《數(shù)學(xué)史》古希臘數(shù)學(xué)(1)

1、第三章　古希臘數(shù)學(xué),背景古希臘所在地區(qū)是指希臘半島、愛琴海諸島、小亞細(xì)亞、地中海沿岸、埃及北部和意大利南部。古希臘數(shù)學(xué)的歷史可以分為兩個不同的發(fā)展時期：(1)從公元前600年到公元前300年，稱為古典時期。(2)從公元前300年到公元600年，稱為亞歷山大里亞時期。,希臘-歐洲文明的搖籃,,（神殿）,希臘，所有榮譽歸于橄欖樹,,（象征榮譽與和平的起源）,奧林匹克運動會,奧林匹克運動會，每四年舉行一次。奧林匹克運動會最早起源于古希

2、臘，因舉辦地在奧林匹亞而得名。奧林匹克運動會現(xiàn)在已經(jīng)成為了和平與友誼的象征，它是一種融體育、教育、文化為一體的綜合性、持續(xù)性、世界性的活動，也是一種文化的傳播體現(xiàn)，這樣的傳播在奧運會中能得到充分的展示。,,第三章　古希臘數(shù)學(xué),,2.1 論證數(shù)學(xué)的發(fā)端,泰勒斯 古希臘時期的思想家、科學(xué)家、哲學(xué)家，希臘最早的哲學(xué)學(xué)派——米利都學(xué)派（也稱愛奧尼亞學(xué)派）的創(chuàng)始人。希臘七賢之一，西方思想史上第一個有記載有名字留下來的思想家

3、?！翱茖W(xué)和哲學(xué)之祖”，泰勒斯是古希臘及西方第一個自然科學(xué)家和哲學(xué)家。泰勒斯的學(xué)生有阿那克西曼德、阿那克西米尼等。,2.1 論證數(shù)學(xué)的發(fā)端,泰勒斯愛奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)立人和領(lǐng)袖，是古希臘論證數(shù)學(xué)的祖師泰勒斯把埃及的地面測量演變成平面幾何學(xué)，發(fā)現(xiàn)了平面幾何學(xué)的許多定理，并加以證明。如：(1)圓的直徑將圓分為兩個相等的部分。(2)等腰三角形兩底角相等。(3)兩相交直線形成的對頂角相等。(4)如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對

4、應(yīng)角、邊相等，那么這兩個三角形全等。,畢達(dá)哥拉斯,畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。無論是解說外在物質(zhì)世界，還是描寫內(nèi)在精神世界，都不能沒有數(shù)學(xué)!最早悟出萬事萬物背后都有數(shù)的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達(dá)哥拉斯。 畢達(dá)哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島)，自幼聰明好學(xué)，曾在名師門下學(xué)習(xí)幾何學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué)。以后因為向往東方的智慧，經(jīng)過萬水千山來到巴比倫、印度

5、和埃及（有爭議），吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯(公元前580－前500)是希臘論證數(shù)學(xué)的另一位祖師，其生事?lián)渌访噪x。對其生平與工作的了解，主要是通過普魯克魯斯等人關(guān)于希臘著作的評注，以及柏拉圖、希羅多德的著述所提供的信息。普魯克魯斯評價畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：“畢達(dá)哥拉斯繼泰勒斯之后，將這門科學(xué)改造為自由的教育形式，首先檢驗其真理，并用一種無形和理智的方式探討其定理?！?古典時期的

6、希臘數(shù)學(xué),哲學(xué)信條是“萬物皆數(shù)”,這里“數(shù)”僅指整數(shù)，分?jǐn)?shù)被看成兩個整數(shù)之比。（1）親和數(shù)一個數(shù)是另一個數(shù)的真因子的和，而另一個數(shù)是這個數(shù)的真因子的和，則兩個數(shù)是親和數(shù)。最小的一對親和數(shù):284和220。220的真因子是1、2、4、5、10、20、22、44、55、110，其和是284284的真因子是1、2、4、71、142，其和是220.,古典時期的希臘數(shù)學(xué),（2）完全數(shù)、虧數(shù)和過剩數(shù)如果一個數(shù)等于其真因子的和，稱為完全數(shù)

