是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇，他在1938年就給出了像尋求用8種型號(hào)的機(jī)床完成5種類型產(chǎn)品加工的最合理運(yùn)行計(jì)劃這樣的問(wèn)題的數(shù)學(xué)處理，1939年發(fā)表《生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法》，是最早的線性規(guī)劃著作．但康托洛維奇的工作當(dāng)時(shí)在西方國(guó)家很少有人了解．,1947年，美國(guó)的丹齊克又獨(dú)立地發(fā)展了線性規(guī)劃理論，線性規(guī)劃這一名稱就是他首先使用的．特別是，丹齊克設(shè)計(jì)了一種叫單純形法的算法，作為求

52、解線性規(guī)劃問(wèn)題的計(jì)算工具． 我們知道，線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件在幾何上對(duì)應(yīng)于一個(gè)凸多面體(也叫多胞形)，單純形法的實(shí)質(zhì)就是從多胞形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，然后在多胞形的表面沿著邊從一個(gè)頂點(diǎn)向另一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，每到達(dá)一個(gè)新的頂點(diǎn)，按照一定的判別方法來(lái)決定究竟取哪條路線繼續(xù)移動(dòng)，直至達(dá)到最大(小)化頂點(diǎn)．單純形法在實(shí)用上非常有效，因而使線性規(guī)劃論有了發(fā)展的基礎(chǔ)．,從算法理論分析，單純形算法屬于指數(shù)型算法，即一種“非有效”算法．由于在

53、一些實(shí)際的線性規(guī)劃問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往涉及成千上萬(wàn)個(gè)變量，因此數(shù)學(xué)家們還希望能找到更快的計(jì)算方法． 直觀上看，如果不是沿多胞形表面的邊前進(jìn)，而是直接穿過(guò)多胞形內(nèi)部去尋找最優(yōu)點(diǎn)應(yīng)該更快．因此從1970年代起，數(shù)學(xué)家們就開始尋找這樣的“內(nèi)點(diǎn)法”．,起先這種努力并不順利，數(shù)學(xué)家們雖然找到了幾種內(nèi)點(diǎn)法，但在實(shí)用中卻沒有顯示出比單純形法有優(yōu)越之處． 19E4年，美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室28歲的數(shù)學(xué)家卡瑪卡(N.K

54、armarkar)終于發(fā)明了一種多項(xiàng)式時(shí)間的線性規(guī)劃算法，這種計(jì)算方法在許多場(chǎng)合遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過(guò)了單純形法．這種算法現(xiàn)在就叫“卡瑪卡算法”，卡瑪卡為了得到他的算法，利用了與高維多面體有關(guān)的高度抽象的數(shù)學(xué)成果．,通過(guò)探討目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同情況，數(shù)學(xué)家們得到了線性規(guī)劃論沿不同方向的推廣．如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件中出現(xiàn)非線性表示，就稱為非線性規(guī)劃． 1951年庫(kù)恩(H.W.Kuhn)和塔克爾(A.W.Tucker)對(duì)一般的約

55、束非線性規(guī)劃問(wèn)題得到了局部極值點(diǎn)的“庫(kù)恩—塔克爾條件”，他們的論文標(biāo)題即為《非線性規(guī)劃》，可以看作是這一分支學(xué)科的發(fā)端.,繼線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃之后建立的另一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃論同時(shí)也是運(yùn)籌學(xué)的基本分支是動(dòng)態(tài)規(guī)劃，其奠基人是貝爾曼(R.Bellman，1920-1984)．貝爾曼1957年發(fā)表的專著《動(dòng)態(tài)規(guī)劃》，標(biāo)志著動(dòng)態(tài)規(guī)劃學(xué)科的建立．動(dòng)態(tài)規(guī)劃尋求使包含有時(shí)間變量的目標(biāo)函數(shù)取最大或最小值的策略，即最優(yōu)策略． 貝爾曼提出最優(yōu)化

56、原理：“一個(gè)最優(yōu)策略應(yīng)具備如下性質(zhì)，就是無(wú)論初始狀態(tài)和初始決策如何，對(duì)于作為這一初始決策的結(jié)果所產(chǎn)生的狀態(tài)，以后的決策序列必須構(gòu)成最優(yōu)策略”。這一原理表達(dá)了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想，因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃從一開始就與控制理論密切相關(guān)．,12.3.3 控制論,控制論也是在第二次世界大戰(zhàn)期間新興的應(yīng)用學(xué)科．控制論的創(chuàng)始人維納(N.Wiener，1894—1964)，在第二次世界大戰(zhàn)中接受了一項(xiàng)與火力控制有關(guān)的研究：設(shè)計(jì)一種能有效地指揮高射炮的裝置．

