古埃及古希臘數(shù)學(xué)史

1、第一講 數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生,,,數(shù)概念的形成可能與火的使用一樣古老，大約是在30萬年以前，它對于人類文明的意義也決不亞于火的使用。記數(shù) 計(jì)數(shù)手指計(jì)數(shù)、石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)數(shù)等?！吨芤住罚骸吧瞎沤Y(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契?！?1、數(shù)學(xué)起源,手指計(jì)數(shù)（伊朗，1966）,結(jié)繩計(jì)數(shù)（秘魯，1972）,1、數(shù)學(xué)起源,1、數(shù)學(xué)起源,文字5000年(伊拉克, 2001),1、數(shù)學(xué)起源,西安半坡遺址出土的

2、陶器殘片,,荷馬史詩《奧德賽》當(dāng)主人公奧德修斯刺瞎了獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯僅有的一只眼睛以后，那個(gè)不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊兒外出吃草，每出來一只，他就從一堆石子里撿出一顆。晚上羊兒返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子全都扔光時(shí)，他就確信所有的羊兒返回了山洞。,,數(shù)學(xué)的發(fā)源地,非洲的尼羅河 西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河 中南亞的印度河和恒河 東亞的黃河和長江“河

3、谷文明”,2、河谷文明與早期數(shù)學(xué),古代埃及 古巴比倫 古代中國,,這些地區(qū)的先民由于從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要，從控制洪水和灌溉，測量田地的面積、計(jì)算倉庫的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交換等等長期實(shí)踐活動中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，并逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。,古代埃及的數(shù)學(xué),埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開始出現(xiàn)一些小國家，公元前3000年左右開始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國家?！　?、古王

4、國時(shí)期：前2686－前2181年。埃及進(jìn)入統(tǒng)一時(shí)代，開始建造金字塔，是第一個(gè)繁榮而偉大的時(shí)代?！　?、新王國時(shí)期：前1567－前1086年。埃及進(jìn)入極盛時(shí)期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國?！　≈钡焦?32年亞歷山大大帝征服埃及為止?！　“＜叭藙?chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。,古代埃及簡況,古代埃及的數(shù)學(xué),,吉薩金字塔(公元前2600年)（剛果

5、，1978）,,,古代埃及的數(shù)學(xué),,萊茵德紙草書 莫斯科紙草書,埃及紙草書（民主德國, 1981）,古代埃及的數(shù)學(xué),1 古埃及的數(shù)學(xué),兩卷古埃及數(shù)學(xué)資料 公元前1700年左右莫斯科紙草 25個(gè)數(shù)學(xué)問題 1893年 莫斯科美術(shù)博物館萊茵德紙草 85個(gè)數(shù)學(xué)問題 1858年 英國博物館 阿姆士 公元前3000年 阿默士紙草 “萬物的詳盡研究，洞察一切存

6、在及所有晦澀奧秘的知識”。,2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù),2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù),根據(jù)史料記載，埃及象形文字似乎只限于表示107以前的數(shù)。由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的，必須要數(shù)“個(gè)位數(shù)”、“十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個(gè)數(shù)。但在計(jì)算乘法時(shí)，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運(yùn)算過程比較簡單,,乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對應(yīng)結(jié)果相加。例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12×

7、;12的計(jì)算方法，是從右往左讀的。我們以現(xiàn)代數(shù)字來表示，這就是倍增法。    1 12     2 24    / 4 48    / 8 96合計(jì) 144     由上表可知，計(jì)算的方法是把12依次

8、擴(kuò)大2倍，那么12×12為12的4倍加上12的8倍恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(上表以現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字為例，因此在左側(cè)標(biāo)出)標(biāo)記斜線，算得結(jié)果144。,,除法：埃及人很早就認(rèn)識到除法是乘法的逆運(yùn)算，并蘊(yùn)含在實(shí)際計(jì)算之中。例如，計(jì)算1120÷80      1 80    / 10 800   