7、。如：6=1+2+3如果一個數(shù)大于其真因子的和，稱為虧數(shù)。如：8＞1+2+4如果一個數(shù)小于其真因子的和，稱為過剩數(shù)。如：12＜1+2+3+4+6,,古典時期的希臘數(shù)學(xué),（3）形數(shù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“形數(shù)”研究，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合的思想。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派繼承了古代人以卵石計數(shù)的傳統(tǒng)，常用平面上的點來代表數(shù).他們將這些點排成各種幾何圖形進(jìn)而結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)推出數(shù)的性質(zhì).借助幾何圖形（或點陣）來表示的數(shù)叫做形數(shù).三角形數(shù)，正方

8、形數(shù)，五邊形數(shù),古典時期的希臘數(shù)學(xué),,古典時期的希臘數(shù)學(xué),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用純幾何的方法得出形數(shù)的定理。定理1　任何一個正方形都是兩個相繼的三角形數(shù)之和。定理2　第n個五邊形數(shù)等于第n-1個三角形數(shù)的三倍加上n.定理3　從1開始，任何相繼的奇數(shù)之和是完全平方。其目的是試圖通過形數(shù)來表達(dá)他們的神秘的數(shù)理哲學(xué).畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，數(shù)本身是由有限和無限構(gòu)成的，奇數(shù)是有限的，偶數(shù)是無限的.奇數(shù)相加造成的總是產(chǎn)生相同的正方形數(shù)，即平方數(shù)，

9、偶數(shù)相加造成的總是產(chǎn)生不同的長方形數(shù)，圖形的各邊之間的關(guān)系呈現(xiàn)出無限變化.,,,,,,,,古典時期的希臘數(shù)學(xué),（4）三種平均數(shù)和音樂比例若p和q是兩個數(shù)，則其算術(shù)平均數(shù)是　　　　，幾何平均數(shù)是調(diào)和平均數(shù)是把　　　　這個比例叫做完全比例，而把 這個比例叫做音樂比例。其中調(diào)和平均數(shù)是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究音樂理論的過程中提出的.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三根弦的長度之比為3：4：6，就得到諧音，而

10、4恰好是3和6的調(diào)和平均數(shù).,,,,,,古典時期的希臘數(shù)學(xué),畢達(dá)哥拉斯定理和畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組有關(guān)畢達(dá)哥拉斯定理的傳說很多。其中最著名的是普魯塔克的面積剖分法。畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組,,古典時期的希臘數(shù)學(xué),畢達(dá)哥拉斯利用形數(shù)來構(gòu)造三元數(shù)組小正方形有　個點，外面鑲一條　　個點的矩形邊，若　　　為平方數(shù),,,,,古典時期的希臘數(shù)學(xué),無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)（1）古希臘關(guān)于有理數(shù)的幾何解釋對于任何兩條給定線段總能找到某第三線段，以它為單

11、位線段能將這兩條給定線段中的一條劃分為整數(shù)段.（2）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用幾何圖形證明了“直線上不存在對應(yīng)的點的有理數(shù)”,不可公度量(無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)),第一次數(shù)學(xué)危機,任何量都可以表示成兩個整數(shù)之比。在幾何上就是：對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段，以它為單位能將給定的線段劃分為整數(shù)段。希臘人稱這兩條線段為“可公度量”，意即為有公共的度量單位。,希帕蘇斯 Hippasus(公元前470年左右）,勾股定理導(dǎo)致了無理量的發(fā)現(xiàn). 假設(shè)直

12、角三角形是等腰的,直角邊是1，那么弦是 ，它不可能用任何的“數(shù)”(有理數(shù))表示出來，即直角邊與弦是不可通約的．,無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),,x、y互素,古典時期的希臘數(shù)學(xué),歷史上，亞里士多德曾用反證法作過證明.無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上稱之為“第一次數(shù)學(xué)危機”.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一個成員希帕蘇斯因為泄密而遭殺身之禍.歐多克斯曾試圖解決第一次數(shù)學(xué)危機而提出“新的比例論”.,,古典時期的希臘數(shù)學(xué),正多面體學(xué)派成員發(fā)現(xiàn)五種正多面體，即正

13、四面體，正六面體，正八面體，正十二面體和正二十面體。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派采用幾何方法將線段AB黃金分割：,2.1.2 雅典時期的希臘數(shù)學(xué),,伊利亞學(xué)派 代表人物：芝諾； 主要貢獻(xiàn)：芝諾悖論 巧辯學(xué)派 代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、 安提豐(Antiphon,c.BC.480--B