57、 飛機(jī)的高速度使以往的火力瞄準(zhǔn)方法都顯得陳舊無(wú)用．為了擊中目標(biāo)，要使投射物與射擊目標(biāo)在未來(lái)的某個(gè)時(shí)刻同時(shí)到達(dá)空間某處．因此必須找到某種能預(yù)測(cè)飛機(jī)未來(lái)位置的方法。這就是所謂的“預(yù)報(bào)問(wèn)題”(predicting)，是維納控制論的主要來(lái)源之一．,控制論的另一個(gè)實(shí)際來(lái)源是通信“濾波問(wèn)題”(filtering)．在通信過(guò)程中一個(gè)信息往往被外來(lái)干擾(噪聲)所混雜． 長(zhǎng)期以來(lái)，設(shè)計(jì)一種能過(guò)濾噪聲、復(fù)原信息的裝置——濾波器，便

58、是通信工程師和數(shù)學(xué)家合作的一個(gè)課題，維納從1930年代起就對(duì)這方面的問(wèn)題予以關(guān)注．,維納,維納 (Norbert Wiener，1894-1964) 美國(guó)數(shù)學(xué)家，控制論的創(chuàng)始人。維納1894年11月26日生于密蘇里州的哥倫比亞，1964年3月18日卒于斯德哥爾摩。 維納在其50年的科學(xué)生涯中，先后涉足哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)，最后轉(zhuǎn)向生物學(xué)，在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚(yáng)過(guò)的、本世紀(jì)多才多

59、藝和學(xué)識(shí)淵博的科學(xué)巨人。 他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。他的主要著作有《控制論》(1948)、《維納選集》(1964)和《維納數(shù)學(xué)論文集》(1980)。維納還有兩本自傳《昔日神童》和《我是一個(gè)數(shù)學(xué)家》。,維納趣事,20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家諾伯特·維納，從小就智力超常，三歲時(shí)就能讀寫，十四歲時(shí)就大學(xué)畢業(yè)了。幾年后，他又通過(guò)了博士論文答辯，成為美國(guó)哈佛大學(xué)的科學(xué)博士。 　　在博士學(xué)位的授予儀式上，執(zhí)

60、行主席看到一臉稚氣的維納，頗為驚訝，于是就當(dāng)面詢問(wèn)他的年齡。維納不愧為數(shù)學(xué)神童，他的回答十分巧妙：“我今年歲數(shù)的立方是個(gè)四位數(shù)，歲數(shù)的四次方是個(gè)六位數(shù)，這兩個(gè)數(shù)，剛好把十個(gè)數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。這意味著全體數(shù)字都向我俯首稱臣，預(yù)祝我將來(lái)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一定能干出一番驚天動(dòng)地的大事業(yè)?！?　　維納此言一出，四座皆驚，大家都被他的這道妙題深深地吸引住了。整個(gè)會(huì)場(chǎng)上的人，都在議論他的年齡問(wèn)題。,,其實(shí)這

61、個(gè)問(wèn)題不難解答，但是需要一點(diǎn)數(shù)字“靈感”。不難發(fā)現(xiàn)，21的立方是四位數(shù)，而22的立方已經(jīng)是五位數(shù)了，所以維納的年齡最多是21歲；同樣道理，18的四次方是六位數(shù)，而17的四次方則是五位數(shù)了，所以維納的年齡至少是18歲。這樣，維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)。 　　剩下的工作就是一一篩選了。20的立方是8000，有3個(gè)重復(fù)數(shù)字0，不合題意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合題意

62、。最后只剩下一個(gè)18，是不是正確答案呢？驗(yàn)算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好不重不漏地用完了十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，多么完美的組合！ 　　這個(gè)年僅18歲的少年博士，后來(lái)果然成就了一番大事業(yè)：他成為信息論的前驅(qū)和控制論的奠基人。,趣事,有一次維納的一個(gè)學(xué)生看見維納正在郵局寄東西，很想自我介紹一番。在麻省理工學(xué)院真正能與維納直接說(shuō)上幾句話、握握手，還是十分難得的。但這位學(xué)生不知道怎樣接近他為好。