9、; 2 160    / 4 320    合計(jì) 1120     以上求解的基本思路是10倍的80加上4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個(gè)80。,分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算,,體積的測量有其自己的符號體系：由象征何露斯的眼睛的象形文字的部分組成。何露斯是鷹神，他的眼睛半人半鷹。,象征他的眼

10、睛的象形文字的每一個(gè)元素分別表示1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64，將它們組合起來可以表示分母為64的任何分?jǐn)?shù)。,2 古埃及的記數(shù)制與算術(shù),何露斯的眼睛本身還帶有神秘色彩(太陽和月亮）伊希斯和歐西里斯何露斯為埃及國王以及法老的守護(hù)神何露斯的眼睛成為了健康、洞察力和富饒的象征掌管學(xué)習(xí)和魔法的月神透特“透特將剩下的1/64給予所有進(jìn)行了探索并接受了他的保護(hù)的書記們,,他是一位獵鷹形態(tài)的造物神。他的眼睛是太陽和

11、月亮。當(dāng)新月出現(xiàn)時(shí)，他就成了一個(gè)瞎子，意思是“沒有眼睛的人”，而當(dāng)他的視力恢復(fù)時(shí)是“有眼睛的人”。眼盲時(shí)的荷魯斯時(shí)非常危險(xiǎn)的，他有時(shí)會將朋友誤認(rèn)為敵人并發(fā)起攻擊。他是奧西里斯與伊西斯的兒子，是萊托波里斯的守護(hù)神。,3 古埃及的代數(shù),“計(jì)算若干”的問題 方程問題 試位法公元前1950年：將給定的100單位的面積分為兩個(gè)正方形，使二者的邊長之比為4：3。 x2+y2=100。萊因德紙草（等差數(shù)列問題）：今將10斗麥子分給10個(gè)人

12、，每人依次遞降1/8斗，問各得多少？,3 古埃及的代數(shù),?？怂魉辜埐?等比數(shù)列一位婦人的家里有7間儲藏室，每間儲藏室里有7只貓，每只貓捉了7只老鼠，每只老鼠吃了7棵麥穗，每棵麥穗可以長出7升麥粒。這個(gè)問題的作者是用逐項(xiàng)相加這一簡單方法得到解答的。沒有證據(jù)說明作者使用了求和公式，抑或確實(shí)是用到幾何級數(shù)的什么性質(zhì)。,4 古埃及的幾何學(xué),埃及幾何學(xué)是尼羅河的贈禮。尼羅河周期性泛濫之后為了重劃地界，需要有高度發(fā)達(dá)的土地測量技術(shù)?！按笸?/p>

13、（法老拉美西斯二世，約公元前1300年）把土地分成大小相同的小正方形，然后分給每一個(gè)埃及人，同時(shí)，指定年稅的支付并以此作為國家收入的來源。如果一個(gè)人的土地被河水沖走，他可以找大王申報(bào)所發(fā)生的事情，然后大王會派人去調(diào)查并測量減少的土地?cái)?shù)量。這樣以后就按剩下土地的比例繳稅。,,阿蒙神廟,,卡爾納克神廟,,4 古埃及的幾何學(xué),和上古時(shí)代的許多民族一樣，埃及人似乎也已熟悉這樣的事實(shí)：如果三角形三邊的邊長與3，4，5三個(gè)數(shù)成正比，則此三角形是直角

14、三角形。但沒有可靠的證據(jù)說明他們在建筑活動中曾用過這個(gè)事實(shí)。關(guān)于圓面積的計(jì)算，埃及人認(rèn)為它等于一個(gè)邊長為此圓直徑的8/9的正方形面積，這個(gè)結(jié)果導(dǎo)致圓周長與其直徑之比是。,,新加坡數(shù)學(xué)教科書《New Mathematics Counts》 “勾股定理”這一章的一幅插圖,4 古埃及的幾何學(xué),一些紙草表明，埃及人在幾何方面也能解決某些有實(shí)用價(jià)值的問題。他們提出了計(jì)算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、石料和