14、C.411) ,布里松 主要貢獻(xiàn)：三大幾何作圖問題 柏拉圖學(xué)派(雅典學(xué)院) 代表人物：柏拉圖(Plato,BC.427-BC.347)、 梅內(nèi)赫莫斯(Menaechmus)、 蒂諾斯特拉圖斯(Di

15、nostratus)、 歐多克斯(Eudoxus,c.BC.408--BC.347) 主要貢獻(xiàn)：倡導(dǎo)邏輯演繹結(jié)構(gòu) 亞里斯多德學(xué)派(呂園學(xué)派) 代表人物：亞里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322)

16、 歐多謨斯 主要貢獻(xiàn)：倡導(dǎo)邏輯演繹結(jié)構(gòu)。,歐多克斯 歐多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC） 希臘天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。 公元前約400年生于奈得斯。歐多克斯在柏拉圖學(xué)園中學(xué)習(xí)時，處境十分困難。他很貧困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因為這里可以找到較便宜的的住處。這樣他每天往

17、返學(xué)校不得不走十英里。 畢業(yè)后他到了埃及，進(jìn)行天文學(xué)的我們今天稱作研究生的學(xué)業(yè)。,,軼事典故,后來，在今天土耳其西北岸的錫塞克斯創(chuàng)辦了他自己的學(xué)校，最后他把學(xué)校遷到雅典，在那里任教多年。那時他已成為公認(rèn)的有成就的哲學(xué)家。他再次拜訪了過去的老師柏拉圖，主人專為他舉行了宴會。（當(dāng)公元前367年柏拉圖在西西里時，歐多克斯甚至可能還是柏拉圖學(xué)園的積極負(fù)責(zé)人。）在這些年里，他提出了許多幾何證法，后來被納入歐幾里得所總結(jié)的幾何學(xué)。他還對不能直接確定

18、其長度和面積的圖形的近似值開始進(jìn)行研究，這在一百年后由阿基米德作了進(jìn)一步的發(fā)展。,軼事典故,歐多克斯是證明一年不是整三百六十五天而是三百六十五天又六小時的第一個希臘人。既然埃及人對此已有所了解，那么歐多克斯只不過是把這傳到了希臘，而并不是他發(fā)現(xiàn)的。 他接受了柏拉圖關(guān)于行星必須在正圓軌道上運行的觀點。然而他在觀察了行星運動之后不得不承認(rèn)，行星的實際運動并不是正圓軌道上的勻速運動。為了當(dāng)時所謂的“保全面子”，他是第一個試圖修

19、改柏拉圖理論使之適合觀察到的實際情況的人。,雅典時期的希臘數(shù)學(xué),窮竭法設(shè)有兩個可比的不相等的量，如果從其中較大的量中減去比它的一半大的量，再從所余的量中減去比它的一半大的量，繼續(xù)重復(fù)這一過程，則必有某個余量將小于給定的兩個量中較小的一個量。”　稱為“歐多克斯引理”。命題1：圓內(nèi)接相似多邊形面積之比等于圓直徑平方之比。命題2：兩圓面積之比等于它們的直徑平方之比。,雅典時期的希臘數(shù)學(xué),詭辯學(xué)派與三大幾何作圖問題自公元前479年波斯人

20、被打敗后，雅典成為希臘城邦聯(lián)盟中的主要城市和商業(yè)中心.詭辯學(xué)派是雅典的第一個學(xué)派，主要目標(biāo)之一是用數(shù)學(xué)來了解宇宙是怎樣運轉(zhuǎn)的.（1）化圓為方（2）倍立方體（3）三等分角,雅典時期的希臘數(shù)學(xué),（1）化圓為方最早研究化圓為方問題的是安納薩哥斯（約公元前500－前428）。公元前5世紀(jì)下半葉，希波克拉底解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方。,雅典時期的希臘數(shù)學(xué),安提豐的窮竭法詭辯學(xué)派，用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓面積方法的來化圓為方。