63、 這時(shí)，只見維納來(lái)來(lái)回回踱著步，陷于沉思之中。這位學(xué)生更擔(dān)心了，生怕打斷了先生的思維，而損失了某個(gè)深刻的數(shù)學(xué)思想。但最終還是鼓足勇氣，靠近這個(gè)偉人：“早上好， 維納教授！”維納猛地一抬頭，拍了一下前額，說(shuō)道：“對(duì)，維納！”原來(lái)維納正欲往郵簽上寫寄件人姓名，但忘記了自己的名字……。,在維納之前，預(yù)報(bào)問(wèn)題與濾波問(wèn)題一直被看作不同的問(wèn)題分別討論．維納的獨(dú)到之處恰恰在于他看出了這兩類問(wèn)題與其他一些類似的問(wèn)題可以用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)給出統(tǒng)一處理

64、，從而建立起控制理論． 維納注意到，一項(xiàng)信息，不論它是以電的、機(jī)械的還是神經(jīng)的方式傳送，都可以看作依時(shí)間分布的可測(cè)量事件的序列，即統(tǒng)計(jì)學(xué)家所稱的時(shí)間序列．預(yù)報(bào)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上相當(dāng)于用某種算符去運(yùn)算某個(gè)信息的過(guò)去以預(yù)測(cè)其未來(lái)；而濾波問(wèn)題則相當(dāng)于用某種算符作用于被混雜的信息以恢復(fù)原來(lái)的信息．,維納認(rèn)識(shí)到，在大多數(shù)情形，完全精確的預(yù)報(bào)與復(fù)原都是不可能的．他提出來(lái)的任務(wù)，是尋求問(wèn)題的最優(yōu)解． “最優(yōu)”的意義

65、是使產(chǎn)生的結(jié)果與理論解之間的誤差最小，而這里“誤差”是用一個(gè)可以由已知時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)導(dǎo)出的均方差表達(dá)式來(lái)衡量．這樣維納就將預(yù)報(bào)、濾波等問(wèn)題的求解歸結(jié)為特定數(shù)學(xué)算符的最優(yōu)設(shè)計(jì)，以及實(shí)現(xiàn)這些算符的物理裝置的最優(yōu)設(shè)計(jì)．,這種設(shè)計(jì)過(guò)程，依賴于數(shù)學(xué)中變分法的極小化技術(shù)，同時(shí)取決于所處理信息的時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)學(xué)．維納廣泛地利用了調(diào)和分析與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中成熟的工具，建立起一整套最優(yōu)設(shè)計(jì)的方法，逐步形成了系統(tǒng)的控制理論．,維納的最優(yōu)設(shè)計(jì)過(guò)程涉及

66、到一個(gè)很重要的概念叫“反饋”(feedback)，即將每一步輸出的結(jié)果與理論值之誤差重新作為輸入對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，使之實(shí)現(xiàn)最優(yōu)狀態(tài)．“反饋”并不是一個(gè)新概念，但維納指出過(guò)度的反饋會(huì)引起系統(tǒng)的激烈振蕩不穩(wěn)，而這個(gè)問(wèn)題以往沒有解決．維納依靠生理學(xué)家特別是墨西哥國(guó)立心臟學(xué)研究所的羅森勃呂特(A.Rosenblueth)等的幫助解決了這個(gè)問(wèn)題，并對(duì)反饋機(jī)制作出了嚴(yán) 格的解釋，使之成為維納控制論的一個(gè)中心概念．,為了建立控制論，維納從1940年代初

67、開始，與電工學(xué)家、生理學(xué)家、計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)家、通信工程師以及其他數(shù)學(xué)家展開了極其廣泛的合作(在這些合作者中有一位是維納的學(xué)生，來(lái)自中國(guó)的濾波器設(shè)計(jì)家李郁榮)．1948年，維納終于出版了他的名著《控制論》(Cybernetics)，宣告了控制論這門學(xué)科的誕生．維納在導(dǎo)言中說(shuō)明Cybernetics(控制論)這個(gè)詞是,,從希臘語(yǔ) （掌舵人)變來(lái)的，船舶的操舵儀是反饋機(jī)構(gòu)的一種最早形式．,維納,

68、維納在發(fā)明控制論以前已經(jīng)是大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家了．他發(fā)展了廣義調(diào)和分析；他對(duì)概率論布朗運(yùn)動(dòng)的研究使人們常常把這類運(yùn)動(dòng)稱為“維納過(guò)程”，等等．這些純數(shù)學(xué)的成果，無(wú)疑是他建立控制論的堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)．,維納本人后來(lái)談到，他之所以能夠創(chuàng)立控制論，一方面固然是他有機(jī)會(huì)接觸和熟悉像火力控制這樣的實(shí)際問(wèn)題，另一方面則在于他此前已發(fā)展了調(diào)和分析的理論工具． 維納是數(shù)學(xué)史上的一名神童，他14歲大學(xué)畢業(yè)，同時(shí)成為哈佛大學(xué)研究生；18歲獲得博士學(xué)