15、其他建筑材料多寡等的法則。等腰梯形面積 三角形的面積任意四邊形面積的公式 棱錐、圓錐、圓柱及半球的體積方棱錐平頭截體體積的計(jì)算。,4 古埃及的幾何學(xué),埃及人在體積計(jì)算中達(dá)到了很高的水平。莫斯科紙草：“你這樣說，一個(gè)正四棱臺6腕尺高，頂面每邊4腕尺，底面每邊2腕尺。你這樣做：將4自乘，得16。再將4乘以2，得8，它就是底邊乘以頂邊。再將2自乘，得4。將16加8再加4，得28。再取6的1/3得2。再取28的兩倍，得56?？?，這個(gè)5

16、6正好就是你要求的體積。”這個(gè)驚人的結(jié)果表明，埃及人早在公元前1850年就已熟悉確定 正四棱臺體積的方法了?！白顐ゴ蟮陌＜敖鹱炙?4 古埃及的幾何學(xué),埃及人究竟懂不懂證明，或著懂不懂他們的算法和公式需要與根據(jù)？有一種說法認(rèn)為萊茵德紙草是按教科書格式寫給當(dāng)時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)用的，因此雖然它在解一些類型的方程時(shí)沒有敘述一般法則，但很可能作者是懂得這些規(guī)則的，但想讓學(xué)生自己去體會出這些法則，或者想讓教師教給他們。不過可以肯定的是，紙草中所

17、載的問題是當(dāng)時(shí)的商業(yè)人員和行政管理人員應(yīng)該解決的那類問題，而求解的方法則是從工作經(jīng)驗(yàn)中得出的實(shí)用法則。,古代巴比倫的數(shù)學(xué),兩河流域（美索不達(dá)米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字－“楔形文字”。 古巴比倫王國：前1894－前729年。漢穆拉比（在位前 1792－前 1750）統(tǒng)一了兩河流域，建成了一個(gè)強(qiáng)盛的中央集權(quán)帝國，頒布了著名的《漢穆拉比法典》。 亞述帝國：前8世紀(jì)－前612年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩

18、蘇爾市）。 新巴比倫王國：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）統(tǒng)治時(shí)期達(dá)到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成巴比倫“空中花園”。 公元前6世紀(jì)中葉，波斯國家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國。,古代巴比倫簡況,古代巴比倫的數(shù)學(xué),,,,古代巴比倫的數(shù)學(xué),,泥版楔形文 　 普林頓322,1 古巴比倫的記數(shù)制,59記作古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是

19、60進(jìn)制,1 古巴比倫的記數(shù)制,古巴比倫人的這種記數(shù)法并不完善。他們用留空位的辦法代表零。古巴比倫人也使用分?jǐn)?shù)，他們總是用60作為分母。古巴比倫人的分?jǐn)?shù)系統(tǒng)是不成熟的。要弄清巴比倫數(shù)字的真正數(shù)值還必須聯(lián)系上下文，依靠智力進(jìn)行推定,2 古巴比倫的算術(shù),與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運(yùn)算也是借助于各種各樣的表來進(jìn)行的。大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表。為了便于計(jì)算，他們大約在公元前2000年以前已

20、經(jīng)編制了從1×1到60×60的乘法表，并用來進(jìn)行乘法運(yùn)算了。倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行，經(jīng)常要使用分?jǐn)?shù)。,3 古巴比倫的代數(shù),在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學(xué)已出現(xiàn)了用文字?jǐn)⑹龅拇鷶?shù)問題?？赡苡捎谠S多代數(shù)問題都與幾何有關(guān)，因此他們常常用“長”，“寬”，“面積”來代表未知數(shù)和它們的乘積等。,3 古巴比倫的代數(shù),給定矩形的面積和周長，試求邊長？求一個(gè)數(shù)，使它的倒數(shù)之和等于固定的數(shù)？求解一些高次方程,4 古