21、,倍立方: 即求一個立方體,使其體積等于已知立方體的兩倍 希波克拉底: 對問題的簡化是問題的關(guān)鍵進(jìn)展. 指出倍立方問題可以化為求一線段與它的二倍長線段之間的雙重比例中項問題,即： 梅內(nèi)赫莫斯: 圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)(約360B.C.)； 雙重比例中項關(guān)系等價于方程：,雅典時期的希臘數(shù)學(xué),柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯(Menaechm

22、us)為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。,雅典時期的希臘數(shù)學(xué),（3）三等分角希比阿斯(Hippias of Elis)發(fā)明了“割圓曲線”,三等分角: 即分任意角為三等分 西比阿斯：發(fā)明 “割圓曲線”. 如果這種曲線能夠作出，那么它不但能夠三等分角，而且可以任意等分角，并且也可以用來化圓為方。 1837年法國數(shù)學(xué)家旺澤爾(P.L.Wantzel) 在代數(shù)方程論基礎(chǔ)上證明了倍立方和三等分角不可能用尺規(guī)作圖。

23、,（二）無限性概念的早期探索,埃利亞學(xué)派與無限性的探索針對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)使所有的希臘數(shù)學(xué)家們迫切想解決的一個難點：離散與連續(xù)的關(guān)系.（1）空間和時間無限可分，則運動是連續(xù)而又勻速的。（2）空間與時間是由不可分的小段組成的，則運動是一連串的小跳動。,,芝諾（Zeno of Elea）曾受教于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，后移居意大利南昌部的厄亞，建立了自己的學(xué)派－埃利亞學(xué)派，發(fā)難以上兩種觀點而提出四個悖論：,2、無限性概念的早期探索,,

24、芝諾（約公元前490－前430）悖論 ： （1）兩分法 （2）阿基里斯 （3）飛箭不動 （4）運動場問題,芝諾 Zeno,③飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。,芝諾悖論: 飛矢不動,,,注：前兩個悖論針對于事物無限可分的觀點，而后兩個則矛頭直指不可分無限小量的思想。,德謨克利特,德謨克利特（希臘文：Δημ?κριτο?, 約公元前460～公元前370年

25、或公元前356年），古希臘的屬地阿布德拉人，古希臘偉大的唯物主義哲學(xué)家，原子唯物論學(xué)說的創(chuàng)始人之一（率先提出 原子論（萬物由原子構(gòu)成））古希臘偉大哲學(xué)家留基伯（希臘文：Λε?κιππο?, 英文：Leucippus 或 Leukippos. 約公元前500 - 約公元前440年）是他的導(dǎo)師。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),德謨克利特伊利亞學(xué)派，他認(rèn)為一切整體都由離散單元組成。圓錐和棱錐的體積等于同底同高的圓柱和棱柱體積的三分之一。圓錐可看作

26、是一系列不可分的薄層疊成的?？梢哉J(rèn)為德謨克利特是不可分量理論的先驅(qū)。,拉斐爾·圣齊奧 (1483-1520) 所繪油畫《雅典學(xué)派》,柏拉圖,柏拉圖（Plato，Πλ?των， 約前427年－前347年），古希臘偉大的哲學(xué)家，也是全部西方哲學(xué)乃至整個西方文化最偉大的哲學(xué)家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學(xué)生亞里士多德并稱為古希臘三大哲學(xué)家。另有其他概念包括：柏拉圖主義、柏拉圖式愛情、經(jīng)濟(jì)學(xué)圖表等含義。,邏輯演繹結(jié)構(gòu)的倡導(dǎo),柏拉

27、圖學(xué)派與邏輯演繹結(jié)構(gòu)的倡導(dǎo)柏拉圖(Plato)學(xué)派受到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派很大影響，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員阿基塔斯（Archytas）就是柏拉圖的老師。柏拉圖在雅典創(chuàng)辦學(xué)院，這是今日科學(xué)院的雛形。后來于公元前三、四世紀(jì)之交移址到亞歷山大城，直到公元529年被東羅馬王查封止，前后綿延達(dá)900年。學(xué)院開辦之初有數(shù)學(xué)學(xué)科，特別重視幾何。盛傳學(xué)院大門口榜示“不習(xí)幾何者不得入”。演繹：一種推理方法，由一般原理推出關(guān)于特殊情況下的結(jié)論。,古典時期的希

28、臘數(shù)學(xué),柏拉圖的哲學(xué)思想的核心是理念論。把一類事物的共性和可以感知的具體事物分離開來，使之成為獨立的存在，即“理念”。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),演繹論證柏拉圖在《理想國》中說：“你們知道幾何、算術(shù)和有關(guān)科學(xué)的學(xué)生，在他們的各科分支里，假定奇數(shù)和偶數(shù)、圖形以及三種類型的角等等是已知的；這些是他們的假設(shè)，是大家認(rèn)為他們以及所有人都知道的事，因而認(rèn)為是無需向他們自己或向別人再作任何交代的；但他們是從這些事實出發(fā)的，并以前后一貫的方式往下推，

29、直到得出結(jié)論?！?古典時期的希臘數(shù)學(xué),兩種數(shù)學(xué)方法－分析法和歸謬法完整地敘述了正多面體命題，并指出正多面體的構(gòu)造方法。西方把這五種正多面體稱為柏拉圖體。命題：正多面體僅有五種：正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。,柏拉圖式愛情,柏拉圖式戀愛，也稱為柏拉圖式愛情，以西方哲學(xué)家柏拉圖命名的一種精神戀愛，追求心靈溝通，排斥肉欲。理性的精神上的純潔戀愛。哲學(xué)家的愛情與情感生活一般是不美滿幸福，不少哲學(xué)家甚至于是情愿單身。

30、愛情是一種很美好的感覺，是生活中的精神支柱， 是浪漫溫馨的溫柔，甜蜜快樂的幸福。 哲學(xué)界對愛情的定義是理性的，所以它包容了如：道德、責(zé)任、義務(wù)等等這些充滿人類理性光芒的社會化的衍生物，而把繁殖的欲望降為最低的需要。,亞里士多德,亞里士多德（前384—前322年），古希臘斯吉塔拉人，世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家之一。是柏拉圖的學(xué)生，亞歷山大的老師。公元前335年，他在雅典辦了一所叫呂克昂的學(xué)校，被稱為逍遙學(xué)派。馬克思

31、曾稱亞里士多德是古希臘哲學(xué)家中最博學(xué)的人物，恩格斯稱他是古代的黑格爾。,學(xué)術(shù)主張,亞里士多德師承柏拉圖，主張教育是國家的職能，學(xué)校應(yīng)由國家管理。他首先提出兒童身心發(fā)展階段的思想；贊成雅典健美體格、和諧發(fā)展的教育，主張把天然素質(zhì)，養(yǎng)成習(xí)慣、發(fā)展理性看作道德教育的三個源泉，但他反對女子教育，主張“文雅”教育，使教育服務(wù)于閑暇。,學(xué)術(shù)影響,亞里士多德一生勤奮治學(xué)，從事的學(xué)術(shù)研究涉及到邏輯學(xué)、修辭學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)、政治學(xué)、經(jīng)濟(jì)

32、學(xué)、美學(xué)、博物學(xué)等，寫下了大量的著作，他的著作是古代的百科全書，據(jù)說有四百到一千部，主要有《工具論》、《形而上學(xué)》、《物理學(xué)》、《倫理學(xué)》、《政治學(xué)》、《詩學(xué)》等。他的思想對人類產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。他創(chuàng)立了形式邏輯學(xué)，豐富和發(fā)展了哲學(xué)的各個分支學(xué)科，對科學(xué)等作出了巨大的貢獻(xiàn)。,教育,亞里士多德認(rèn)為理性的發(fā)展是教育的最終目的，主張國家應(yīng)對奴隸主子弟進(jìn)行公共教育。使他們的身體、德行和智慧得以和諧地發(fā)展。 在教學(xué)方法上，亞里

33、士多德重視練習(xí)與實踐的作用。如在音樂教學(xué)中，他經(jīng)常安排兒童登臺演奏，現(xiàn)場體驗，熟練技術(shù)，提高水平。 在師生關(guān)系上，亞里士多德不是對導(dǎo)師一味言聽計從，唯唯諾諾，而是在繼承的基礎(chǔ)上敢于思考、堅持真理、勇于挑戰(zhàn)。他那“吾愛吾師，吾尤愛真理”的品格，鼓舞著他把柏拉圖建立起來的教學(xué)理論推進(jìn)到了一個更高的水平。,重要著述,亞里士多德對世界的貢獻(xiàn)之大，令人震驚。他至少撰寫了170種著作，其中流傳下來的有47種。當(dāng)然，僅以數(shù)字