21、巴比倫的幾何,在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因?yàn)閷?shí)際中的幾何問題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。古巴比倫人的幾何知識，與他們在代數(shù)學(xué)上所取得的成就來比，相對地要遜色得多。巴比倫幾何學(xué)的主要特征是它的代數(shù)性質(zhì)，一些比較復(fù)雜的問題雖然以幾何術(shù)語來表達(dá)，但實(shí)質(zhì)上還是一些特殊的代數(shù)問題。,4 古巴比倫的幾何,他們的面積和體積計(jì)算是按照一些固定的法則和公式給出的。例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長方形、直角三角

22、形、等腰三角形以及直角梯形面積的計(jì)算。他們還掌握了長方體以及特殊梯形為底的直棱柱體體積計(jì)算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積。,4 古巴比倫的幾何,在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡單圖形的組合的本領(lǐng)。但他們錯(cuò)誤地認(rèn)為，圓臺和棱臺的體積是兩底之和的一半與高的乘積。這一事實(shí)表明，古巴比倫的計(jì)算方法還是經(jīng)驗(yàn)型的，這些結(jié)果都沒有經(jīng)過證明

23、。,勾股定理的廣泛使用。有一塊泥板上有這樣一個(gè)問題：倚墻而立的木桿長30尺，若上端下滑6尺，問其下端將移離墻多遠(yuǎn)？,5 古巴比倫的天文學(xué),在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開始使用年、月、日的天文歷法。他們的年歷是從春分開始的，一年有12個(gè)月，每月有30天，每6年加上第13個(gè)月作為閏月。圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時(shí)60分，1分60秒的記法，也是來自古巴比倫。,5 古巴比倫的天文學(xué),一個(gè)星期有

24、7天，這7天是以太陽、月亮和金、木、水、火、土七星來命名的，每個(gè)星神主管一天。所謂“星期”也就是指星的日期。我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時(shí)代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語單詞中還能找到一些痕跡。,小結(jié),古巴比倫和古埃及數(shù)學(xué)的內(nèi)容都與那個(gè)地區(qū)的社會和生活的需要密切相關(guān)。古巴比倫人對天文學(xué)的研究比較感興趣，因此，相對而言，他們的以60進(jìn)位記數(shù)法為基礎(chǔ)的算術(shù)與代數(shù)較為領(lǐng)先。而古埃及人偏重于測量與建筑施工，因而他們的幾何成果比

25、較突出。這些表明，數(shù)學(xué)從她的萌芽之日起，就是以實(shí)際需要為基礎(chǔ)的，離開了實(shí)際需要，數(shù)學(xué)研究就缺少了直接動力，數(shù)學(xué)也就不能迅速發(fā)展了。,6 小結(jié),需要指出的是，在古巴比倫或古埃及的數(shù)學(xué)中，雖然出現(xiàn)了一些令人信服的數(shù)學(xué)和重要的公式，但他們的數(shù)學(xué)知識還僅僅表現(xiàn)為對于一些實(shí)際問題觀察的結(jié)果以及某些經(jīng)驗(yàn)的積累，數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的邏輯思維與理論概括甚至還未被他們覺察，更談不上掌握了。而真正科學(xué)意義下的理性數(shù)學(xué)，是由希臘人為我們提供的。,黃河壺口瀑布（

26、中國，2002）,西漢以前的中國數(shù)學(xué),大禹治水(公元前21世紀(jì)),西漢以前的中國數(shù)學(xué),《史記·夏本紀(jì)》,殷墟甲骨上數(shù)學(xué)(商代, 公元前1400-前1100年, 1983-84年間河南安陽出土 ),西漢以前的中國數(shù)學(xué),算籌(1971年陜西千陽縣西漢墓出土),西漢以前的中國數(shù)學(xué),籌算記數(shù)法,6708,西漢以前的中國數(shù)學(xué),2002年湖南龍山里耶戰(zhàn)國－秦漢城址考古,西漢以前的中國數(shù)學(xué),記錄了秦始皇二十六年(公元前221年)至三十