34、衡量是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更為重要的是他淵博的學(xué)識令人折服。 他的科學(xué)著作，在那個年代簡直就是一本百科全書，內(nèi)容涉及天文學(xué)、動物學(xué)、胚胎學(xué)、地理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、物理學(xué)、解剖學(xué)、生理學(xué)，總之，涉及古希臘人已知和各個學(xué)科。他的著作包含三個方面：一是前人的知識積累，二是助手們?yōu)樗鞯恼{(diào)查與發(fā)現(xiàn)，三是他自己獨立的見解。,亞里士多德名言、警句、格言、語錄,幸福就是至善。 幸福在于自主自足之中。 人生頗富機會和變化。人最得意的時候，有

35、最大的不幸光臨。 人生最終價值在于覺醒和思考的能力，而不只在于生存。教育的根是苦的，但其果實是甜的。,亞里士多德名言、警句、格言、語錄,在科學(xué)上進(jìn)步而道義上落后的人，不是前進(jìn)，而是后退。 德可以分為兩種：一種是智慧的德，另一種是行為的德，前者是從學(xué)習(xí)中得來的，后者是從實踐中得來的。戰(zhàn)爭才能帶來和平。 吾愛我?guī)煟岣鼝壅胬怼?智慧不僅僅存在于知識之中，而且還存在于運用知識的能力中。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),關(guān)于定義，認(rèn)

36、為定義是給一段文字定個名。同時他指出定義必須用先存在于所定義事項的某種東西表表述。因此，他需要承認(rèn)未經(jīng)定義的名詞。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),區(qū)分公理(axiom)和公設(shè)(postulate)。認(rèn)為公理是從觀察實物中得出的，是直接為人們所理解的一般性認(rèn)識；公設(shè)未必是不言自明的，其是否真實應(yīng)受到所推出結(jié)果的檢驗。由此，他把邏輯原理，諸如矛盾律、排中律等作為公理，從而開辟了一門獨立的邏輯學(xué)。,,三段論（syllogism） 形式邏輯間

37、接推理的基本形式之一，由大前提、小前提推出結(jié)論。如：“凡金屬都能導(dǎo)電”（大前提） “銅是金屬”（小前提） “所以銅能導(dǎo)電”（結(jié)論）,古典時期的希臘數(shù)學(xué),所謂同一律，是指“推理或思想的內(nèi)容必須是確定的。”如甲就是甲，甲代表的內(nèi)容在推理過程中不能改變。矛盾律是指“一個命題不能既是真的又是假的?！迸胖新墒侵浮耙粋€命題必然是真的或者是假的?！?古典時期的希臘數(shù)學(xué),關(guān)于連續(xù)的概念。認(rèn)為點不可分，但占有位置，線

38、段是能分的量，由此，認(rèn)為點不能自己連續(xù)在一起形成象線這類連續(xù)的東西。點只能是一線的末端、開端或分界處，而不是線的一部分，也不成其為量。認(rèn)為點沒有長度，因此，認(rèn)為若一線由點組成，它將也沒有長度。線具有的連續(xù)性，他認(rèn)為：若一件東西的任何兩個相連部分在其接觸處的兩個界限合而為一，則此東西是連續(xù)的。,古典時期的希臘數(shù)學(xué),（2）窮竭法設(shè)有兩個可比的不相等的量，如果從其中較大的量中減去比它的一半大的量，再從所余的量中減去比它的一半大的量，繼續(xù)重

39、復(fù)這一過程，則必有某個余量將小于給定的兩個量中較小的一個量。”　稱為“歐多克斯引理”。命題1：圓內(nèi)接相似多邊形面積之比等于圓直徑平方之比。命題2：兩圓面積之比等于它們的直徑平方之比。,評價,亞里士多德集中古代知識于一身，在他死后幾百年中，沒有一個人像他那樣對知識有過系統(tǒng)考察和全面掌握。他的著作是古代的百科全書，他的思想曾經(jīng)統(tǒng)治過全歐洲，他得思想改變了幾乎全西方的哲學(xué)家。他的形式邏輯被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)，在當(dāng)時。則為歐幾里